En teoría de la probabilidad, para una medida de probabilidad P en un espacio de Hilbert H con el producto interno , la covarianza de P es la forma bilineal Cov: H × H → R dada por
para todo x e y en H. El operador de covarianza C se define entonces por
Propiedades A partir del teorema de representación de Riesz, dicho operador existe si Cov está acotada. Dado que la covarianza es simétrica en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto. Cuando P es una medida gaussiana centrada, C también es un operador nuclear. En particular, es un operador compacto de clase de traza, es decir, tiene traza finita.
Aún más generalmente, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B, la covarianza de P es la forma bilineal en el espacio dual B#, definida por
donde es ahora el valor de la función lineal x en el elemento z.
De manera muy similar, la función covarianza de una función de elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso estocástico o campo aleatorio) z es
donde z(x) es ahora el valor de la función z en el punto x, es decir, el valor de la funcional lineal evaluado en z.
Operador covarianza El operador covarianza de está definido por:
para , donde denota el valor esperado de
El operador induce una aplicación simétrica a través de , que es bilineal y definida, se llama covarianza.
Justificación Sean y acotados. Si es un espacio de Hilbert, entonces según el teorema de representación de Riesz para se cumple que para todo y y para , y por lo tanto
para todos los .
Véase también Espacio de Wiener abstracto Teorema de Cameron-Martin Teorema de Feldman-Hájek Teorema de estructura para medidas gaussianas
Referencias
Categoría:Formas bilineales Categoría:Covarianza y correlación Categoría:Teoría de probabilidades Categoría:Espacio de Hilbert