En análisis matemático, una medida de Young es un familia paramétrica de medidas que está asociada con ciertas subsucesiones de una sucesión acotada dada de funciones medibles. Uno de sus propósitos es cuantificar el efecto de oscilación de la sucesión en el límite. Las medidas de Young tienen aplicaciones en el cálculo variacional, especialmente modelos de la ciencia de materiales, y el estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, así como en diversos problemas de optimización (o control óptimo ). Llevan el nombre de Laurence Chisholm Young, quien las inventó en 1937 en el caso de dimensión 1 (curvas) y posteriormente en dimensiones superiores en 1942.

Definición

Motivación La definición de medidas de Young está motivada por el siguiente teorema: Sean m, n enteros positivos arbitrarios, sean ser un subconjunto acotado abierto de y ser una sucesión acotada en . Entonces existe una subsucesión y, para casi todo , una medida boreliana de probabilidad en tal que para cada tenemos

débilmente en si el límite existe (o débilmente* en en caso de ). Las medidas se llaman medidas de Young generadas por la sucesión .

Un recíproco parcial también es cierto: si para cada tenemos una medida de Borel en tal que , entonces existe una sucesión , limitado en , que tiene la misma propiedad de convergencia débil que la anterior.

De manera más general, para cualquier función de Carathéodory , el límite

si existe, estará dado por

.

La idea original de Young en el caso era considerar, para cada número entero , la medida uniforme, digamos concentrada en la gráfica de la función (Aquí, es la restricción de la medida de Lebesgue a ) Al tomar el límite débil* de estas medidas como elementos de tenemos

dónde es el límite débil mencionado. Después de una desintegración de la medida en el producto obtenemos la medida parametrizada .

Definición general Dejar ser números enteros positivos arbitrarios, sean ser un subconjunto abierto y acotado de , y deja . Una medida de Young (con p -momentos finitos) es una familia de medidas de probabilidad de Borel en tal que .

Ejemplos

Sucesión puntualmente convergente Un ejemplo trivial de medida de Young es cuando la sucesión está acotada en y converge puntualmente en casi todas partes en a una función . La medida de Young es entonces la medida de Dirac

De hecho, según el teorema de convergencia dominada, converge débilmente* en a

para cualquier .

Sucesión de funciones oscilatorias Un ejemplo menos trivial es una sucesión

Se puede demostrar que la medida de Young correspondiente satisface

para cualquier conjunto medible . En otras palabras, para cualquier :

en . En este caso, la medida de Young no depende de y por tanto el límite débil* es siempre una constante.

Sucesión minimizante Para cada sucesión asintóticamente minimizante de

sujeto a (es decir, la sucesión satisface ), y tal vez después de pasar a una subsecesión, la sucesión de derivadas genera medidas Young de la forma con medible. Esto captura las características esenciales de todas las sucesiones minimizantes para este problema, es decir, sus derivadas tenderán a concentrarse a lo largo de los mínimos del integrando .

En general, dada una familia medible de medidas de probabilidad, es posible construir una sucesión de funciones tales que para casi toda .

Referencias

, memoir presented by Stanisław Saks at the session of 16 December 1937 of the Warsaw Society of Sciences and Letters. The free PDF copy is made available by the RCIN –Digital Repository of the Scientifics Institutes. .

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