En matemáticas, un filtro en un conjunto es una familia de subconjuntos tal que: y Si y , entonces Si y , entonces
Se puede considerar que un filtro en un conjunto representa una "colección de subconjuntos grandes", siendo un ejemplo intuitivo de filtro de entornos. Los filtros aparecen en teoría del orden, en teoría de modelos y en teoría de conjuntos, pero también se pueden encontrar en topología, de donde se originan. La noción dual de filtro es la de ideal.
Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 y, como se describe en el artículo dedicado a filtros en topología, Nicolas Bourbaki los utilizó posteriormente en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción relacionada de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y Herman L. Smith. Los filtros de orden son generalizaciones de filtros desde conjuntos hasta conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios. Específicamente, un filtro en un conjunto es simplemente un filtro de orden adecuado en el caso especial en el que el conjunto parcialmente ordenado consiste en el conjunto potencia ordenado por el criterio de inclusión.
Preliminares, notación y nociones básicas
En este artículo, las letras romanas mayúsculas como denotan conjuntos (pero no familias, a menos que se indique lo contrario) y denotará el conjunto potencia de Un subconjunto de un conjunto potencia se llama (o simplemente, ) donde se define sobre si es un subconjunto de Las familias de conjuntos se indicarán con letras de caligrafía mayúsculas como Siempre que se necesiten estas suposiciones, se debe asumir que no está vacío y que etc., son familias de conjuntos sobre
Los términos "prefiltro" y "base de filtros" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.
Advertencia sobre definiciones y notaciones alternativas
Lamentablemente, existen varios términos en la teoría de los filtros que los distintos autores definen de forma diferente. Incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro", si bien las diferentes definiciones del mismo término generalmente tienen una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y de la topología de conjuntos de puntos). Estas diferencias en las definiciones a menudo tienen consecuencias importantes. Al trabajar con literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros. Por esta razón, en este artículo se establecen claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas notaciones varían mucho según cada autor (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros de un conjunto), por lo que en tales casos en este artículo se utiliza cualquier notación que se describa mejor o sea más sencilla de recordar.
La teoría de los filtros y prefiltros está bien desarrollada y tiene una gran cantidad de definiciones y notaciones, muchas de las cuales ahora se enumeran sin ceremonias para evitar que este artículo se vuelva prolijo y permitir una fácil búsqueda de notaciones y definiciones. Sus propiedades más importantes se describen más adelante.
Operaciones con conjuntos
El o isotonización en de una familia de conjuntos es
y de manera similar, el de es
+ Notación y definición Nombre de donde es un conjunto. o la donde es un conjunto; a veces denotado por de uno a uno (donde denota la intersección usual) de uno a uno (donde denota la unión usual) de uno a uno (donde denota el complemento de un conjunto usual) de un conjunto
En todo momento, es una aplicación y es un conjunto.
+ Notación y definición Nombre de o la de bajo de o la de de bajo de (o rango) de
Las redes y sus colas
Un es un conjunto junto con un conjunto preordenado, que se denotará por (a menos que se indique explícitamente lo contrario), que convierte a en un () ; esto significa que para todo existe algún tal que para cualquier índices la notación se define como mientras que se define para significar que se cumple, pero es cierto que (si es antisymmetric, entonces esto es equivalente a ).
Un es un mapa de un conjunto dirigido no vacío en La notación se utilizará para indicar una red con dominio
+ Notatción y definición Nombre o donde es un conjunto dirigido. o o / de También llamado generada por (las colas de) Si es una sucesión, entonces también se llama . final de/generado por (colas de) o donde es un conjunto dirigido.
Advertencia sobre el uso de la comparación estricta
Si es una red y , entonces es posible que el conjunto que se llama la , esté vacío (por ejemplo, esto sucede si es una cota superior del conjunto dirigido ). En este caso, la familia contendría el conjunto vacío, lo que impediría que fuera un prefiltro (definido más adelante). Esta es la razón (importante) para definir como en lugar de o incluso y es por esta razón que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta no puede usarse indistintamente con la desigualdad
Filtros y prefiltros
La siguiente es una lista de propiedades que puede poseer una familia de conjuntos y que forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe asumir que
Muchas de las propiedades de definidas arriba y abajo, como ser "propia" o "dirigida hacia abajo", no dependen de por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utilizan dichos términos. Las definiciones que implican estar como la de "filtrar en " dependen de , por lo que se debe mencionar el conjunto si no queda claro por el contexto.
No hay prefiltros en (ni hay redes valoradas en ), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que siempre que esta suposición sea necesaria.
Ejemplos básicos
Ejemplos nombrados
El conjunto unitario se llama o Es el único filtro en porque es un subconjunto de cada filtro en . Sin embargo, no es necesario que sea un subconjunto de cada prefiltro en
El ideal dual también se llama (a pesar de no ser realmente un filtro). Es el único ideal dual en que no es un filtro en
Si es un espacio topológico y entonces el filtro de entornos en es un filtro en Por definición, una familia se llama (respectivamente ) en si y solo si es un prefiltro (respectivamente es una subbase de filtro) y el filtro en que genera es igual al filtro de entornos La subfamilia de entornos abiertos es una base de filtro para Ambos prefiltros también forman base para topologías en siendo la topología generada más gruesa que Este ejemplo generaliza inmediatamente desde entornos de puntos a entornos de subconjuntos no vacíos
es un si para alguna secuencia
es un o un sobre si es un filtro sobre generado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generado por una secuencia que finalmente no es constante es necesariamente un ultrafiltro. Cada filtro principal en un conjunto numerable es secuencial al igual que cada filtro cofinito en un conjunto numerablemente infinito. La intersección de un número finito de filtros secuenciales es nuevamente secuencial.
El conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en es finito) es propio si y solo si es infinito (o equivalentemente, es infinito), en cuyo caso es un filtro en conocido como o en Si es finito, entonces es igual al ideal dual que no es un filtro. Si es infinito, entonces la familia de complementos de conjuntos unitarios es una subbase de filtros que genera el filtro de Fréchet en Como ocurre con cualquier familia de conjuntos sobre que contiene el núcleo del filtro de Fréchet en es el conjunto vacío:
La intersección de todos los elementos en cualquier familia no vacía es en sí misma un filtro en llamado o de por lo que puede denotarse como Dicho de otra manera, Debido a que cada filtro en tiene como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el mínimo es el filtro más fino/más grande (en relación con ) contenido como un subconjunto de cada miembro de . Si son filtros, entonces su mínimo en es el filtro . Si son prefiltros, entonces es un prefiltro que es más grueso (con respecto a ) que ambos (es decir, ); de hecho, es uno de los prefiltros más finos, lo que significa que si es un prefiltro tal que , entonces necesariamente Más generalmente, si son familias no vacías y si , entonces y son elemento más grande (con respecto a ) de
Sea y sea El o de denotado por es el ideal dual más pequeño (en relación con ) en que contiene cada elemento de como un subconjunto. Es decir, es el ideal dual más pequeño (en relación con ) en que contiene a como subconjunto. Este ideal dual es donde es el sistema Π generado por Al igual que con cualquier familia de conjuntos no vacía, está contenida en filtro en si y solo si es una subbase de filtros, o de manera equivalente, si y solo si es un filtro en en cuyo caso esta familia es el filtro más pequeño (respecto a ) en que contiene cada elemento de como un subconjunto y necesariamente
Sea y sea El o de indicado por , si existe, es por definición el filtro más pequeño (en relación con ) en que contiene cada elemento de como un subconjunto. Si existe, entonces necesariamente (como se definió anteriormente) y también serán iguales a la intersección de todos los filtros en que contengan Este supremo de existe si y solo si el ideal dual es un filtro en Es posible que el límite superior mínimo de una familia de filtros no sea un filtro. De hecho, si contiene al menos 2 elementos distintos, entonces existen filtros para los cuales existe un filtro que contiene a ambos Si no es una subbase de filtros, entonces el supremo de no existe y lo mismo ocurre con su supremo en , pero su supremo en el conjunto de todos los ideales duales en existirá (siendo el filtro degenerado ). Si son prefiltros (respectivamente filtros en ), entonces es un prefiltro (respectivamente un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si concuerdan), en cuyo caso es de los prefiltros más gruesos (respectivamente, el filtro más grueso) en (con respecto a ) que es más fino (con respecto a ) que ambos , esto significa que si es cualquier prefiltro (respectivamente cualquier filtro) tal que , entonces necesariamente , en cuyo caso se denota como
Sean conjuntos no vacíos y para cada sea un ideal dual en Si es cualquier ideal dual en , entonces es un ideal dual en llamado o .
El filtro club de un conjunto no numerable de cardinal regular es el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto club de Es un filtro completo cerrado bajo intersección diagonal.
Otros ejemplos
Sea y considérese que lo que convierte a en un prefiltro y una subbase de filtros que no está cerrada bajo intersecciones finitas. Debido a que es un prefiltro, el prefiltro más pequeño que contiene a es El sistema Π generado por es En particular, el prefiltro más pequeño que contiene la subbase de filtros es igual al conjunto de todas las intersecciones finitas de conjuntos en El filtro en generado por es Los tres que genera el sistema Π y son ejemplos de prefiltros fijos, principales y ultra que son principales en el punto y que también son un ultrafiltro en
Sea un espacio topológico, y se define donde es necesariamente más fino que Si no está vacío (respectivamente, no degenerado, una subbase de filtro, un prefiltro, cerrado bajo uniones finitas), entonces lo mismo se aplica a Si es un filtro en , entonces es un prefiltro pero no necesariamente un filtro en , aunque es un filtro en equivalente a