En álgebra lineal, una función sublineal (o funcional, como se usa más a menudo en análisis funcional), también llamada cuasi-seminorma o funcional de Banach, en un espacio vectorial es una función con valor real con solo algunas de las propiedades de una seminorma. A diferencia de las seminormas, una función sublineal no tiene que tener un valor con signo, y tampoco tiene por qué ser homogénea. Las seminormas son en sí mismas abstracciones de la noción más conocida de norma, donde una seminorma tiene todas las propiedades definitorias de una norma, que no es necesario asignar vectores distintos de cero a valores distintos de cero.

En análisis funcional a veces se utiliza el nombre de funcional de Banach, lo que refleja que se utiliza con mayor frecuencia cuando se aplica la formulación general del teorema de Hahn–Banach. La noción de función sublineal fue introducida por Stefan Banach cuando demostró su versión del teorema de Hahn–Banach.

También se emplea una noción diferente en ciencias de la computación (que se describe más adelante), que también se conoce con el nombre de "función sublineal".

Definiciones

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo donde es el conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos Una función de valor real en se llama (o si es ), y a veces también se llama o , si tiene estas dos propiedades: <ol> ''Homogeneidad positiva/Homogeneidad no negativa: para todos los reales y todos los Esta condición se cumple si y solo si para todo real positivo y todo </li> Subaditividad/Desigualdad triangular: para todos los Esta condición de subaditividad requiere que tenga un valor real. </ol>

Una función se llama o si para todos los , aunque algunos autores definen positivo en el sentido de que siempre que . Estas definiciones no son equivalentes. Es una si para todos los Toda función simétrica subaditiva es necesariamente no negativa. Una función sublineal en un espacio vectorial real es simétrica si y solo si es una seminorma. Una función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es una seminorma si y solo si es equilibrada o, de manera equivalente, si y solo si para cada escalar de longitud unidad (que satisface ) y cada

El conjunto de todas las funciones sublineales en denotado por puede ser parcialmente ordenado declarando que si y solo si para todo Una función sublineal se llama si es un elemento mínimo de bajo este orden. Una función sublineal es mínima si y solo si es una funcional lineal real.

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada norma, seminorma y funcional lineal real es una función sublineal. La función identidad en es un ejemplo de función sublineal (de hecho, es incluso una funcional lineal) que no es ni positiva ni seminorma; lo mismo ocurre con la negación de esta aplicación De manera más general, para cualquier real, la aplicación

es una función sublineal en y además, toda función sublineal tiene esta forma. Específicamente, si y , entonces y .

Si y son funciones sublineales en un espacio vectorial real , entonces también lo es la aplicación . Más generalmente, si es cualquier colección no vacía de funcionales sublineales en un espacio vectorial real , y si para todo , , entonces es un funcional sublineal en

Una función que es subaditiva, convexa y que satisface que , también es positivamente homogénea (la última condición es necesaria como muestra el ejemplo de en ). Si es positivamente homogéneo, es convexo si y solo si es subaditivo. Por lo tanto, suponiendo que , dos propiedades cualesquiera entre subaditividad, convexidad y homogeneidad positiva implican la tercera.

Propiedades

Cada función sublineal es una función convexa: para

Si es una función sublineal en un espacio vectorial , entonces

para cada , lo que implica que al menos uno de los valores de y debe ser no negativo, es decir, por cada

Además, cuando es una función sublineal en un espacio vectorial real, entonces la aplicación definida por es una seminorma.

La subaditividad de garantiza que para todos los vectores

entonces, si también es simétrica, entonces la desigualdad triangular se mantendrá para todos los vectores

Definir y luego la subaditividad también garantiza que para todos los el valor de en el conjunto sea constante e igual a . En particular, si es un subespacio vectorial de , entonces y la asignación , que se denotará por , es una función sublineal de valor real bien definida en el espacio cociente que satisface . Si es una seminorma, entonces es solo la norma canónica habitual en el espacio cociente .

Agregar a ambos lados de la hipótesis (donde ) y combinarlo con la conclusión genera el resultado siguiente:

lo que produce muchas más desigualdades, incluyendo, por ejemplo,

en el que una expresión de un lado de una desigualdad estricta se puede obtener del otro reemplazando el símbolo por (o viceversa) y moviendo el paréntesis de cierre a la derecha (o izquierda) de un sumando adyacente (todos los demás símbolos permanecen fijos y sin cambios).

Seminorma asociada

Si es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial real (o si es complejo, entonces, cuando se considera como un espacio vectorial real), se tiene que la aplicación define una seminorma en el espacio vectorial real llamada seminorma asociada con . Una función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es función simétrica si y solo si donde como antes.

De manera más general, si es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial (real o complejo) , entonces

definirá una seminorma en si este supremo es siempre un número real (es decir, nunca igual a ).

Relación con funcionales lineales

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real , entonces los siguientes enunciados son equivalentes: es un funcional lineal. por cada por cada es una función sublineal mínima.

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real , entonces existe una función lineal en tal que

Si es un espacio vectorial real, es una funcional lineal en y es una función sublineal positiva en entonces en si y solo si

Dominación de un funcional lineal

Una función de valor real definida en un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo se dice que es una función sublineal si para cada que pertenece al dominio de Si es un funcional lineal real en , entonces está dominado por (es decir, ) si y solo si Además, si es una seminorma o alguna otra (que por definición, significa que es válido para todos los ), entonces si y solo si .

Continuidad

Supóngase ahora que es un espacio vectorial topológico (EVT) sobre los números reales o los números complejos y es una función sublineal sobre . Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes: es continua. es continua en 0. es uniformemente continua en . y si es positiva, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: está abierto en Si es un EVT real, es una función lineal en y es una función sublineal continua en entonces en implica que es continua.

Relación con funciones de Minkowski y conjuntos convexos abiertos

Relación con conjuntos convexos abiertos

Operadores

El concepto puede extenderse a operadores homogéneos y subaditivos. Esto requiere solo que el codominio sea, póngase por caso, un espacio vectorial ordenado para que las condiciones tengan sentido.

Definición en informática

En ciencias de la computación, una función se llama sublineal''' si o en notación asintótica (obsérvese el pequeño símbolo ). Formalmente, si y solo si, para cualquier dado existe un tal que para Es decir, crece más lentamente que cualquier función lineal. Los dos significados no deben confundirse: mientras que un funcional de Banach es convexo, ocurre casi lo contrario con las funciones de crecimiento sublineal: cada función puede estar acotada superiormente por una función cóncava de crecimiento sublineal.

Véase también Norma asimétrica Espacio normado auxiliar Teorema de Hahn–Banach Funcional lineal Funcional de Minkowski Norma vectorial Seminorma Superaditividad

Demostraciones

Referencias

Bibliografía

Categoría:Análisis funcional Categoría:Álgebra lineal Categoría:Tipos de funciones