En matemáticas, particularmente en análisis funcional, los espacios de aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales pueden estar dotados de una variedad de topologías, dando lugar a las topologías en espacios de aplicaciones lineales. El estudio del espacio de aplicaciones lineales y de estas topologías puede dar una idea de los propios espacios.
El artículo topologías de operadores analiza las topologías en espacios de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales normados, mientras que este artículo analiza topologías en dichos espacios en el entorno más general de los espacios vectoriales topológicos (EVTs).
Topologías de convergencia uniforme sobre espacios arbitrarios de aplicaciones
En todo momento se asume lo siguiente: es cualquier conjunto no vacío y es una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por la inclusión de subconjuntos (es decir, para cualquier existe algún tal que ). es un espacio vectorial topológico (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexo). es una base de entornos de 0 en es un subespacio vectorial de Dado que es solo un conjunto que aún no se supone que esté dotado de ninguna estructura de espacio vectorial, aún no se debe suponer que consiste en aplicaciones lineales, que es una notación que todavía no se puede definir. que denota el conjunto de todas las funciones con valores con dominio
Topología 𝒢
Los siguientes conjuntos constituirán los subconjuntos abiertos básicos de las topologías en espacios de aplicaciones lineales. Para cualquier subconjunto y sea
La familia
forma una base de entornosNótese que cada conjunto es un entorno del origen para esta topología, pero no es necesariamente un entorno "abierto" del origen. en el origen de una topología invariante a la traslación única en donde esta topología es necesariamente una topología vectorial (es decir, es posible que no convierta a en un EVT). Esta topología no depende de la base de entornos que se eligió y se conoce como topología de convergencia uniforme en los conjuntos en o como topología . Sin embargo, este nombre se cambia con frecuencia según los tipos de conjuntos que componen (por ejemplo, la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos" o la "topología de convergencia compacta"; consúltese la nota al pie para obtener más detallesEn la práctica, generalmente consiste en una colección de conjuntos con ciertas propiedades y este nombre se cambia adecuadamente para reflejar este conjunto, de modo que si, por ejemplo, es la colección de subconjuntos compactos de (y es un espacio topológico), entonces esta topología se llama topología de convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de ).
Se dice que un subconjunto de es fundamental con respecto a si cada es un subconjunto de algún elemento en En este caso, la colección se puede reemplazar por sin cambiar la topología en . También se puede reemplazar con la colección de todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de elementos de sin cambiar la topología resultante en .
Un subconjunto de se denomina -acotado si es un subconjunto acotado de para cada
Propiedades
A continuación se describen las propiedades de los conjuntos abiertos básicos, así que supóngase que y Entonces, es un subconjunto absorbente de si y solo si para todo absorbe . Si es equilibrado (respectivamente, convexo), entonces también lo es
La igualdad
siempre se mantiene. Si es un escalar, entonces de modo que en particular, Además,
y de manera similar
Para cualquier subconjunto y cualquier subconjunto no vacío
lo que implica que: si entonces si entonces Para cualquier y subconjuntos de si entonces :
Para cualquier familia de subconjuntos de y cualquier familia de entornoos del origen en
Estructura uniforme
Para cualquier y , sea cualquier acompañamiento de (donde está dotado de su uniformidad canónica), sea
Dado la familia de todos los conjuntos , ya que abarca cualquier sistema fundamental de acompañamientos de , forma un sistema fundamental de acompañamientos para una estructura uniforme en denominada , o simplemente . La estructura uniforme de convergencia es el límite superior mínimo de todas las estructuras uniformes de convergencia ya que abarca
Redes y convergencia uniforme
Sea y sea una red en Entonces, para cualquier subconjunto de se dice que convege uniformemente a en si para cada existe algún tal que para cada que satisfaga (o equivalentemente, para cada ).
Propiedades heredadas
Convexidad local
Si es un espacio localmente convexo, entonces también lo es la topología en , y si es una familia de seminormas continuas que generan esta topología en , entonces la topología es inducida por la siguiente familia de seminormas:
ya que varía con respecto a y varía con respecto a .
Hausdorffsidad
Si es un espacio de Hausdorff y , entonces la topología en es de Hausdorff.
Supóngase que es un espacio topológico. Si es de Hausdorff y es el subespacio vectorial de que consta de todas las aplicaciones continuas que están acotadas en cada y si es denso en , entonces la topología en es de Hausdorff.
Acotación
Un subconjunto de es acotado en la topología si y solo si para cada está acotado en
Ejemplos de topologías 𝒢
Convergencia puntual
Si se considera que sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de , entonces la topología en es llamada topología de la convergencia puntual. La topología de convergencia puntual en es idéntica a la topología subespacial que hereda de cuando está dotado de la topología producto habitual.
Si es un espacio topológico de Hausdorff completamente regular no trivial y es el espacio de todas las funciones continuas con valores reales (o complejos) en la topología de la convergencia puntual en es metrizable si y solo si es numerable.
