En matemáticas, el producto tensorial inyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (EVTs) fue introducido por Alexander Grothendieck, que lo utilizó para definir los espacios nucleares. En general, un producto tensorial inyectivo no es necesariamente completo, por lo que su completación se denomina . Los productos tensoriales inyectivos tienen aplicaciones fuera de los espacios nucleares. En particular, como se describe a continuación, muchos EVTs que se definen para funciones con valores reales o complejos, por ejemplo, el espacio de Schwartz o el espacio de funciones continuamente diferenciables, se pueden extender inmediatamente a funciones valoradas en un EVT localmente convexo de Hausdorff necesidad alguna de extender definiciones (como "diferenciable en un punto") de funciones con valores reales/complejos a funciones con valores en .
Preliminares y notación Sean y espacios vectoriales topológicos, y una aplicación lineal.
es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continuo, y es una aplicación abierta, donde tiene la topología subespacial inducida por Si es un subespacio de , entonces tanto la aplicación cociente como la inyección canónica son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: donde define una biyección. El conjunto de aplicaciones lineales continuas (respectivamente, aplicaciones bilineales continuas ) se denotará por (respectivamente, ), donde si es el cuerpo escalar, entonces se puede escribir (respectivamente, ). El conjunto de aplicaciones bilineales continuas separadamente (es decir, continuas en cada variable cuando la otra variable es fija) se denotará por donde, si es el cuerpo escalar, entonces se puede escribir Denótese el espacio dual de por y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en sean continuas o no) por Para aumentar la claridad de la exposición, se usa la convención común de escribir elementos de con una comilla después del símbolo (por ejemplo, denota un elemento de (no confundir con una derivada) y las variables y en general no están relacionadas de manera alguna.
Notación para topologías
denota la topología más gruesa en , lo que hace que cada aplicación en sea continua y o denota dotado con esta topología. denota la topología *débil sobre y o denota dotado con esta topología. Téngase en cuenta que cada induce una aplicación definida por es la topología más gruesa en X', lo que hace que todas esas aplicaciones sean continuas. denota la topología de convergencia acotada en y o denota dotado con esta topología. denota la topología de convergencia limitada en o la topología dual fuerte en y o denota dotado con esta topología. Como es habitual, si se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es denota la topología de Mackey en o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de y o denota dotado con esta topología. es la topología más fina en un EVT localmente convexo , cuyo espacio dual continuo es igual a denota la topología de Mackey sobre o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de y o denota dotado de esta topología. Téngase en cuenta que denota la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de y o denota dotado con esta topología. Si es un conjunto de aplicaciones lineales , entonces es equicontinuo si y solo si es equicontinuo en el origen; es decir, si y solo si para cada entorno del origen en existe un entorno del origen en tal que para cada Un conjunto de aplicaciones lineales de a se llama equicontinuo si para cada entorno del origen en existe un entorno del origen en tal que para todo
Definición
En todo momento, se considra que e son espacios vectoriales topológicos con espacios duales continuos e Téngase en cuenta que casi todos los resultados descritos son independientes de si estos espacios vectoriales están sobre o sobre , pero para simplificar la exposición se asume que están sobre el cuerpo
Aplicaciones bilineales continuas como producto tensorial
A pesar de que el producto tensorial es una construcción puramente algebraica (su definición no implica ninguna topología), el espacio vectorial de funcionales bilineales continuos es siempre un producto tensorial de e (es decir, ) cuando se define en la forma ahora descrita.
Para cada denótese por la forma bilineal en definida por
Este aplicación es siempre continua, y por lo tanto, la asignación que envía a la forma bilineal induce una aplicación canónica.
cuya imagen está contenida en De hecho, cada forma bilineal continua en pertenece al intervalo de la imagen de esta aplicación (es decir, ). El siguiente teorema se puede utilizar para verificar que
junto con la aplicación anterior es un producto tensorial de e
Topología
De ahora en adelante, se supondrá que todos los espacios vectoriales topológicos considerados son localmente convexos. Si es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces y para cualquier subconjunto equicontinuo y y cualquier entorno en se definen
donde cada conjunto está acotado en lo que es necesario y suficiente para que la colección de todos los forme una topología en un EVT localmente convexo en Esta topología se llama topología y siempre que un espacio vectorial esté dotado de la topología , esto se indicará colocando como subíndice antes del paréntesis de apertura. Por ejemplo, dotado con la topología se indicará como Si es de Hausdorff, entonces también lo es la topología .
