En matemáticas, especialmente en análisis funcional, una bornología en un conjunto X es una colección de subconjuntos de X que satisfacen axiomas que generalizan la noción de conjunto acotado. Una de las motivaciones clave detrás de las bornologías y el análisis bornológico es el hecho de que los espacios bornológicos proporcionan un entorno conveniente para el álgebra homológica en el análisis funcional. Esto se debe a quepg 9 la categoría de los espacios bornológicos es aditiva, completa, cocompleta y tiene un producto tensorial adjunto por el hom interno, todos ellos componentes necesarios para definir un álgebra homológica.
Historia
La bornología se origina en el análisis funcional. Hay dos formas naturales de estudiar los problemas de análisis funcional: una es estudiar nociones relacionadas con la topología (topologías vectoriales, operadores continuos, subconjuntos abiertos/compactos, etc.) y la otra es estudiar nociones relacionadas con acotaciones (bornologías vectoriales, operadores lineales acotados, subconjuntos acotados, etc.).
Para los espacios vectoriales normados, de los cuales surgió el análisis funcional, las nociones topológicas y bornológicas son distintas pero complementarias y están estrechamente relacionadas. Por ejemplo, la bola unitaria centrada en el origen es a la vez un entorno del origen y un subconjunto acotado. Además, un subconjunto de un espacio normado es un entorno del origen (respectivamente, es "un conjunto acotado") exactamente cuando contiene (respectivamente, está contenido en) un múltiplo escalar distinto de cero de esta bola. Entonces, este es un caso donde las nociones topológicas y bornológicas son distintas pero complementarias, en el sentido de que sus definiciones difieren solo según qué relación se usa ( y ). En otras ocasiones, la distinción entre nociones topológicas y bornológicas puede incluso resultar innecesaria. Por ejemplo, para aplicaciones lineales entre espacios normados, ser continuo (una noción topológica) equivale a ser acotado (una noción bornológica). Aunque la distinción entre topología y bornología suele ser confusa o innecesaria para espacios normados, se vuelve más importante cuando se estudian generalizaciones de espacios normados. Sin embargo, la bornología y la topología todavía pueden considerarse dos aspectos necesarios, distintos y complementarios de una misma realidad.
La teoría general de los espacios vectoriales topológicos surgió primero de la teoría de los espacios normados y luego la bornología surgió de esta teoría general de los espacios vectoriales topológicos, aunque desde entonces la bornología ha sido reconocida como una noción fundamental en el análisis funcional. Nacido del trabajo de George Mackey (que da nombre al espacio de Mackey), la importancia de los subconjuntos acotados se hizo evidente por primera vez en teoría de la dualidad, especialmente debido al teorema de Mackey-Arens y a la topología de Mackey. A partir de la década de 1950, se hizo evidente que los espacios vectoriales topológicos eran inadecuados para el estudio de ciertos problemas importantes. Por ejemplo, la operación de multiplicación de algunas álgebras topológicas importantes no era continua, aunque a menudo estaba acotada. Otros problemas importantes para los cuales se encontró que los EVTs eran inadecuados fue el desarrollo de una teoría más general del cálculo diferencial, la generalización de las distribuciones desde las distribuciones con valores escalares (las habituales) a distribuciones con valores vectoriales o de operadores, y la extensión del cálculo funcional holomórfico de Gelfand (que está concertado principalmente con el álgebra de Banach o con el álgebra localmente convexa) a una clase más amplia de operadores, incluidos aquellos cuyos espectros no son compactos. Se ha descubierto que la bornología es una herramienta útil para investigar estos problemas y otros, incluidos problemas en geometría algebraica y topología general.
Definiciones
Una en un conjunto es un recubrimiento del conjunto que está cerrado bajo uniones finitas y tomando subconjuntos. Los elementos de una bornología se denominan .
Explícitamente, una en un conjunto es una familia de subconjuntos de tales que es estable bajo inclusión o si , y entonces cada subconjunto de es un elemento de Expresado en lenguaje coloquial, esto significa que los subconjuntos de conjuntos acotados están acotados. recubre Cada punto de es un elemento de algún o equivalente, Suponiendo (1), esta condición puede reemplazarse por: para cada En lenguaje sencillo, esto dice que cada punto está acotado. es estable bajo uniones finitas: la unión de un número finito de elementos de es un elemento de o, de manera equivalente, la unión de cualquier que pertenecen a también pertenece a En términos sencillos, esto dice que la unión de dos conjuntos acotados es un conjunto acotado.
en cuyo caso el par se denomina o .
Por lo tanto, una bornología puede definirse de manera equivalente como un recubrimiento cerrado hacia abajo que está cerrado bajo uniones binarias. Una familia de conjuntos no vacía que se cierra bajo uniones finitas y toma subconjuntos (propiedades (1) y (3)) se llama (porque es un ideal en el álgebra de Boole/álgebra de conjuntos que consta de todos los subconjuntos). Por lo tanto, una bornología en un conjunto puede definirse de manera equivalente como un ideal que recubre
Los elementos de se denominan o simplemente , si se sobreentiende . Las propiedades (1) y (2) implican que cada subconjunto unitario de es un elemento de cada bornología en la propiedad (3), a su vez, garantiza que lo mismo ocurre con cada subconjunto finito de En otras palabras, los puntos y los subconjuntos finitos siempre están acotados en cada bornología. En particular, el conjunto vacío siempre está acotado.
