En el campo de análisis matemático, un espacio de interpolación es aquel que se encuentra "entre" otros dos espacios de Banach. Las principales aplicaciones figuran en los espacios de Sóbolev, donde los espacios de funciones que tienen un número no entero de derivadas se interpolan a partir de los espacios de funciones con un número entero de derivadas.
Historia La teoría de la interpolación de espacios vectoriales comenzó con una observación de Józef Marcinkiewicz, después generalizada y ahora conocida como el teorema de Riesz-Thorin. En términos simples, si una función lineal es continua en un determinado espacio y también en un determinado espacio , entonces también es continua en el espacio , para cualquier intermedio entre y . En otras palabras, es un espacio intermedio entre y .
En el desarrollo de los espacios de Sóbolev, quedó claro que los espacios de traza no eran ninguno de los espacios funcionales habituales (con un número entero de derivadas), y Jacques-Louis Lions descubrió que, de hecho, estos espacios de traza estaban constituidos por funciones que tienen un grado de diferenciabilidad no entero.
Se diseñaron muchos métodos para generar dichos espacios de funciones, incluidos la transformada de Fourier, la interpolación compleja,Los artículos fundamentales en esta sentido son and .. interpolación real,first defined in , desarrollados en , con notación ligeramente diferente (y más complicada, con cuatro parámetros en lugar de dos) de la notación actual. Fue puesto más tarde en la forma de hoy en , and . así como otras herramientas (véase, por ejemplo, cálculo fraccional).
Ajuste de la interpolación Se dice que un espacio de Banach está "incrustado continuamente" en un espacio vectorial topológico de Hausdorff cuando es un subespacio lineal de , de modo que la aplicación de inclusión de en es continua. Una pareja compatible de espacios de Banach consta de dos espacios de Banach y que están continuamente incrustados en el mismo espacio vectorial topológico de Hausdorff .Véase , pp. 96–105. El embebido en un espacio lineal permite considerar los dos subespacios lineales.
y
La interpolación no depende únicamente de las clases de equivalencia isomorfas (ni isométricas) de y . Depende de manera esencial de la posición relativa específica que ocupan y en un espacio mayor .
Se pueden definir normas sobre y mediante
Equipadas con estas normas, la intersección y la suma son espacios de Banach. Las siguientes inclusiones son todas continuas:
La interpolación estudia la familia de espacios que son espacios intermedios entre y en el sentido de que
donde las dos aplicaciones de inclusión son continuas.
Un ejemplo de esta situación es el par , donde los dos espacios de Banach están continuamente embebidos en el espacio de funciones medibles en la línea real, equipada con la topología de convergencia de la medida. En esta situación, los espacios , para , son intermedios entre y . Más generalmente,
con relaciones inyectivas continuas, de modo que, bajo la condición dada, es intermedio entre y .
Definición. Dados dos pares compatibles y , un par de interpolación es un par de espacios de Banach con las dos propiedades siguientes: El espacio X es intermedio entre y , e Y es intermedio entre e . Si es cualquier operador lineal de a , que asigna continuamente a y a , entonces también asigna continuamente a .
Se dice que el par de interpolación es de exponente (con ) si existe una constante tal que
para todos los operadores como se indica arriba. La notación es para la norma de como un aplicación de a . Si , se dice que es un 'par de interpolación exacto del exponente .
Interpolación compleja Si los escalares son números complejos, las propiedades de las funciones analíticas complejas se utilizan para definir un espacio de interpolación. Dada una pareja compatible (X0, X1) de espacios de Banach, el espacio lineal consta de todas las funciones , que son analíticas en continuas en y para las cuales todos los siguientes subconjuntos están acotados:
, , .
Además, es un espacio de Banach según la norma
Definición:Véase p. 88 en . Para , el espacio de interpolación complejo es el subespacio lineal de que consta de todos los valores f(θ) cuando f varía en el espacio de funciones anterior,
La norma en el espacio de interpolación complejo está definida por
Equipado con esta norma, el espacio de interpolación complejo es un espacio de Banach.
Teorema:Véase el Teorema 4.1.2, p. 88 en . Dados dos pares compatibles de espacios de Banach e , el par es un par de interpolación exacta del exponente , es decir, si , es un operador lineal acotado de a , entonces está delimitado de a , y además,
La familia de espacios (que consta de funciones con valores complejos) se comporta bien en condiciones de interpolación compleja.Véase Capítulo 5, p. 106 en . Si es un espacio métrico arbitrario, si y , entonces
con igualdad de normas. Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema de Riesz-Thorin.
Interpolación real Hay dos formas de introducir el método de interpolación real. El primero y más comúnmente utilizado cuando se identifican ejemplos de espacios de interpolación es el método K. El segundo método, el método J, proporciona los mismos espacios de interpolación que el método K cuando el parámetro está en . Que los métodos J y K concuerden es importante para el estudio de duales de espacios de interpolación: básicamente, el dual de un espacio de interpolación construido por el método K parece ser un espacio construido a partir del par dual por el método J (véase más abajo).
Método K El método K de interpolación real Véase pp. 293–302 en . se puede utilizar para espacios de Banach sobre el cuerpo de los números reales.
Definición: Sea un par compatible de espacios de Banach. Para y cada , sea
Cambiar el orden de los dos espacios da como resultado:Véase Proposición 1.2, p. 294 en .
Sea
El método K de interpolación real consiste en tomar como el subespacio lineal de que consta de todos los tales que .
