En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una cuasi norma (término también escrito en ocasiones como cuasinorma, cuasi-norma o casi norma), es una aplicación que satisface los axiomas de una norma excepto la desigualdad triangular, que se reemplaza por:
para algunos
Definición
Una en un espacio vectorial es una aplicación de valor real en que satisface las siguientes condiciones:
: para todos los y todos los escalares Existe un real tal que para todos los Si , entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular habitual.
Una es una cuasi seminorma que también satisface: Definida positiva/: si satisface entonces
Un par que consta de un espacio vectorial y una cuasi seminorma asociada , se denomina Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se llama
Multiplicador
El ínfimo de todos los valores de que satisfacen la condición (3) se llama de El multiplicador en sí también satisfará la condición (3), por lo que es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término se utiliza a veces para describir una cuasi seminorma cuyo multiplicador es igual a
Una (respectivamente, una ) es precisamente una cuasi norma (respectivamente, una cuasi seminorma) cuyo multiplicador es Así, cada seminorma es una cuasi seminorma y cada norma es una cuasi norma (y una cuasi seminorma).
Topología
Si es una cuasinorma en , entonces induce una topología vectorial en cuya base de entornos en el origen está dada por los conjuntos:
ya que abarca los números enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con dicha topología se llama o simplemente .
Todo espacio vectorial topológico cuasinormado es pseudometrizable.
Un espacio cuasinormado completo se llama Todo Espacio de Banach es un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.
Definiciones relacionadas
Un espacio cuasinormado se llama si el espacio vectorial es un álgebra y existe una constante tal que
para todo
Un álgebra cuasi normada completa se llama
Caracterizaciones
Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio cuasi normado si y solo si posee un entorno acotada del origen.
Ejemplos
Dado que toda norma es una cuasi norma, cada espacio vectorial normado es también un espacio cuasi normado.
Espacios con
Los espacios para son espacios cuasi normados (de hecho, incluso son espacios F) pero no son, en general, normables (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Para , un espacio de Lebesgue es un EVT metrizable completo (un espacio F), es decir, es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son el propio y el conjunto vacío) y el funcional lineal continuo en es la función constante . En particular, el teorema de Hahn–Banach se cumple para cuando
Véase también Espacio vectorial topológico metrizable Norma vectorial Seminorma Espacio vectorial topológico
Referencias
Bibliografía
Categoría:Álgebra lineal Categoría:Normas (matemáticas)