Los filtros en topología, un subcampo de las matemáticas, se pueden utilizar para estudiar espacios topológicos y definir todas las nociones topológicas básicas como convergencia, continuidad o compacidad entre otras. Los filtros, que son familias especiales de subconjuntos de un conjunto determinado, también proporcionan un marco común para definir varios tipos de límites de funciones, como límites desde la izquierda/derecha, hasta el infinito, hasta un punto o un conjunto, y muchos otros. Tipos especiales de filtros llamados tienen muchas propiedades técnicas útiles y, a menudo, pueden usarse en lugar de los filtros arbitrarios.
Los filtros tienen generalizaciones llamadas (también conocidos como ) y , que aparecen de forma natural y repetida en toda la topología. Los ejemplos incluyen filtros de entornos/bases/subbases y uniformidades. Cada filtro es un prefiltro y ambos son subbases de filtros. Cada prefiltro y subbase de filtros está contenido en un filtro más pequeño único, que se dice que es . Esto establece una relación entre filtros y prefiltros que a menudo puede explotarse para permitir utilizar la noción que sea técnicamente más conveniente. Existe un cierto preorden en familias de conjuntos, denotado por que ayuda a determinar exactamente cuándo y cómo una noción (filtro, prefiltro u otra) puede o no usarse. La importancia de este preorden se ve amplificada por el hecho de que también define la noción de convergencia de filtro, donde por definición, un filtro (o prefiltro) a un punto si y solo si donde es el filtro de entornos de ese punto. En consecuencia, la subordinación también juega un papel importante en muchos conceptos relacionados con la convergencia, como los puntos de acumulación y los límites de funciones. Además, la relación que se denota como y se expresa diciendo que también establece una correspondencia en la que es a como una subsucesión a una sucesión (es decir, la relación que se llama de , es para filtros el análogo a "ser una subsucesión de").
Fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 y posteriormente el colectivo de matemáticos franceses agrupado bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki los utilizó en su libro como una alternativa a la noción similar de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y H. L. Smith. También se pueden utilizar filtros para caracterizar las nociones de convergencia de sucesiones y redes. Pero a diferencia de las sucesionesLas sucesiones y las redes en un espacio son aplicaciones en conjuntos dirigidos como el de los números naturales, que en general pueden no tener ninguna relación con el conjunto y, por lo tanto, ellos, y en consecuencia, también sus nociones de convergencia, no son intrínsecos a y la convergencia de redes, la convergencia del filtros en términos de subconjuntos del espacio topológico y, por lo tanto, proporciona una noción de convergencia que es completamente intrínseca al espacio topológico. De hecho, la categoría de espacios topológicos puede ser equivalentemente definida enteramente en términos de filtros. Cada red induce un filtro canónico y, dualmente, cada filtro induce una red canónica, donde esta red inducida (respectivamente, filtro inducido) converge a un punto si y solo si lo mismo ocurre con el filtro original (respectivamente, red). Esta caracterización también es válida para muchas otras definiciones, como la de puntos de acumulación. Estas relaciones permiten alternar entre filtros y redes y, a menudo, también permiten elegir cuál de estas dos nociones (filtro o red) es más conveniente para el problema en cuestión. Sin embargo, suponiendo que las "subredes" se definen utilizando cualquiera de sus definiciones más usuales (que son las dadas por Willard y por Kelley), entonces, en general, esta relación se extiende a los filtros y subredes subordinados porque, al igual que como se detalla más adelante, existen filtros subordinados cuya relación «filtro/filtro subordinado» no se puede describir en términos de la relación «red/subred» correspondiente. Sin embargo, este problema se puede resolver utilizando una definición de "subred" menos común, que es la de subred AA.
Por lo tanto, los filtros/prefiltros y el preorden único proporcionan un marco que une perfectamente conceptos topológicos fundamentales como espacios topológicos (mdiante los filtros de entornos), bases de entornos, convergencia, varios límites de funciones, continuidad, compacidad, sucesiones (a través de filtros secuenciales), filtros equivalentes a "subsucesiones" (relación de subordinación) o espacios uniformes entre otros; conceptos todos ellos que de otro modo parecen relativamente dispares y cuyas relaciones son menos claras.
Motivación
Ejemplo arquetípico de un filtro
El ejemplo arquetípico de un filtro es el en un punto de un espacio topológico que es la familia de conjuntos que consta de todas los entornos de Por definición, un entorno de un punto dado es cualquier subconjunto cuyo interior topológico contenga este punto; es decir, tal que Es importante destacar que los entornos se requiere que sean conjuntos abiertos (denominados ). A continuación se enumeran las propiedades fundamentales de los filtros de entornos que finalmente se convirtieron en la definición de "filtro". Un filtro es un conjunto de subconjuntos de que satisface todas las condiciones siguientes: : al igual que ya que es siempre un entorno de (y de cualquier otra cosa que contenga); : así como ningún entorno de está vacío; : si así como la intersección de dos entornos cualesquiera de es nuevamente un entorno de ; : si entonces así como cualquier subconjunto de que contenga un entorno de un entorno de (esto se deduce de y la definición de "un entorno de ").
Generalización de la convergencia de sucesiones mediante el uso de conjuntos: determinar la convergencia de sucesiones sin la sucesión
Una es por definición una aplicación desde los números naturales al espacio La noción original de convergencia en un espacio topológico era la de un sucesión convergente en algún punto dado en un espacio, como un espacio métrico. Con espacios metrizables (o más generalmente, de acuerdo con el primer axioma de numerabilidad o espacios de Fréchet-Urysohn), las sucesiones suelen ser suficientes para caracterizar o "describir" la mayoría de las propiedades topológicas, como los cierres de subconjuntos o la continuidad de funciones. Pero hay muchos espacios donde las sucesiones pueden usarse para describir incluso propiedades topológicas básicas como el cierre o la continuidad. Este fallo de las sucesiones fue la motivación para definir nociones como redes y filtros, que dejan de caracterizar propiedades topológicas.
Las redes generalizan directamente la noción de sucesión, ya que son, por definición, aplicaciones de un conjunto dirigido arbitrario sobre el espacio Una sucesión es simplemente una red cuyo dominio es con el orden natural. Las redes tienen su propia noción de convergencia, que es una generalización directa de la convergencia de sucesiones.
Los filtros generalizan la convergencia de sucesiones de una manera diferente al considerar los valores de una sucesión. Para ver cómo se hace esto, considérese una sucesión que, por definición, es simplemente una función cuyo valor en se denota por en lugar de por la notación habitual entre paréntesis que se usa comúnmente para funciones arbitrarias. Conocer solo la imagen (a veces llamada "rango") de la sucesión no es suficiente para caracterizar su convergencia, y se necesitan varios conjuntos. Resulta que los conjuntos necesarios son los siguientes,Técnicamente, cualquier subfamilia infinita de este conjunto de colas es suficiente para caracterizar la convergencia de esta secuencia. Pero en general, a menos que se indique lo contrario, se toma el conjunto de las colas a menos que haya alguna razón para hacer lo contrario. que se denominan de la sucesión :
Estos conjuntos determinan completamente la convergencia (o no convergencia) de esta sucesión porque dado cualquier punto, esta sucesión converge si y solo si para cada entorno (de este punto), hay algún número entero tal que contenga todos los puntos Esto se puede reformular como:
cada entorno debe contener algún conjunto de la forma como subconjunto.
O más brevemente: cada entorno debe contener alguna cola como subconjunto. Es esta caracterización la que se puede utilizar con la familia de colas anterior para determinar la convergencia (o no convergencia) de la sucesión Específicamente, con la familia de en la mano, la ya no es necesaria para determinar la convergencia de esta sucesión (sin importar qué topología se coloque en ). Al generalizar esta observación, se amplía la noción de "convergencia" de sucesiones/funciones a las familias de conjuntos.
El conjunto anterior de colas de una sucesión en general no es un filtro, pero "" un filtro tomando su (que consta de todos los superconjuntos de todas las colas). Lo mismo ocurre con otras familias importantes de conjuntos, como cualquier base de entornos en un punto dado, que en general tampoco es un filtro pero genera un filtro a través de su cierre hacia arriba (en particular, genera el filtro de entornos en ese punto). Las propiedades que comparten estas familias llevaron a la noción de una , también llamada , que por definición es cualquier familia que tiene las propiedades mínimas necesarias y suficientes para generar un filtro tomando su sección final.
Redes frente a filtros: ventajas y desventajas
Los filtros y las redes tienen cada uno sus propias ventajas e inconvenientes y no hay razón para utilizar un concepto exclusivamente sobre el otro.De hecho, la convergencia de redes se define utilizando filtros de entornos, mientras que los (pre)filtros son conjuntos dirigidos con respecto a por lo que es difícil mantener estas nociones completamente separadas. Dependiendo de lo que se esté comprobando, la demostración puede resultar mucho más fácil si se utiliza una de estas nociones en lugar de la otra. Tanto los filtros como las redes se pueden utilizar para caracterizar cualquier topología dada por completo. Las redes son generalizaciones directas de las sucesiones y, a menudo, se pueden usar de manera similar a las sucesiones, por lo que la curva de aprendizaje de las redes suele ser mucho menos pronunciada que la de los filtros. Sin embargo, los filtros y especialmente los ultrafiltros tienen muchos más usos fuera de la topología, como en teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de modelos (ultraproductos, por ejemplo), álgebra abstracta, combinatoria, dinámica, teoría del orden, espacios de convergencia generalizados, espacios de Cauchy y en la definición y uso de los números hiperreales.
Al igual que las sucesiones, las redes son y, por lo tanto, tienen las ventajas propias de las . Por ejemplo, al igual que las sucesiones, las redes se pueden "conectar" a otras funciones, donde "conectar" significa simplemente crear una función compuesta. En consecuencia, los teoremas relacionados con funciones y composición de funciones se pueden aplicar a las redes. Un ejemplo es la propiedad universal del límite inverso, que se define en términos de composición de funciones en lugar de conjuntos y se aplica más fácilmente a funciones como redes que a conjuntos como filtros (un ejemplo destacado de límite inverso es el producto cartesiano). Los filtros pueden resultar incómodos de usar en determinadas situaciones, como cuando se cambia entre un filtro en un espacio y un filtro en un subespacio denso .
A diferencia de las redes, los filtros (y los prefiltros) son familias de y, por lo tanto, tienen las .