thumb|300px|Una curva elíptica es una curva proyectiva suave de género uno
En geometría algebraica, una variedad proyectiva sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k es un subconjunto de algún n-espacio proyectivo sobre k que es el lugar de los ceros de alguna familia finita de polinomios homogéneos de n + 1 variables con coeficientes en k, que generan un ideal primo, el ideal definitorio de la variedad. De manera equivalente, una variedad algebraica es proyectiva si se puede incrustar como una subvariedad cerrada de Zariski de .
Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es uno; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es uno menos que la dimensión del espacio proyectivo que la contiene. En este caso, es el conjunto de ceros de un único polinomio homogéneo.
Si X es una variedad proyectiva definida por un ideal primo homogéneo I, entonces el anillo cociente
se llama anillo coordenado homogéneo de X. Los invariantes básicos de X, como el grado y la dimensión, se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este álgebra graduada.
Las variedades proyectivas surgen de muchas maneras. Son completas, lo que se puede expresar aproximadamente diciendo que no faltan puntos. Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación entre estas dos nociones. Para demostrar que una variedad es proyectiva se estudian los paquetes de rectas o los divisores en X.
Una característica destacada de las variedades proyectivas son las limitaciones de finitud de la cohomología del haz. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré. También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de las curvas proyectivas es particularmente rica e incluye una clasificación según el género de la curva. El programa de clasificación para variedades proyectivas de dimensiones superiores conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas. Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados de con el polinomio de Hilbert prescrito. Los esquemas de Hilbert, de los cuales los grasmanianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría invariante geométrica ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio de Teichmüller y las variedades de Chow.
Se dispone de una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen X tienen coeficientes complejos. En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios (o variedades) analíticos complejos proyectivos es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de haces de vectores holomorfos (más generalmente haces analíticos coherentes) sobre X coincide con la de los paquetes de vectores algebraicos. El teorema de Chow dice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar de los ceros de una familia de funciones holomorfas si y solo si es el lugar de los ceros de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge.
Variedad y estructura de esquema
Estructura de una variedad Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. La base de la definición de variedades proyectivas es el espacio proyectivo , que se puede definir de formas diferentes pero equivalentes:
Como el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en (es decir, todos los subespacios vectoriales unidimensionales de ) Como el conjunto de tuplas , donde no son todos cero, con módulo la relación de equivalencia : para cualquier . La clase de equivalencia de dicha tupla se denota por: . Esta clase de equivalencia es el punto general del espacio proyectivo. Los números se denominan coordenadas homogéneas del punto.
Una variedad proyectiva es, por definición, una subvariedad cerrada de , donde cerrado se refiere a la topología de Zariski. En general, los subconjuntos cerrados de la topología de Zariski se definen como el lugar cero común de una colección finita de funciones polinomiales homogéneas. Dado un polinomio , la condición
no tiene sentido para polinomios arbitrarios, pero solo si f es homogéneo, es decir, los grados de todos los monomios (cuya suma es f) son los mismos. En este caso, la anulación de
es independiente de la elección de .
Por lo tanto, las variedades proyectivas surgen de ideales primos homogéneos I de , y haciendo que
Además, la variedad proyectiva X es una variedad algebraica, lo que significa que está cubierta por subvariedades afines abiertas y satisface el axioma de separación. Así, el estudio local de X (por ejemplo, una singularidad) se reduce al de una variedad afín. La estructura explícita es la siguiente: el espacio proyectivo está cubierto por los mapas afines abiertos estándar
que a su vez son n-espacios afines con el anillo de coordenadas
Ahora, se hace que i = 0 para simplificar la notación y se elimina el superíndice (0). Entonces, es una subvariedad cerrada de definida por el ideal de generado por
para toda f en I. Por lo tanto, X es una variedad algebraica cubierta por (n+1) mapas afines abiertos .
Téngase en cuenta que X es el cierre de la variedad afín en . Por el contrario, a partir de alguna variedad cerrada (afín) , la clausura de V en es la variedad proyectiva llamada de V. Si define V, entonces el ideal definitorio de este cierre es el ideal homogéneoEste ideal homogéneo a veces se denomina homogeneización de I. de generado por
para toda f en I.
Por ejemplo, si V es una curva afín dada, por ejemplo, por en el plano afín, entonces su completamiento proyectivo en el plano proyectivo viene dado por
Esquemas proyectivos Para diversas aplicaciones, es necesario considerar objetos álgebro-geométricos más generales que las variedades proyectivas, es decir, esquemas proyectivos. El primer paso hacia los esquemas proyectivos es dotar al espacio proyectivo de una estructura de esquema, refinando de alguna manera la descripción anterior del espacio proyectivo como una variedad algebraica, es decir, es un esquema que es una unión de (n + 1) copias del n-espacio afín kn. De manera más general, el espacio proyectivo sobre un anillo A es la unión de los esquemas afines
de tal manera que las variables coincidan como se esperaba. El conjunto de puntos cerrados de , para cuerpos algebraicamente cerrados k, es entonces el espacio proyectivo en el sentido habitual.
Una construcción equivalente pero simplificada la proporciona la construcción proy, que es un análogo del espectro de un anillo, denominado "Espec", que define el espectro de un anillo. Por ejemplo, si A es un anillo, entonces
Si R es un cociente de por un ideal homogéneo I, entonces la sobreyección canónica induce la inmersión cerrada
En comparación con las variedades proyectivas, se abandonó la condición de que el ideal I fuera un ideal primo. Esto lleva a una noción mucho más flexible: por un lado, el espacio topológico puede tener múltiples componentes irreducibles. Además, puede haber funciones nilpotentes en X.
Los subesquemas cerrados de corresponden biyectivamente a los ideales homogéneos I de que son saturados; es decir, Este hecho puede considerarse como una versión refinada del teorema de los ceros de Hilbert.
Se puede dar una analogía sin coordenadas de lo anterior. Es decir, dado un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k, sea
donde es el álgebra simétrica de .Esta definición difiere de pero es consistente con las otras partes de Wikipedia. Es la proyectivización de V; es decir, parametriza rectas en V. Existe una aplicación sobreyectiva canónico , que se define utilizando el cuadro descrito anteriormente.Véase la demostración de Un divisor D en una variedad proyectiva X corresponde a un conjunto de líneas rectas L. Entonces, se tiene que
se llama sistema lineal completo de D.
El espacio proyectivo sobre cualquier esquema S se puede definir como un producto de fibra de esquemas
Si es la construcción Proy de , se considera que denota el retorno de a ; es decir, para la aplicación canónica
Un esquema X → S se llama proyectivo sobre S si factoriza como una inmersión cerrada
seguido de la proyección sobre S.
Un haz de rectas (o haz invertible) en un esquema X sobre S se dice que es muy amplio en relación con S si existe una immersión (es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada)
para algunos n para que retorne a . Entonces, un S-esquema X es proyectivo si y solo si es propio y existe un haz muy amplio en X con respecto a S. De hecho, si X es propio, entonces una inmersión correspondiente al haz de líneas muy amplio es necesariamente cerrada. Por el contrario, si X es proyectivo, entonces el retorno de bajo la inmersión cerrada de X en un espacio proyectivo es muy amplio. Que proyectivo implica propio es una relación más profunda, de acuerdo con el teorema principal de la teoría de la eliminación.
Relación con las variedades completas
Por definición, una variedad es completa, si es propia sobre k. El criterio valorativo de propiedad expresa la intuición de que en una variedad adecuada no "faltan" puntos.
Existe una estrecha relación entre variedades completas y proyectivas: por un lado, el espacio proyectivo y por tanto cualquier variedad proyectiva es completa. Lo contrario no es cierto en general. Sin embargo:
Una curva suave C es proyectiva si y solo si es completa. Esto se demuestra identificando C con el conjunto de anillos de valoración discretos de un cuerpo de funciones k(C) sobre k. Este conjunto tiene una topología natural de Zariski llamada espacio de Zariski-Riemann. El lema de Chow establece que para cualquier variedad completa X, existe una variedad proyectiva Z y un morfismo birracional Z → X. Además, a través de normalización, se puede asumir que esta variedad proyectiva es normal.
Algunas propiedades de una variedad proyectiva se derivan de la completitud. Por ejemplo,
para cualquier variedad proyectiva X sobre k. Este hecho es un análogo algebraico del teorema de Liouville (cualquier función holomorfa en una variedad compleja compacta conexa es constante). De hecho, la similitud entre la geometría analítica compleja y la geometría algebraica en variedades proyectivas complejas va mucho más allá, como se explica a continuación.
Las variedades cuasi-proyectivas son, por definición, aquellas que son subvariedades abiertas de variedades proyectivas. Esta clase de variedades incluye las variedades afines, que casi nunca son completas (o proyectivas). De hecho, una subvariedad proyectiva de una variedad afín debe tener dimensión cero. Esto se debe a que solo las constantes son globalmente funciones regulares en una variedad proyectiva.
Ejemplos e invariantes básicos
Por definición, cualquier ideal homogéneo en un anillo polinomial produce un esquema proyectivo (requiere ser primo ideal para generar una variedad). En este sentido, abundan los ejemplos de variedades proyectivas. La siguiente lista menciona varias clases de variedades proyectivas que son dignas de mención porque han sido estudiadas con especial intensidad. La importante clase de variedades proyectivas complejas, es decir, el caso , se analiza más adelante.
El producto de dos espacios proyectivos es proyectivo. De hecho, existe la inmersión explícita (llamada embebido de Segre)
Como consecuencia, el producto de variedades proyectivas sobre k es nuevamente proyectivo. El embebido de Plücker exhibe un grasmaniano como una variedad proyectiva. Las variedades de bandera, como el cociente del módulo el grupo lineal general , el subgrupo de matrices triangulares superiores, también son proyectivas, lo que es un hecho importante en la teoría de grupos algebraicos., Theorem 21.3