En matemáticas, específicamente en la teoría de funciones elípticas, el nombre (o también nomo; nome en inglés) es una función especial que pertenece a la clase de las funciones no elementales. Es de gran importancia en la descripción de las funciones elípticas, especialmente en la caracterización de la identidad modular de la función theta de Jacobi, los trascendentes elípticos de Hermite y las funciones modulares de Weber, que se utilizan para resolver ecuaciones de grados superiores.
Definición
La función nombre viene dada por
donde e son las funciones cuartos de período; y son el par fundamental de períodos; y es la razón de los semiperíodos. Se puede considerar que el nombre es una función de cualquiera de estas cantidades. Por el contrario, cualquiera de estas cantidades puede tomarse como función del nombre. Cada una de ellas determina de forma única a las demás cuando . Es decir, cuando , las asignaciones entre estos diversos símbolos son tanto 1 a 1 como continuas, por lo que pueden invertirse: los cuartos, los semiperíodos y la razón de los semiperíodos se pueden escribir explícitamente como funciones del nombre. Para general con , no es una función de un solo valor de . En el artículo vinculado se dan expresiones explícitas para los cuartos de período en función del nombre.
En particular, los cuartos de período y generalmente se usan solo en el contexto de la función elíptica de Jacobi, mientras que los semiperíodos y generalmente se usan solo en el contexto de las funciones elípticas de Weierstraß. Algunos autores, en particular Apostol, utilizan y para indicar períodos completos en lugar de semiperíodos.
El nomo se utiliza frecuentemente como un valor con el que se pueden describir funciones elípticas y formas modulares. Por otro lado, también se puede ver como una función, dado que los cuartos de período son funciones del módulo elíptico : .
El nombre complementario viene dado por
A veces se utiliza la notación para el cuadrado del nombre.
Las funciones mencionadas y se denominan integrales elípticas completas de primera especie. Se definen de la siguiente manera:
Aplicaciones
El nomo permite resolver la ecuación siguiente:
Esta analogía es válida para el módulo complementario pitagórico:
donde son las funciones theta de Jacobi completas y es la integral elíptica completa de primera especie con el módulo que se muestra en la fórmula anterior. Para las funciones theta completas, estas definiciones introducidas por Edmund Whittaker y George Neville Watson son válidas:
Estas tres fórmulas de definición están escritas en la cuarta edición del libro Un curso de análisis moderno escrito por Whittaker y Watson (en las páginas 469 y 470). El nomo se usa comúnmente como punto de partida para la construcción de la serie de Lambert, los símbolos q-Pochhammer y, más en general, los q-análogos. Es decir, la relación de medio período se usa comúnmente como coordenada en el semiplano superior complejo, habitualmente dotado de una métrica de Poincaré para obtener un modelo de semiplano de Poincaré. El nomo sirve entonces como coordenada en un disco perforado de radio unitario, que está perforado porque no forma parte del disco (o mejor dicho, corresponde a ). Esto dota al disco perforado de la métrica de Poincaré.
El semiplano superior (y el disco de Poincaré, y también el disco perforado) pueden así revestirse con el dominio fundamental, que es la región de valores de la relación de semiperíodos (o de , o de y , etc.) que determinan de forma única un teselado del plano mediante paralelogramos. El teselado se conoce como una simetría modular dada por un grupo modular. Algunas funciones que son periódicas en el semiplano superior se denominan formas modulares; el nomo, los semiperíodos, los cuartos de período o la relación de semiperíodos proporcionan diferentes parametrizaciones para estas funciones periódicas.
La función modular prototípica es el j-invariante de Klein. Puede escribirse como una función de la relación de medio período τ o en función del nombre . La expansión en serie en términos del nomo o el cuadrado del nomo (su q-expansión) está conectada al grupo mónstruo de Fisher-Griess a través del grupo monstruo moonshine.
La función de Euler surge como el prototipo de la serie q en general.
El nomo, como de la serie q, surge entonces en la teoría de las álgebras afines de Lie, esencialmente porque estas álgebras describen las simetrías e isometrías de la superficie de Riemann.
Dibujo de curvas
Cada valor real del intervalo se asigna a un número real entre el cero y el uno (ambos inclusive) en la función nominal . La función del nombre elíptico posee simetría axial con respecto al eje de ordenadas. Así: . La curva funcional del nomo pasa por el origen de coordenadas con pendiente cero y curvatura con valor más un octavo. Para el intervalo de valor real , la función nominal está estrictamente curvada hacia la izquierda.
Derivadas
La relación de Legendre se define de la manera siguiente:
Y como se describió anteriormente, la función elíptica nombre tiene esta definición original:
Además, estas son las derivadas de las dos integrales elípticas completas:
Por tanto, la derivada de la función nomo tiene la siguiente expresión:
La segunda derivada se puede expresar de esta manera:
Y la tercera derivada tiene la forma:
La integral elíptica completa de segunda especie se define de la siguiente manera:
De las siguientes ecuaciones, eliminando la integral elíptica completa de segunda especie, se deduce lo siguiente:
Por lo tanto, la siguiente ecuación diferencial cuartica de tercer orden es válida:
Serie de MacLaurin y secuencias enteras
Serie de Kneser
Se da la derivada del nomo elíptico mencionado anteriormente:
El factor externo con la integral K en el denominador que se muestra en esta ecuación es la derivada de la razón del período elíptico. La relación del período elíptico es el cociente de la integral K del módulo complementario pitagórico dividida por la integral K del módulo mismo. Y la secuencia de números enteros en la serie de MacLaurin de esa relación de período elíptico conduce directamente a la sucesión de números enteros de la serie del nomo elíptico.
El matemático alemán Adolf Kneser investigó la secuencia entera de la relación del período elíptico en su trabajo Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen, y demostró que la función generadora de esta sucesión es una función elíptica. También otro matemático, Robert Fricke, analizó esta secuencia de números enteros en su ensayo Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen y describió los métodos de cálculo precisos utilizando la mencionada sucesión. La serie entera de Kneser Kn(n) se puede construir de esta manera:
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Ejemplos calculados:
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La serie de Kneser aparece en la serie de Taylor de la relación del período (relación del semiperíodo):
La derivada en de la ecuación anterior conduce a esta otra ecuación, que muestra la función generatriz de la serie numérica de Kneser:
Este resultado se obtiene gracias a que aparece en el numerador la relación de Legendre: .
Serie de Schellbach-Schwarz
El matemático Karl Heinrich Schellbach descubrió la serie de números enteros que aparece en la serie de MacLaurin de la raíz cuarta de la función cociente nomo elíptico dividida por la función cuadrado. Este científico construyó en detalle la secuencia en su obra Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen. Especialmente en la página 60 de esta obra se anota una ruta de síntesis de la mencionada secuencia. También el matemático alemán de Silesia Hermann Schwarz escribió en su obra Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen (en el capítulo Berechnung der Grösse k, en las páginas 54 a 56) que los números enteros se secuencian hacia abajo. Esta secuencia numérica de Schellbach-Schwarz Sc(n) (OEIS: A002103) también fue analizada por los matemáticos Karl Weierstraß y Louis Melville Milne-Thomson en el . El matemático Adolf Kneser determinó un método de síntesis para esta secuencia basándose en el siguiente patrón:
La secuencia de Schellbach-Schwarz aparece en la enciclopedia en línea de secuencias numéricas (OEIS) con el número A002103, y la secuencia de Kneser aparece con el número A227503.
La siguiente tabla contiene los números de Kneser y los números de Schellbach-Schwarz:
+Secuencias de Kneser y deSchellbach-Schwarz calculadasÍndice nKn(n) (A227503)Sc(n) (A002103)11121323184154270115054045617076613720209107939193626861681446447493567400
Y la secuencia anterior crea la serie de MacLaurin del nomo elíptico exactamente de esta manera:
A continuación se muestra a modo de ejemplo cómo se construyen sucesivamente los números de Schellbach-Schwarz. Para ello se utilizan los ejemplos con los números Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 y Sc(6) = 20910:
Serie de Kotěšovec La serie de Taylor de la función nombre tiene exponentes pares y coeficientes positivos en todas las posiciones:
Y la suma con los mismos valores absolutos de los coeficientes pero con signos alternos genera esta función:
El radio de convergencia de esta serie de Maclaurin es 1. Aquí (OEIS A005797) es una secuencia de números exclusivamente naturales para todos los números naturales , y la correspondiente secuencia de números enteros no es elemental. La mencionada secuencia de números fue investigada por el matemático checo (y aficionado a la variante del ajedrez conocida como "ajedrez mágico") Václav Kotěšovec, nacido en 1956. En la siguiente sección se mostrarán dos formas de construir esta secuencia de números enteros.
Método de construcción con números de Kneser
Los números de Kotěšovec se generan de la misma manera que se construyen los números de Schellbach-Schwarz:
La única diferencia consiste en el hecho de que esta vez el factor antes de la suma en esta fórmula análoga correspondiente ya no es , sino en su lugar:
La siguiente tabla contiene los números de Schellbach-Schwarz, los números de Kneser y los números de Apéry:
+Series de Kneser y Kotěšovec calculadasÍndice nKn(n) (A227503)Kt(n) (A005797)111213831848442701992540456125146613720164688793919362232200814464474930920128
A continuación se muestra a modo de ejemplo cómo se construyen sucesivamente los números de Schellbach-Schwarz. Para ello, se utilizan los ejemplos con los números Kt(4) = 992, Kt(5) = 12514 y Kt(6) = 164688:
Así se puede generar la serie de MacLaurin del nombre elíptico directo:
Método de construcción con números de Apéry
Al agregar otra sucesión de números enteros que denota una sucesión de Apéry especialmente modificada (OEIS A036917), se puede generar la serie de los números de Kotěšovec . El valor inicial de la secuencia es el valor y los siguientes valores de esta secuencia se generan con esas dos fórmulas que son válidas para todos los números :
Esta fórmula también crea la secuencia de Kotěšovec, pero solo crea los números de la sucesión de índices pares:
Los matemáticos Sun Zhi-Hong y Reinhard Zumkeller investigaron especialmente la secuencia de Apéry , que permite generar el cuadrado de la integral elíptica completa de primera especie:
Los primeros valores numéricos de los coeficientes binomiales centrales y las dos secuencias numéricas descritas se enumeran en la siguiente tabla: