En geometría proyectiva, un óvalo es un conjunto de puntos en un plano, definido por sus propiedades de incidencia. Los ejemplos estándar son las cónicas no degeneradas. Sin embargo, una cónica solo está definida en un plano pappiano, mientras que un óvalo puede existir en cualquier tipo de plano proyectivo. En la bibliografía existen muchos criterios que implican que un óvalo es una cónica, pero también hay muchos ejemplos, tanto infinitos como finitos, de óvalos en planos pappianos que no son cónicas.
Como ya se ha mencionado, en geometría proyectiva un óvalo se define por sus propiedades de incidencia, pero en otras áreas, los óvalos pueden definirse para satisfacer otros criterios, como por ejemplo, en geometría diferencial mediante condiciones de diferenciabilidad en el plano real.
El análogo de dimensiones superiores de un óvalo es un ovoide en un espacio proyectivo.
Una generalización del concepto de óvalo es un óvalo abstracto, que es una estructura que no está necesariamente incrustada en un plano proyectivo. De hecho, existen óvalos abstractos que no pueden estar en ningún plano proyectivo.
Definición de un óvalo En un plano proyectivo, un conjunto de puntos se denomina óvalo, si: Cualquier línea recta se encuentra con en como máximo dos puntos, y Para cualquier punto existe exactamente una recta tangente a , es decir, }.
Cuando , la recta es una recta exterior (o pasante);En la literatura inglesa, este término suele tomarse del francés en lugar de traducirlo como una línea pasante. si , es una recta tangente; y si , es una recta secante.
Para planos finitos (es decir, si el conjunto de puntos es finito) se tiene una caracterización más conveniente: Para un plano proyectivo finito de orden (es decir, cualquier línea contiene ) puntos, un conjunto de puntos es un óvalo si y solo si y no tres puntos son colineales (es decir, pertenecen a una línea recta común).
Un conjunto de puntos en un plano afín que satisface la definición anterior se denomina óvalo afín.
Un óvalo afín es siempre un óvalo proyectivo en el cierre proyectivo (agregando una línea en el infinito) del plano afín subyacente.
Un óvalo también puede considerarse como un conjunto cuadrático especial.
Ejemplos
Secciones cónicas
En cualquier plano proyectivo papiano existen secciones cónicas proyectivas no degeneradas, y cualquier sección cónica proyectiva no degenerada es un óvalo. Esta afirmación se puede verificar mediante un cálculo sencillo para cualquiera de las cónicas (como parábolas o hipérbolas).
Las cónicas no degeneradas son óvalos con propiedades especiales: El teorema de Pascal y sus diversos casos degenerados son válidos. Existen varias proyectividades que dejan una cónica invariante.
Óvalos que no son cónicas En el espacio coordenado real Si se une la mitad de una circunferencia y la mitad de una elipse suavemente, se obtiene un óvalo que no es una cónica. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo que es una cónica como una parábola más un punto en el infinito y se reemplaza la expresión por , se obtiene un óvalo que tampoco es una cónica. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo que es una cónica como una hipérbola más dos puntos en el infinito y se reemplaza la expresión por , se obtiene así mismo un óvalo que no es una cónica. La curva implícita es un óvalo que no es una cónica.
En un plano finito de orden par En un plano papiano finito de orden par, una cónica no degenerada tiene un núcleo (un único punto por el que pasa cada tangente), que puede intercambiarse con cualquier punto de la cónica para obtener un óvalo que no es una cónica. Para el campo con elementos, sea
Para y y coprimos, el conjunto es un óvalo, que no es una cónica.B. Segre: Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due, Re. Math. Pures Appl. 2 (1957) pp. 289–300.
Se pueden encontrar más ejemplos finitos ideados por E. Hartmann.E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), p. 45.
Criterios para que un óvalo sea una cónica Para que un óvalo sea una cónica, el propio óvalo y/o el plano deben cumplir condiciones adicionales. Aquí hay algunos resultados: Un óvalo en un plano proyectivo arbitrario, que cumple la condición de incidencia del teorema de Pascal o su caso degenerado a 5 puntos, es una cónica no degenerada.F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens, Arch. d. Math. Vol. XVII, 1966, pp. 89-93. Si es un óvalo en un plano proyectivo pappiano y el grupo de proyectividades que dejan invariante a es 3-transitivo, es decir, para 2 tripletes de puntos existe una proyectividad Π con . En el caso finito, la condición de 2-transitivo es suficiente.J. Tits: Ovoides à Translations, Rend. Mat. 21 (1962), pp. 37–59. Un óvalo en un plano proyectivo pappiano de característica es una cónica si y solo si para cualquier punto de una tangente hay una perspectividad (simetría) involutiva con centro que deja a invariante.H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene, Abh. Math. Sem. Hamburg 45 (1976), pp. 237–244. Si es un óvalo en un plano proyectivo desarguesiano finitoTodo plano papiano es desarguesiano, y en el caso finito lo contrario también es cierto. Entonces, para los planos finitos, cualquiera de los descriptores es válido, pero en la bibliografía para planos finitos predomina el término "desarguesiano". (pappiano) de orden impar, , entonces es una cónica (teorema de Segre, ). Esto implica que, tras un posible cambio de coordenadas, todo óvalo de con impar tiene la parametrización:
Para óvalos topológicos se cumplen los siguientes criterios simples: 5. Cualquier óvalo cerrado del plano proyectivo complejo es una cónica.Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene, Math.-phys. Smesterberichte 26 (1979, pp. 244-260.
Otros resultados sobre óvalos en planos finitos
Un óvalo en un plano proyectivo finito de orden es un ()-arco, en otras palabras, un conjunto de puntos, tal que ningún trío es colineal. Los óvalos en el plano proyectivo desarguesiano (papiano) para valores de impares, son solo las cónicas no singulares. Sin embargo, los óvalos en para valores de pares aún no han sido clasificados.
En un plano proyectivo finito arbitrario de orden impar , no existen conjuntos con más de puntos, de los cuales no hay tres colineales, como señaló por primera vez Bose en un artículo de 1947 sobre aplicaciones de este tipo de matemáticas al diseño estadístico de experimentos. Además, por el teorema de Qvist, por cualquier punto que no esté en un óvalo pasan cero o dos líneas rectas tangentes a ese óvalo.
Cuando q es par, la situación es completamente diferente.
En este caso, pueden existir conjuntos de puntos, de los cuales no hay tres colineales, en un plano proyectivo finito de orden y se denominan hiperóvalos; estos son arcos máximos de grado 2.
Dado un óvalo, existe una única tangente que pasa por cada punto, y si es par, el teorema de Qvist () muestra que todas estas tangentes son concurrentes en un punto fuera del óvalo. Al agregar al óvalo este punto (llamado núcleo del óvalo o, a veces, nodo), se obtiene un hiperóvalo. Por el contrario, al eliminar cualquier punto de un hiperóvalo se obtiene inmediatamente un óvalo.
Como todos los óvalos en el caso de orden par están contenidos en hiperóvalos, una descripción de los hiperóvalos (conocidos) da implícitamente todos los óvalos (conocidos). Los óvalos obtenidos al eliminar un punto de un hiperóvalo son proyectivamente equivalentes si y solo si los puntos eliminados están en la misma órbita del grupo de automorfismos del hiperóvalo. Solo hay tres pequeños ejemplos (en los planos desarguesianos) donde el grupo de automorfismo del hiperóvalo es transitivo en sus puntos (véase ) por lo que, en general, existen diferentes tipos de óvalos contenidos en un solo hiperóvalo.
Caso desarguesiano: PG(2,2h)
Es el caso más estudiado de estos hiperóvalos.
Cada cónica no singular en el plano proyectivo, junto con su núcleo, forma un hiperóvalo. Estos pueden denominarse hipercónicas, pero el término más tradicional es hiperóvalos regulares. Para cada uno de estos conjuntos existe un sistema de coordenadas tal que el conjunto es:
Sin embargo, se pueden encontrar muchos otros tipos de hiperóvalos de PG(2, q) si q > 8. Los hiperóvalos de PG(2, q) para q par solo se han clasificado para q < 64 hasta la fecha (2023).
In PG(2,2h), h > 0, un hiperóvalo contiene al menos cuatro puntos, tales que ningún trío de ellos son colineales. Así, por el teorema fundamental de la geometría proyectiva, siempre se puede suponer que los puntos con coordenadas proyectivas (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y (1, 1,1) están contenidos en cualquier hiperóvalo. Los puntos restantes del hiperóvalo (cuando h > 1) tendrán la forma (t, f(t),1) donde t abarca los valores del campo finito GF(2h) y f es una función de aquel campo que representa una permutación y puede expresarse de forma única como un polinomio de grado como máximo (2h-2), es decir, es un polinomio de permutación. Obsérvese que f(0)=0 y f(1)=1 están obligados por el supuesto relativo a la inclusión de los puntos especificados. Otras restricciones sobre f son impuestas por la condición de que no hay tres puntos colineales. Una f que produce un hiperóvalo de esta manera se llama o-polinomio. La siguiente tabla enumera todos los hiperóvalos conocidos (en 2011) de PG(2,2h), dando su o-polinomio y cualquier restricción sobre el valor de h que sea necesaria para que la función mostrada sea un o-polinomio. Téngase en cuenta que se deben tomar todos los exponentes mod(2h-1).
Hiperóvalos conocidos en PG(2,2h)
Nombre O-Polinomio Restricción de campo ReferenciaHipercónicaf(t)= t2NingunaClásicaTraslación (i,h)= 1NingunaSegref(t)= t6h impar; Glynn If(t)= t3σ+4 (véase más abajo)h imparGlynn IIf(t)= tσ+γ (véase más abajo)h imparPaynef(t)= t1/6+t1/2+t5/6h imparCherowitzof(t)= tσ + tσ+2 + t3σ+4h impar; Subiacovéase (a) más abajoNingunaAdelaidevéase (b) más abajoh parPenttila-O'Keefevéase (c) más abajoh = 5donde .
(a): El o-polinomio de Subiaco viene dado por:
siempre que , donde tr es la función de traza absoluta de GF(2h). Este o-polinomio da lugar a un hiperóvalo único si y a dos hiperóvalos desiguales si .
(b): Para describir los hiperóvalos de Adelaide, se comienza en un entorno un poco más general. Sean F = GF(q) y K = GF(q2). Sea un elemento de norma 1, diferente de 1, es decir bq+1 = 1, . Considérese el polinomio, para , f(t)= (tr(b))−1tr(bm)(t + 1) + (tr(b))−1tr((bt + bq)m)(t + tr(b)t½+ 1)1−m + t½,
donde tr(x) = trK/F(x) = x + xq. Cuando q = 2h, con h par y m = ±(q - 1)/3, el f(t) anterior es un o-polinomio para el hiperóvalo de Adelaide.
(c): El o-polinomio de Penttila-O'Keefe viene dado por: f(t)= t4 + t16 + t28 + η11(t6 + t10 + t14 + t18 + t22 + t26) + η20(t8 + t20) + η6(t12 + t24), donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η5 = η2 + 1.
Hiperóvalos en PG(2, q), q par, q ≤ 64
Como los hiperóvalos en los planos desarguesianos de órdenes 2, 4 y 8 son todos hipercónicos, solo examinan los planos de órdenes 16, 32 y 64.
PG(2,16)
En figuran los detalles de una búsqueda por computadora de arcos completos en planos de órdenes pequeños, realizada por sugerencia de B. Segre. En PG(2,16) encontraron varios hiperóvalos que no eran hipercónicos. En 1975, M. Hall Jr. demostró, también con considerable ayuda de una computadora, que solo había dos clases de hiperóvalos proyectivamente desiguales en este plano, los hipercónicos y los hiperóvalos encontrados por Lunelli y Sce. De los 2040 o-polinomios que dan el hiperóvalo de Lunelli-Sce, solo se muestra uno: f(x)= x12 + x10 + η11x8 + x6 + η2x4 + η9x2,
donde η es un elemento primitivo de GF(16) que satisface η4 = η + 1.