En el caso especial en el que es el cuerpo escalar subyacente, es el producto tensorial , por lo que el espacio vectorial topológico se denomina producto tensorial inyectivo de e y se denota por Este EVT no es necesariamente completo, por lo que se construirá su completación, indicada por . Cuando todos los espacios son de Hausdorff, entonces está completo si y solo si tanto como están completos, en cuyo caso la completación de es un subespacio vectorial de Si e son espacios normados, entonces también lo es donde es un espacio de Banach si y solo si esto es cierto tanto para como para
Conjuntos equicontinuos
Una razón para converger en subconjuntos equicontinuos (de todos los tipos) es el siguiente hecho importante:
Un conjunto de funcionales lineales continuos en un EVT Esto es cierto incluso si no se supone que sea de Hausdorff o localmente convexo. es equicontinuo si y solo si está contenido en el polar de algún entorno del origen en ; es decir,
La topología de un EVT está completamente determinada por los entornos abiertos del origen. Este hecho, junto con el teorema bipolar, significa que mediante la operación de tomar la polar de un subconjunto, la colección de todos los subconjuntos equicontinuos de "codifica" toda la información sobre la topología dada de . Específicamente, distintas topologías de un EVT localmente convexo en producen distintas colecciones de subconjuntos equicontinuos y, a la inversa, dada cualquier colección de conjuntos equicontinuos, la topología original de un EVT se puede recuperar tomando el polar de cada conjunto (equicontinuo) de la colección. Así, a través de esta identificación, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente una convergencia uniforme en la topología misma del EVT. Esto permite relacionar directamente la topología inyectiva con las topologías dadas de e Además, la topología de un espacio de Hausdorff localmente convexo es idéntica a la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de .
Por esta razón, en el artículo se enumeran algunas propiedades de conjuntos equicontinuos que son relevantes para tratar con el producto tensorial inyectivo. e son cualquier espacio localmente convexo y es una colección de aplicaciones lineales de sobre
Si es equicontinua, entonces las topologías subespaciales que hereda de las siguientes topologías en son idénticas: La topología de la convergencia precompacta. La topología de la convergencia compacta. La topología de la convergencia puntual. La topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso dado de Un conjunto equicontinuo está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en ). Entonces, en particular, también estará acotado en cada topología del EVT que sea más gruesa que la topología de convergencia acotada. Si es un espacio barrilado e es localmente convexo, entonces para cualquier subconjunto las siguientes expresiones son equivalentes: es equicontinuo. está acotado en la topología de convergencia puntual (es decir, acotado en ). está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en ). En particular, para demostrar que un conjunto es equicontinuo basta demostrar que está acotado en la topología de convergencia puntual. Si es un espacio de Baire, entonces cualquier subconjunto que esté acotado en es necesariamente equicontinuo. Si es separable, es metrizable y es un subconjunto denso de entonces la topología de convergencia puntual en hace que sea metrizable, de modo que, en particular, la topología subespacial que cualquier subconjunto equicontinuo hereda de es metrizable.
Para subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo (donde es ahora el cuerpo escalar subyacente de ), se cumple lo siguiente: El cierre débil de un conjunto equicontinuo de funcionales lineales en es un subespacio compacto de Si es separable, entonces cada subconjunto equicontinuo débilmente cerrado de es un espacio compacto metrizable cuando se le da la topología débil (es decir, la topología subespacial heredada de ). Si es un espacio normal, entonces un subconjunto es equicontinuo si y solo si está fuertemente acotado (es decir, acotado en ). Si es un espacio barrilado, entonces para cualquier subconjunto lo siguiente es equivalente: es equicontinuo. es relativamente compacto en la topología dual débil. está débilmente acotado. está fuertemente acotado.
Se mencionan algunas propiedades básicas importantes adicionales relevantes para el producto tensorial inyectivo: Supóngase que es una aplicación bilineal donde es un espacio de Fréchet, es metrizable e es localmente convexo. Si es continuo por separado, entonces es continuo.
Identificación canónica de aplicaciones bilineales continuas por separado con aplicaciones lineales
La igualdad establecida siempre se cumple; es decir, si es una aplicación lineal, entonces es continua si y solo si es continua, donde aquí tiene su topología original.
También existe un isomorfismo canónico en el espacio vectorial
Con el fin de definirlo, para cada forma bilineal continua por separado definida en y cada considérese que se defina por
Debido a que es canónicamente isomorfo en el espacio vectorial de (a través del valor de la aplicación canónica en ), se identificará como un elemento de que se denotará por Esto define una aplicación dada por y, por lo tanto, el isomorfismo canónico está, por supuesto, definido por
Cuando a se le da la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de la aplicación canónica se convierte en un isomorfismo de EVTs
En particular, puede integrarse canónicamente en un EVT en . Además, la imagen en de bajo la aplicación canónica consiste exactamente en el espacio de aplicaciones lineales continuas cuya imagen es de dimensión finita.
La inclusión siempre se mantiene. Si está normado, entonces es de hecho un subespacio vectorial topológico de Y si además es de Banach, entonces también lo es (incluso si no está completo).
Propiedades