En matemáticas, un espacio de Riesz, espacio vectorial ordenado en retículo o retículo vectorial es un espacio vectorial parcialmente ordenado, en el que la estructura de orden es un retículo.
Los espacios de Riesz llevan el nombre de Frigyes Riesz, quien los definió por primera vez en su artículo de 1928 Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires.
Los espacios de Riesz tienen una amplia gama de aplicaciones. Son importantes en la teoría de la medida, ya que los resultados importantes son casos especiales de resultados para espacios de Riesz. Por ejemplo, el teorema de Radon–Nikodym se deduce como un caso especial del teorema espectral de Freudenthal. Los espacios de Riesz también se han aplicado en economía matemática a través del trabajo del economista y matemático greco-estadounidense Charalambos D. Aliprantis.
Definición
Preliminares
Si es un espacio vectorial ordenado (que por definición, es un espacio vectorial sobre los números reales) y si es un subconjunto de , entonces un elemento es un límite superior (respectivamente, 'límite inferior) de si (respectivamente, ) para todos los Un elemento en es el límite superior mínimo o supremo (respectivamente, límite inferior mayor o ínfimo) de si es un límite superior (respectivamente, un límite inferior) de y si se cumple para cualquier límite superior (respectivamente, cualquier límite inferior) que de (respectivamente, ).
Definiciones
Retículo vectorial preordenado
Un retículo vectorial preordenado es un espacio vectorial preordenado en el que cada par de elementos tiene un elemento supremo e ínfimo.
Más explícitamente, una red vectorial preordenada es un espacio vectorial dotado de un conjunto preordenado, tal que para cualquier : Invariancia traslacional: implica que Homogeneidad positiva: Para cualquier escalar implica que Para cualquier par de vectores existe un supremo (denotado ) en con respecto al orden
El preorden, junto con los elementos 1 y 2, que lo hacen "compatible con la estructura del espacio vectorial", hacen de un espacio vectorial preordenado. El elemento 3 dice que el pedido anticipado es un semirretículo. Debido a que el preorden es compatible con la estructura del espacio vectorial, se puede demostrar que cualquier par también tiene un ínfimo, lo que hace que también sea un semirretículo, y por lo tanto, un retículo.
Un espacio vectorial preordenado es un retículo vectorial preordenado si y solo si satisface cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes: Para cualquier su supremo existe en Para cualquier su ínfimo existe en Para cualquier su mínimo y su supremo existen en Para cualquier existe en
Espacio de Riesz y celosías vectoriales
Un espacio de Riesz o un retículo vectorial es un retículo vectorial preordenado, cuyo preorden es un orden parcial. De manera equivalente, es un espacio vectorial ordenado cuyo preorden es un retículo.
Téngase en cuenta que numeroses autores requirieron que un retículo vectorial fuera un espacio vectorial parcialmente ordenado (en lugar de simplemente un espacio vectorial preordenado), mientras que otros solo requieren que sea un espacio vectorial preordenado. De ahora en adelante, se asume en el artículo que cada espacio de Riesz y cada retículo vectorial es un espacio vectorial ordenado, pero que un retículo vectorial preordenado no está necesariamente parcialmente ordenado.
Si es un espacio vectorial ordenado sobre cuyo cono positivo (los elementos ) se ha generado (es decir, tal que ), y si para cada existe o , entonces es un retículo vectorial.
Intervalos
Un intervalo de orden en un espacio vectorial parcialmente ordenado es un conjunto convexo de la forma En un espacio vectorial real ordenado, todo intervalo de la forma es equilibrado. De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que y implica que Se dice que un subconjunto está ordenado si está contenido en algún intervalo de orden. Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento tal que el conjunto sea absorbente.
El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado que asigna cada intervalo de orden a un conjunto acotado se denomina dual de orden acotado de y se denota por . Si un espacio es ordenado, entonces su dual de orden acotado es un subespacio vectorial de su espacio dual.
Un subconjunto de un retículo vectorial se llama de orden completo si para cada subconjunto no vacío tal que sea de orden acotado en , tanto como existen y son elementos de Se dice que un retículo vectorial es de orden completo si es un subconjunto de orden completo de
Clasificación Los espacios de Riesz de dimensión finita están completamente clasificados por el axioma de Arquímedes:
Teorema: Supóngase que es un retículo vectorial de dimensión finita Si tiene un orden arquimediano, entonces es (un retículo vectorial) isomorfo a según su orden canónico. De lo contrario, existe un número entero que satisface que tal que es isomorfo a donde tiene su orden canónico, es con orden lexicográfico, y el producto de estos dos espacios tiene el orden canónico del producto.
El mismo resultado no se cumple en infinitas dimensiones. Según un ejemplo debido a Kaplansky, considérese el espacio vectorial de funciones en [0,1] que son continuas excepto en un número finito de puntos, donde tienen un polo de segundo orden. Este espacio está ordenado en un retículo mediante la comparación puntual habitual, pero no se puede escribir como para ningún cardinal . Por otro lado, la epi mono factorización en la categoría de espacios vectoriales también se aplica a los espacios de Riesz: cada espacio vectorial ordenado en retículo es inyectivo en un cociente de por un subespacio sólido.Fremlin, Measure Theory, claim 352L.
Propiedades básicas
Todo espacio de Riesz es un espacio vectorial parcialmente ordenado, pero no todo espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio de Riesz.
Téngase en cuenta que para cualquier subconjunto de siempre que exista el supremo o el ínfimo (en cuyo caso, ambos existen). Si y , entonces Para todos los en un espacio de Riesz
Valor absoluto
Para cada elemento en un espacio Riesz el valor absoluto de denotado por se define como donde esta condición satisface que y Para cualquier y cualquier número real se tiene que y
Disjunción
Se dice que dos elementos en un retículo vectorial forman un retículo disjunto o simplemente que son disjuntos si en cuyo caso se escribe que Dos elementos son disjuntos si y solo si Si son disjuntos, entonces y son para cualquier elemento y Se dice que dos conjuntos y son disjuntos si y son disjuntos para todo y todo en cuyo caso se escribe Si es el conjunto unitario , entonces se escribe en lugar de Para cualquier conjunto se define el complemento disjunto como el conjunto Los complementos disjuntos son siempre bandas, pero lo contrario no es cierto en general. Si es un subconjunto de tal que existe, y si es un subconjunto reticular en que está separado de entonces es un retículo disjunto de
Representación como suma disjunta de elementos positivos
Para cualquier , sean y donde debe tenerse en cuenta que ambos elementos son y con Entonces, y son disjuntos, y es la representación única de como la diferencia de elementos disjuntos que son Para todos los y Si y , entonces Además, si y solo si y
Cada espacio de Riesz es un retículo distributivo, es decir, tiene las siguientes propiedadesLas condiciones son equivalentes solo cuando se aplican a todas las ternas de un retículo. Hay elementos en (por ejemplo) que satisfacen la primera ecuación pero no la segunda. equivalentes: §6, Teorema 9 para todos los
y siempre implican
Cada espacio de Riesz cumple la propiedad de descomposición de Riesz.
Orden de convergencia
Hay varias formas significativas y no equivalentes de definir la convergencia de secuencias o redes con respecto a la estructura de orden de un espacio de Riesz. Se dice que una secuencia en un espacio de Riesz converge monótonamente si es una secuencia monótona decreciente (respectivamente, creciente) y su ínfimo (recíprocamente, supremo) existe en y se denota (respectivamente, ).
Se dice que una secuencia en un espacio de Riesz converge en orden a si existe una secuencia monótona convergente en tal que
Si es un elemento positivo de un espacio de Riesz , entonces se dice que una secuencia en converge u-uniformemente a si para cualquier existe un tal que para todo
Subespacios
La estructura adicional proporcionada por estos espacios permite generar distintos tipos de subespacios de Riesz. La colección de cada tipo de estructura en un espacio de Riesz (por ejemplo, la colección de todos los ideales) forma un retículo distributivo.
Subretículos
Si es un retículo vectorial, entonces un subretículo vectorial es un subespacio vectorial de tal que para todo pertenece a (donde este supremo se toma en ). Puede suceder que un subespacio de sea un retículo vectorial bajo su orden canónico pero que un subretículo vectorial de
Ideales
Un subespacio vectorial de un espacio de Riesz se llama ideal si es sólido, es decir, si para y implica que La intersección de una colección arbitraria de ideales es nuevamente un ideal, lo que permite la definición de un ideal más pequeño que contiene algún subconjunto no vacío de y se llama ideal generado por Un ideal generado por un conjunto unitario se llama ideal principal.
Bandas e ideales σ
Una banda en un espacio de Riesz se define como un ideal con la propiedad adicional de que para cualquier elemento para el que su valor absoluto es el supremo de un subconjunto arbitrario de elementos positivos en de forma que en realidad está en -. Los ideales se definen de manera similar, con las palabras 'subconjunto arbitrario' reemplazadas por 'subconjunto numerable'. Claramente, cada banda es ideal para , pero lo contrario no es cierto en general.
La intersección de una familia arbitraria de bandas es nuevamente una banda. Al igual que con los ideales, para cada subconjunto no vacío de existe una banda más pequeña que contiene ese subconjunto, llamada Una banda generada por un conjunto unitario se llama banda principal.
Bandas de proyección
Una banda en un espacio de Riesz se llama banda de proyección, si significa que cada elemento se puede escribir de forma única como una suma de dos elementos, con y Entonces también existe una idempotente lineal positiva, o tal que
La colección de todas las bandas de proyección en un espacio de Riesz forma un álgebra de Boole. Algunos espacios no tienen bandas de proyección no triviales (por ejemplo, ), por lo que este álgebra booleana puede ser trivial.
Completitud
Un retículo vectorial es completo si cada subconjunto tiene tanto un supremo como un mínimo.
Un retículo vectorial es completo de Dedekind si cada conjunto con un límite superior tiene un supremo y cada conjunto con un límite inferior tiene un mínimo.
Un retículo vectorial de orden completo y orden regular cuya imagen canónica en su bidual de orden es de orden completo se denomina mínima y se dice que es de tipo mínimo.
Subespacios, cocientes y productos
Subretículos
Si es un subespacio vectorial de un espacio vectorial preordenado , entonces el orden canónico en inducido por el cono positivo de es el preorden inducido por el cono convexo puntiagudo donde este cono es propio si es propio (es decir, si ).
Un subretículo de un retículo vectorial es un subespacio vectorial de tal que para todo pertenece a (es importante tener en cuenta que este supremo se toma en y no en ). Si con , entonces el subespacio vectorial bidimensional de definido por todas las aplicaciones de la forma (donde ) es un retículo vectorial bajo el orden inducido, pero un subretículo de Esto se produce a pesar de que es un orden completo arquimediano con un retículo vectorial topológico.