Topologías 𝒢 en espacios de aplicaciones lineales continuas
En esta sección se asume que e son espacios vectoriales topológicos (EVTs). será una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por inclusión. denotará el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas desde a Si a se le da la topología heredada de , entonces este espacio con esta topología se denota por . El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico sobre el campo (que se supondrá que es real o complejo) es el espacio vectorial y se denota por .
La topología en es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y solo si para todo y todo el conjunto está acotado en lo cual asumiremos que es el caso durante el resto del artículo. Téngase en cuenta en particular que este es el caso si consta de subconjuntos acotados (de von-Neumann) de
Supuestos sobre 𝒢
Supuestos que garantizan una topología vectorial
( está dirigido): será una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por inclusión (subconjunto). Es decir, para cualquier existe tal que .
La suposición anterior garantiza que la colección de conjuntos forma una base de filtros. La siguiente suposición garantizará que los conjuntos sean equilibrados. Cada EVT tiene una base de entornos en 0 que consta de conjuntos equilibrados, por lo que esta suposición no es complicada.
( están equilibrados): es una base de entornos del origen en que consta enteramente de conjuntos equilibrados.
La siguiente suposición se hace muy comúnmente porque garantizará que cada conjunto sea absorbente en
( están acotados): se supone que consiste enteramente en subconjuntos acotados de
El siguiente teorema muestra formas en las que se puede modificar sin cambiar la topología resultante en
Suposiciones comunes
Algunos autores (por ejemplo, Narici) requieren que cumpla la siguiente condición, lo que implica, en particular, que es un conjunto dirigido por inclusión de subconjuntos. se supone cerrado con respecto a la formación de subconjuntos de uniones finitas de conjuntos en (es decir, cada subconjunto de cada unión finita de conjuntos en pertenece a ).
Algunos autores (por ejemplo, Trèves) requieren que esté dirigido bajo la inclusión de subconjuntos y que cumpla la siguiente condición:
Si y son escalares, entonces existe un tal que
Si es una bornología en como suele ser el caso, entonces se cumplen estos axiomas. Si es una familia saturada de subconjuntos acotados de , entonces estos axiomas también se satisfacen.
Propiedades
Hausdorffsidad
Un subconjunto de un EVT cuyo sistema generador es un subconjunto denso de se dice que es un subconjunto total de Si es una familia de subconjuntos de un EVT , entonces se dice que es total en si el sistema generador de es denso en .
Si es el subespacio vectorial de que consta de todas las aplicaciones lineales continuas que están acotadas en cada entonces la topología en es de Hausdorff si es de Hausdorff y es total en
Completitud
Para los siguientes teoremas, supóngase que es un espacio vectorial topológico e es un espacio localmente convexo de Hausdorff y es una colección de subconjuntos acotados de que recubre está dirigido por inclusión de subconjuntos y satisface la siguiente condición: si y son escalares, entonces existe un tal que es complete si es localmente convexo y de Hausdorff es completo, y cuando es una aplicación lineal, entonces restringido a cada conjunto es continuo implica que es continuo,
Si es un espacio de Mackey, entonces está completo si y solo si tanto como son completos. Si es barrilado, entonces es de Hausdorff y cuasi completo. Sean e dos EVTs con cuasi completo y supóngase que (1) es barrilado, o bien (2) es un espacio de Baire y e son localmente convexos. Si recubre , entonces cada subconjunto equicontinuo cerrado de está completo en y es cuasi completo. Sea un espacio bornológico, un espacio localmente convexo y una familia de subconjuntos acotados de tal que el rango de cada secuencia nula en esté contenido en algún Si es cuasi completo (respectivamente, completo), entonces también lo es .
Acotado
Sean e espacios vectoriales topológicos y un subconjunto de Entonces las siguientes expresiones son equivalentes: está acotado en . Por cada está acotado en . Por cada entorno del origen en el conjunto absorbe cada
Si es un colectivo de subconjuntos acotados de cuya unión es total en , entonces cada subconjunto equicontinuo de está acotado en la topología . Además, si e son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces Si está acotado en (es decir, acotado puntualmente o simplemente acotado), entonces está acotado en la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos completos, acotados, equilibrados y convexos de Si es cuasi completo (lo que significa que los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces los subconjuntos acotados de son idénticos para todas las topologías donde es cualquier familia de subconjuntos acotados de que recubren
Ejemplos
("topología de convergencia uniforme sobre...") Notación Nombre ("topología de...") Nombre alternativoSubconjuntos finitos de Convergencia puntual/simpleTopología de convergencia simpleSubconjuntos precompactos de Convergencia precompactaSubconjuntos convexos compactos de Convergencia convexa compactaSubconjuntos compactos deConvergencia compactaSubconjuntos acotados de Convergencia acotadaTopología fuerte
Topología de la convergencia puntual
Al permitir que sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de tendrá la topología débil en o la topología de convergencia puntual o la topología de convergencia simple y con esta topología se refiere como . Desafortunadamente, esta topología a veces también se denomina topología de operador fuerte, lo que puede generar ambigüedad; por esta razón, este artículo evitará hacer referencia a esta topología con este nombre.
Un subconjunto de se denomina simplemente acotado o débilmente acotado si está acotado en .
La topología débil en tiene las siguientes propiedades: