En matemáticas, específicamente en teoría del orden, una relación binaria sobre un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejos se llama arquimediana (o también de Arquímedes) si para todos los siempre que exista algún tal que para todos los números enteros positivos entonces necesariamente Un espacio vectorial (pre)ordenado de Arquímedes es un espacio vectorial (pre)ordenado cuyo orden es de Arquímedes. Un espacio vectorial preordenado se llama casi de Arquímedes si para todos los siempre que exista un tal que para todos los números enteros positivos entonces
Caracterizaciones
Un espacio vectorial preordenado con una unidad de orden está preordenado arquimedianamente si y solo si para todos los números enteros no negativos implica que
Propiedades
Sea un espacio vectorial ordenado de dimensión finita sobre los números reales. Entonces, el orden de es de Arquímedes si y solo si el cono positivo de está cerrado para la topología única bajo la cual es un espacio vectorial topológico de Hausdorff.
Norma de unidad de orden
Supóngase que es un espacio vectorial ordenado sobre los números reales con una unidad de orden cuyo orden es de Arquímedes, y sea Entonces, el funcional de Minkowski de (definido por ) es una norma llamada norma de unidad de orden, que satisface que y que la bola unitaria cerrada determinada por es igual a (es decir,
Ejemplo
El espacio de aplicaciones acotadas de valores reales en un conjunto con orden puntual está ordenado arquimedianamente con una unidad de orden (es decir, la función que es idénticamente en ). La norma de unidad de orden en es idéntica a la norma del supremo habitual:
Ejemplos
Cada espacio de Riesz con orden completo está ordenado por arquimedianamente. Una red vectorial de dimensión finita de dimensión tiene el orden de Arquímedes si y solo si es isomorfa a con su orden canónico. Sin embargo, un orden vectorial totalmente ordenado de dimensión no puede ser un orden de Arquímedes. También existen espacios vectoriales ordenados que son casi de Arquímedes pero no de Arquímedes. El Espacio euclídeo sobre los números reales con el orden lexicográfico está ordenado arquimedianamente, dado que para cada , pero
Véase también Axioma de Arquímedes Espacio vectorial ordenado
Referencias
Bibliografía
Categoría:Análisis funcional Categoría:Teoría del orden