En geometría, un poliedro romo (traducción libre del término inglés snub, con el significado de "chato") es un poliedro obtenido al realizar una operación de achatado, que equivale a la alternación de un poliedro previamente omnitruncado o truncado, según la definición. Algunos autores, pero no todos, incluyen los antiprismas como poliedros romos, ya que se obtienen mediante esta construcción a partir de un poliedro degenerado con solo dos caras (un diedro).
Los poliedros romos quirales no siempre tienen simetría especular y, por lo tanto, a veces tienen dos formas enantiomorfas (levógiras y dextrógiras) que son especulares entre sí. Sus grupos de simetría son todos los grupos de puntos del espacio tridimensional.
Los poliedros romos tienen símbolo de Wythoff y por extensión, configuración de vértices . Los poliedros retrorromos (un subconjunto de los poliedros romos, que contiene al gran icosaedro, al pequeño icosicosidodecaedro retrorromo y al gran icosidodecaedro retrorromo) todavía tienen esta forma de símbolo de Wythoff, pero sus configuraciones de vértice son:
Lista de poliedros romos
Uniformes
Hay 12 poliedros romos uniformes, sin incluir los antiprismas, el icosaedro como un tetraedro romo, el gran icosaedro como un tetraedro retrorromo y el gran dirrombidodecaedro birromo, también conocido como figura de Skilling.
Cuando el triángulo de Schwarz del poliedro romo es isósceles, el poliedro romo no es quiral. Este es el caso de los antiprismas, el icosaedro, el gran icosaedro, el pequeño icosicosidodecaedro romo y el pequeño icosicosidodecaedro retrorromo.
En las siguientes imágenes de la generación de las figuras achatadas (que muestran un poliedro romo distorsionado, topológicamente idéntico a la versión uniforme, obtenido alternando geométricamente el poliedro omnitruncado uniforme principal), cuando el color verde no está presente, las caras generadas mediante la alternación están coloreadas de rojo y amarillo, mientras que los triángulos romos son azules. Cuando está presente el verde (solo para los casos del icosidodecadodecaedro romo y del gran dodecicosidodecaedro romo), las caras derivadas de la alternancia son rojas, amarillas y azules, mientras que los triángulos romos son verdes.
Poliedro romo Imagen Poliedro omnitruncado original Imagen Generación del achatado Grupo de simetría Símbolo de WythoffDescripción de vérticesIcosaedro(tetraedro romo)Octaedro truncadoIh (Th)| 3 3 23.3.3.3.3Gran icosaedro(tetraedro retrorromo)Octaedro truncadoIh (Th)| 2 3/2 3/2(3.3.3.3.3)/2Cubo romoo cuboctaedro romoCuboctaedro truncadoO| 4 3 23.3.3.3.4Dodecaedro romoo icosidodecaedro romoIcosidodecaedro truncadoI| 5 3 23.3.3.3.5Pequeño icosicosidodecaedro romoIcosaedro truncadodoblemente recubiertoIh| 3 3 5/23.3.3.3.3.5/2Dodecadodecaedro romoPequeño rombidodecaedrocon 12 caras extra ({10/2})I| 5 5/2 23.3.5/2.3.5Icosidodecadodecaedro romoDodecadodecaedro icositruncadoI| 5 3 5/33.5/3.3.3.3.5Gran icosidodecaedro romoRombicosaedrocon 12 caras extra ({10/2})I| 3 5/2 23.3.5/2.3.3Dodecadodecaedro romo invertidoDodecadodecaedro truncadoI| 5 2 5/33.5/3.3.3.3.5Gran dodecicosidodecaedro romoGran dodecicosaedrocon 12 caras extra ({10/2}) —I| 3 5/2 5/33.5/3.3.5/2.3.3Gran icosidodecaedro romo invertidoGran icosidodecaedro truncadoI| 3 2 5/33.5/3.3.3.3Pequeño icosicosidodecaedro retrorromoIcosaedro truncadodoblemente recubierto —Ih| 5/2 3/2 3/2(3.3.3.3.3.5/2)/2Gran icosidodecaedro retrorromoGran rombidodecaedrocon 20 caras extra ({6/2}) —I| 2 5/3 3/2(3.3.3.5/2.3)/2Gran dirrombicosidodecaedro — — —Ih| 3/2 5/3 3 5/2(4.3/2.4.5/3.4.3.4.5/2)/2Gran dirrombidodecaedro birromo———Ih| (3/2) 5/3 (3) 5/2(3/2.3/2.3/2.4.5/3.4.3.3.3.4.5/2.4)/2
Notas:
Icosaedro, cubo romo y dodecaedro romo son los tres únicos poliedros romos convexos. Se obtienen mediante el achatado del octaedro truncado, del cuboctaedro truncado y del icosidodecaedro truncado; tres poliedros cuasirregulares truncados convexos. El único poliedro romo con el grupo de simetrías octaédrico quiral es el cubo romo. Solo el icosaedro y el gran icosaedro son también poliedros regulares. También son deltaedros. Solo el icosaedro, el gran icosaedro, el pequeño icosicosidodecaedro romo, el pequeño icosicosidodecaedro retrorromo, el gran dirrombicosidodecaedro y el gran dirrombidodecaedro birromo también poseen simetrías de reflexión.
También existe el conjunto infinito de antiprismas. Se forman a partir de prismas, que se truncan como hosoedros, poliedros regulares degenerados. A continuación se enumeran todos los tipos hasta la forma hexagonal. En las imágenes que muestran la generación del achatado, las caras derivadas de la alternancia (de las bases del prisma) están coloreadas en rojo y los triángulos romos están coloreados en amarillo. La excepción es el tetraedro, para el que todas las caras se generan como triángulos procedentes del achatado rojos, ya que alternar las bases cuadradas del cubo da como resultado dígonos degenerados como caras.
Poliedro romo Imagen Poliedro omnitruncado original Imagen Generación del achatado Grupo de simetría Símbolo de WythoffDescripción de vérticesTetraedroCuboTd (D2d)| 2 2 23.3.3OctaedroPrisma hexagonalOh (D3d)| 3 2 23.3.3.3Antiprisma cuadradoPrisma octogonalD4d| 4 2 23.4.3.3Antiprisma pentagonalPrisma decagonalD5d| 5 2 23.5.3.3Antiprisma pentagrámicoPrisma pentagonaldoblemente recubiertoD5h| 5/2 2 23.5/2.3.3Antiprisma cruzado pentagrámicoPrisma decagrámicoD5d| 2 2 5/33.5/3.3.3Antiprisma hexagonalPrisma dodecagonalD6d| 6 2 23.6.3.3
Notas:
Dos de estos poliedros pueden construirse a partir de los dos primeros poliedros romos de la lista que comienza con el icosaedro: el antiprisma pentagonal es un icosaedro parabidisminuido y el antiprisma cruzado pentagrámico es un gran icosaedro parabidisminuido, también conocido como gran icosaedro parabireplenado.
No uniformes
Dos sólidos de Johnson son poliedros romos: el biesfenoide romo y el antiprisma cuadrado romo. Ninguno de ellos es quiral.
Poliedro romo Imagen Poliedro original Imagen Grupo de simetríaBiesfenoide romoDisfenoideD2dAntiprisma cuadrado romoAntiprisma cuadradoD4d
Referencias
Bibliografía
Mäder, R. E. Poliedros uniformes. Mathematica J. 3, 48-57, 1993.
Categoría:Poliedros