Ejemplo Un ejemplo importante es el de la pareja , donde el funcional se puede calcular explícitamente. La medida se supone -finita. En este contexto, la mejor manera de separar la función como suma de dos funciones y es, para elegir algún como función de , dejar que esté dado para todos los por
La elección óptima de conduce a la fórmulaVéase p. 298 en .
donde es el reordenamiento decreciente de .
Método J Al igual que con el método K, el método J se puede utilizar para espacios de Banach reales.
Definición: Sea un par compatible de espacios de Banach. Para y para cada vector , sea :
Un vector en pertenece al espacio de interpolación si y solo si se puede escribir como
donde es medible con valores en y tal que
La norma de en viene dada por la fórmula
Relaciones entre los métodos de interpolación Los dos métodos de interpolación real son equivalentes cuando .Véase el Teorema 2.8, p. 314 en .
Teorema: Sea un par compatible de espacios de Banach. Si y , entonces : con equivalencia de normas.
El teorema cubre casos degenerados que no han sido excluidos: por ejemplo, si y forman una suma directa, entonces la intersección y los espacios J son el espacio nulo, y un cálculo simple muestra que los espacios K también son nulos.
Cuando , se puede hablar, hasta una renormación equivalente, de el espacio de Banach obtenido por el método de interpolación real con los parámetros y . La notación para este espacio de interpolación real es . Entonces, se tiene que
Para un valor dado de , los espacios de interpolación reales aumentan con :Véase Proposición 1.10, p. 301 en si y , se cumple la siguiente inclusión continua:
Teorema: Dados , y dos pares compatibles y , el par es un par de interpolación exacta del exponente .Véase el Teorema 1.12, pp. 301–302 en .
Un espacio de interpolación complejo no suele ser isomorfo a uno de los espacios dados por el método de interpolación real. Sin embargo, existe una relación general.
Teorema: Sea un par compatible de espacios de Banach. Si , entonces :
Ejemplos Cuando y , el espacio de funciones continuamente diferenciables en , el método de interpolación , para , da el espacio de Hölder del exponente . Esto se debe a que el K-funcional de esta pareja es equivalente a
Aquí solo son interesantes los valores .
La interpolación real entre espacios genera la familia del espacio de Lorentz.Véase Theorem 1.9, p. 300 . Suponiendo que y , se tiene:
con normas equivalentes. Esto se deduce de la desigualdad de Hardy y del valor dado anteriormente del K-funcional para esta pareja compatible. Cuando , el espacio de Lorentz es igual a , hasta la renormación. Cuando , el espacio de Lorentz es igual al espacio débil.
Teorema de reiteración Un espacio intermedio de la pareja compatible se dice que es de clase θ siVéase la Definición 2.2, pp. 309–310 en
con inyecciones continuas. Además de todos los espacios de interpolación reales con parámetros y , el espacio de interpolación complejo es un espacio intermedio de clase de la pareja compatible .
Los teoremas de reiteración dicen, en esencia, que interpolar con un parámetro se comporta, de alguna manera, como formar una combinación convexa : tomando una combinación convexa adicional de dos combinaciones convexas se obtiene otra combinación convexa.
Teorema.Véase el Teorema 2.4, p. 311 en Sean espacios intermedios de la pareja compatible , de clase y respectivamente, con . Cuando y , se tiene que:
Es notable que al interpolar con el método real entre y , solo importan los valores de y . Además, y pueden ser espacios de interpolación complejos entre y , con parámetros y respectivamente.
También existe un teorema de reiteración para el método complejo.
Teorema:Véase 12.3, p. 121 en . Sea un par compatible de espacios de Banach complejos y supóngase que es denso en y en . Sean y , donde . Supóngase además que es denso en . Entonces, por cada , :
La condición de densidad siempre se cumple cuando o .
Dualidad Sea una pareja compatible y supóngase que es denso en X0 y en X1. En este caso, la aplicación de restricción del dual (continuo) de , al dual de guarda una relación uno a uno. De ello se deduce que el par de duales es un par compatible continuamente embebido en el dual .
Para el método de interpolación complejo, se cumple el siguiente resultado de dualidad:
Teorema:Véase 12.1 and 12.2, p. 121 en . Sea un par compatible de espacios de Banach complejos y supóngase que es denso en y en . Si y son reflexivos, entonces el dual del espacio de interpolación complejo se obtiene interpolando los duales, :
En general, el dual del espacio es igual a un espacio definido por una variante del método complejo.Teorema 4.1.4, p. 89 in . El θ superior y el θ inferior de los distintos métodos no coinciden en general, pero sí si al menos uno de los dos espacios X0, X1 es reflexivo.Teorema 4.3.1, p. 93 en .
Para el método de interpolación real, la dualidad se cumple siempre que el parámetro q sea finito:
Teorema:Véase Teorema 3.1, p. 23 en , o Theorem 3.7.1, p. 54 en . Sean y un par compatible de espacios reales de Banach. Supóngase que es denso en y en . Entonces : donde
Definiciones discretas Dado que la función varía regularmente (está aumentando, pero está disminuyendo), la definición de la norma de un vector , previamente dada por una integral, es equivalente a una definición dada por una serie.Véase el capítulo. II in . Esta serie se obtiene rompiendo en pedazos de igual tamaño para la medida ,
En el caso especial en el que está embebido continuamente en , se puede omitir la parte de la serie con índices negativos . En este caso, cada una de las funciones define una norma equivalente en .