mini|300px|Ejemplo de una variedad compleja: gráfico de una de las funciones theta de Neville
En matemáticas, la geometría compleja es el estudio de las estructuras y construcciones geométricas que surgen de los números complejos o están descritas por ellos. En particular, se ocupa del estudio de espacios tales como variedades complejas y variedades algebraicas complejas, funciones de múltiples variables complejas y construcciones holomorfas como haces de vectores holomorfos y paquetes coherentes. La aplicación de métodos trascendentes a la geometría algebraica cae en esta categoría, junto con aspectos más geométricos del análisis complejo.
La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría algebraica, la geometría diferencial y el análisis complejo, y utiliza herramientas de las tres áreas. Debido a la combinación de técnicas e ideas de diversas áreas, los problemas de geometría compleja suelen ser más manejables o concretos que otros tipos de cuestiones en general. Por ejemplo, la clasificación de variedades complejas y variedades algebraicas complejas a través de un programa de modelo mínimo y la construcción de espacio de módulos distingue el campo de la geometría diferencial, donde la clasificación de posibles variedad diferenciables es un problema significativamente más difícil. Además, la estructura adicional de geometría compleja permite, especialmente en su configuración compacta, que los resultados de análisis global se prueben con gran éxito, incluida la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi), la correspondencia no abeliana de Hodge y resultados de existencia para métricas de Kähler-Einstein y para la métrica de Kähler de curvatura escalar constante. Estos resultados a menudo retroalimentan la geometría algebraica compleja y, por ejemplo, recientemente la clasificación de variedades de Fano usando la K-estabilidad se ha beneficiado enormemente tanto de las técnicas de análisis como de la geometría birracional pura.
La geometría compleja tiene aplicaciones importantes en la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría conforme de campos; y la teoría de cuerdas y su simetría especular. A menudo es una fuente de ejemplos en otras áreas de las matemáticas, incluso en la teoría de representación, donde las variedades de banderas generalizadas puede estudiarse utilizando geometría compleja que conduce al teorema de Borel-Weil-Bott, o en topología simpléctica, donde las variedades de Kähler son simplécticas, en Geometría de Riemann donde las variedades complejas proporcionan ejemplos de estructuras métricas exóticas como la variedad de Calabi-Yau y la hipervariedad de Kähler, y en teoría de calibres, donde los haces de vectores holomorfos a menudo permiten obtener soluciones para ecuaciones diferenciales importantes que surgen de la física, como las ecuaciones de Yang-Mills. La geometría compleja también tiene un impacto en la geometría algebraica pura, donde los resultados analíticos en entornos complejos, como la teoría de Hodge de variedades de Kähler inspiran la comprensión de la estructura de Hodge para variedades y esquemas, así como la teoría p-ádica de Hodge, una teoría de la deformación para variedades complejas inspira la comprensión de la teoría de deformación de los esquemas, y los resultados sobre la cohomología de variedades complejas inspiraron la formulación de las conjeturas de Weil y las conjeturas estándar de Alexander Grothendieck. Por otro lado, los resultados y técnicas de muchos de estos campos a menudo retroalimentan la geometría compleja y, por ejemplo, los avances en las matemáticas de la teoría de cuerdas y la simetría especular han revelado mucho sobre la naturaleza de las variedades de Calabi-Yau, que los teóricos de cuerdas predicen que debería tener la estructura de fibraciones lagrangianas a través de la conjetura SYZ, y el desarrollo de la teoría de Gromov–Witten de variedades simplécticas ha llevado a avances en geometría enumerativa de variedades complejas.
La conjetura de Hodge, uno de los problemas del milenio, es una cuestión de geometría compleja.Voisin, C., 2016. The Hodge conjecture. In Open problems in mathematics (pp. 521-543). Springer, Cham.
Idea general thumb|Un ejemplo típico de espacio complejo es la esfera de Riemann. Puede verse como una esfera, una variedad suave que surge de la geometría diferencial, o como una esfera de Riemann, una extensión del plano complejo agregando un punto del infinito
En términos generales, la geometría compleja se refiere a espacios y objetos geométricos que, en cierto sentido, están modelados en el plano complejo. Características del plano complejo y del análisis complejo de una sola variable, como una noción intrínseca de orientabilidad (es decir, poder rotar consistentemente 90 grados en sentido antihorario en cada punto del plano complejo) y de la rigidez de las funciones holomorfas (es decir, la existencia de una única derivada compleja implica una diferenciabilidad compleja en todos los órdenes) se manifiestan en todas las formas de estudio de la geometría compleja. Como ejemplo, cada variedad compleja es canónicamente orientable, y una forma del teorema de Liouville se aplica a variedades complejas compactas o a variedades algebraicas complejas proyectivas.
La geometría compleja tiene una concepción diferente a lo que podría llamarse geometría real, el estudio de espacios basado en las propiedades geométricas y analíticas de la recta real. Por ejemplo, mientras que las variedades diferenciables admiten particiones de la unidad, colecciones de funciones suaves que pueden ser idénticamente iguales a uno en algún conjunto abierto, e idénticamente cero en otros lugares, las variedades complejas no admiten tales colecciones de funciones holomorfas. De hecho, esta es la manifestación del teorema de identidad, un resultado típico en un análisis complejo de una sola variable. En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja puede remontarse a esta observación fundamental.