Si es una estructura acotada y entonces el conjunto de complementos es un filtro (adecuado) llamado ; siempre es un , lo que por definición significa que tiene una intersección vacía/núcleo, porque para cada
Bases y subbases
Si y son bornologías en , entonces se dice que es o que y también se dice que es o que si
Una familia de conjuntos se llama o de una bornología si y por cada existe un tal que
Una familia de conjuntos se llama de una bornología si y la colección de todas las uniones finitas de conjuntos en forman una base para .
Cada base de una bornología es también una subbase de ella.
Bornología generada
La intersección de cualquier colección de (una o más) bornologías en es una vez más una bornología en Tal intersección de bornologías recubrirá porque cada bornología en contiene cada subconjunto finito de (es decir, si es una bornología en y es finito, entonces ). Se verifica fácilmente que dicha intersección también se cerrará bajo inclusión (subconjunto) y uniones finitas y, por lo tanto, será una bornología en .
Dada una colección de subconjuntos de , la bornología más pequeña en que contiene se llama por . Es igual a la intersección de todas las bornologías en que contienen como subconjunto. Esta intersección está bien definida porque el conjunto potencia de es siempre una bornología en por lo que cada familia de subconjuntos de siempre está contenida en al menos una bornología en
Aplicaciones acotadas
Supóngase que e son estructuras acotadas. Un aplicación se llama o simplemente , si la imagen bajo de cada conjunto acotado es un conjunto acotado ; es decir, si por cada
Dado que la composición de dos aplicaciones acotadas localmente está nuevamente acotada localmente, está claro que la clase de todas las estructuras acotadas forma una categoría cuyos morfismos son aplicaciones acotadas. Un isomorfismo en esta categoría se llama y es un aplicación biyectiva acotada localmente cuya inversa también está acotada localmente.
Caracterizaciones
Supóngase que e son espacios vectoriales topológicos (EVT) y es un aplicación lineal. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes: es una aplicación acotada (localmente); Por cada disco bornívoro (es decir, acotado en el sentido bornológico) en también es bornívoro.
Si e son localmente convexos, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: hace corresponder discos acotados con discos acotados;
Si está seminormado e es localmente convexo, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: asigna secuencias nulas (es decir, secuencias que convergen al origen ) en subconjuntos acotados de
Ejemplos de aplicaciones acotadas
Si es un operador lineal continuo entre dos espacios vectoriales topológicos (ni siquiera necesitan ser de Hausdorff), entonces es un operador lineal acotado (cuando y tienen sus bornologías de von-Neumann). Lo contrario es en general falso.
Un aplicación secuencialmente continua entre dos EVTs está necesariamente acotada localmente.
Construcciones generales
Bornología discreta
Para cualquier conjunto el conjunto potencia de es una bornología en llamada Dado que cada bornología en es un subconjunto de la bornología discreta es la bornología más fina en Si es una estructura acotada, entonces (porque las bornologías son cerradas hacia abajo) es la bornología discreta si y solo si
Bornología no discreta
Para cualquier conjunto el conjunto de todos los subconjuntos finitos de es una bornología en llamada Es la bornología más gruesa en lo que significa que es un subconjunto de todas las bornologías en
Conjuntos de cardinalidad acotada
El conjunto de todos los subconjuntos numerables de es una bornología en De manera más general, para cualquier cardinal infinito, el conjunto de todos los subconjuntos de que tienen cardinalidad como máximo es una bornología en
Bornología de imagen inversa
Si es un aplicación y es una bornología en entonces denota la bornología generada por , que se denomina bornología de o inducida por en .
Sea un conjunto, sea una familia de estructuras acotadas indexada por y sea una familia de aplicaciones indexada por donde para cada La en determinada por estas aplicaciones es la bornología más fuerte en , lo que hace que cada esté limitada localmente. Esta bornología es igual a
Bornología de imagen directa
Sea un conjunto, sea una familia de estructuras acotadas indexada por y sea una familia de aplicaciones indexada por donde para cada La en determinada por estas aplicaciones es la bornología más débil en , lo que hace que cada esté limitada localmente. Si para cada denota la bornología generada por entonces esta bornología es igual a la colección de todos los subconjuntos de de la forma donde cada y todos menos un número finito de están vacíos.
Bornología subespacial
Supóngase que es una estructura acotada y es un subconjunto de La en es la bornología más fina en , lo que convierte la inyección canónica de en (definida por ) limitada localmente.
Bornología del producto
Sea una familia de estructuras acotadas indexada por , sea y para cada sea la proyección canónica. La en es la bornología de imagen inversa determinada por las proyecciones canónicas Es decir, es la bornología más fuerte en que hace que cada una de las proyecciones canónicas esté limitada localmente. proporciona una base para la bornología del producto.
Construcciones topológicas
Bornología compacta
Un subconjunto de un espacio topológico se llama relativamente compacta si su cierre es un subespacio compacto de Para cualquier espacio topológico en el que los subconjuntos unitarios sean relativamente compactos (como el espacio T1), el conjunto de todos los subconjuntos relativamente compactos de forma una bornología en llamada en Cada aplicación continua en el espacio T1 está limitada con respecto a sus bornologías compactas.
El conjunto de subconjuntos relativamente compactos de forman una bornología en Una base para esta bornología está dada por todos los intervalos cerrados de la forma para .
Bornología métrica
Dado un espacio métrico su consta de todos los subconjuntos tales que el supremo es finito.