Es cierto que toda variedad compleja es, en particular, una variedad realmente suave. Esto se debe a que el plano complejo es, después de olvidar su estructura compleja, isomorfo al plano real . Sin embargo, la geometría compleja no suele verse como un subcampo particular de la geometría diferencial, el estudio de variedades suaves. En particular, el teorema GAGA de Serre afirma que cada variedad analítica proyectiva es en realidad una variedad algebraica, y el estudio de datos holomórficos en una variedad analítica es equivalente al estudio de datos algebraicos.
Esta equivalencia indica que la geometría compleja está, en cierto sentido, más cerca de la geometría algebraica que de la geometría diferencial. Otro ejemplo de esta propiedad que se relaciona con la naturaleza del plano complejo es que, en el análisis complejo de una sola variable, las singularidades de una función meromorfa son fácilmente describibles. En cambio, la posibilidad del comportamiento singular de una función continua de valor real es mucho más difícil de caracterizar. Como resultado de esto, se pueden estudiar fácilmente espacios singulares en geometría compleja, como las variedades analíticas complejas singulares o variedades algebraicas complejas singulares, mientras que en geometría diferencial a menudo se evita el estudio de espacios singulares.
En la práctica, la geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis en múltiples variables complejas, y se utilizan herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos. Las direcciones típicas de interés en geometría compleja involucran la clasificación de espacios complejos, el estudio de objetos holomorfos adjuntos a ellos (como los haces de vectores holomorfos y los paquetes coherentes) y las relaciones íntimas entre objetos geométricos complejos y otras áreas de las matemáticas y la física.
Definiciones La geometría compleja se ocupa del estudio de variedades complejas, variedades algebraicas complejas y variedades analíticas complejas. En esta sección se definen estos tipos de espacios y se presentan las relaciones entre ellos.
Una variedad compleja es un espacio topológico tal que:
es un espacio de Hausdorff y cumple el segundo axioma de numerabilidad. es localmente homeomorfo para un subconjunto abierto de para algunos . Es decir, para cada punto , existe un entorno de y un homeomorfismo a un subconjunto abierto . Estos conjuntos abiertos se denominan cartas. Si y son dos cartas superpuestas que se asignan a conjuntos abiertos de respectivamente, entonces la función de transición es un biholomorfismo.
Debe tenerse en cuenta que dado que cada biholomorfismo es un difeomorfismo, y que es un isomorfismo como espacio vectorial sobre , cada variedad compleja de dimensión es, en particular, una variedad suave de dimensión , que siempre es un número par.
A diferencia de las variedades complejas que siempre son suaves, la geometría compleja también se ocupa de espacios posiblemente singulares. Una variedad analítica compleja afín es un subconjunto tal que alrededor de cada punto , hay una vecindad abierta de y una colección de un número finito de funciones holomorfas tales que . Por convención también se requiere que el conjunto sea irreducible. Un punto es singular si la matriz jacobiana del vector de funciones holomorfas no tiene rango completo en , y no singular en caso contrario. Una variedad analítica compleja proyectiva es un subconjunto de un espacio proyectivo complejo que está, de la misma manera, dado localmente por los ceros de una colección finita de funciones holomorfas en subconjuntos abiertos de .
De manera similar, se puede definir una variedad algebraica compleja afín como un subconjunto que se da localmente como el conjunto cero de un número finito de polinomios en variables complejas. Para definir una variedad algebraica compleja proyectiva, se requiere que el subconjunto esté dado localmente por el conjunto cero de un número finito de polinomios homogéneos.
Para definir una variedad algebraica compleja general o analítica compleja, se requiere la noción de espacio localmente anillado. Una variedad algebraica/analítica compleja es un espacio localmente anillado que es localmente isomorfo como un espacio localmente anillado a una variedad algebraica/analítica compleja afín. En el caso analítico, normalmente se permite que tenga una topología que es localmente equivalente a la topología subespacial debido a la identificación con subconjuntos abiertos de , mientras que en el caso algebraico suele estar equipado con un Topología de Zariski. Nuevamente también se requiere por convención que este espacio anillado localmente sea irreducible.
Dado que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad analítica/algebraica afín se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja. El conjunto de puntos de una variedad que son singulares se denomina "lugar singular", denotado , y el complemento es el lugar geométrico no singular o suave, denotado . Se dice que una variedad compleja es suave o no singular si su locus singular está vacío. Es decir, si es igual a su lugar geométrico no singular.
Según el teorema de la función implícita para funciones holomorfas, cada variedad compleja es en particular una variedad analítica compleja no singular, pero en general no es afín ni proyectiva. Según el teorema GAGA de Serre, toda variedad analítica compleja proyectiva es en realidad una variedad algebraica compleja proyectiva. Cuando una variedad compleja no es singular, es una variedad algebraica compleja. De manera más general, el lugar no singular de cualquier variedad compleja es una variedad algebraica compleja.
Tipos de espacios complejos
Variedades de Kähler