En matemáticas, la función lambda modular λ(t) no es una función modular (según la definición de Wikipedia), pero cada función modular es una función racional en . Algunos autores utilizan una definición no equivalente de "funciones modulares". es una función holomorfa altamente simétrica en el semiplano superior complejo. Es invariante bajo la acción lineal fraccionaria del grupo de congruencia Γ(2) y genera el campo funcional del cociente correspondiente, es decir, es un módulo principal (Hauptmodul) para la curva modular X(2). Sobre cualquier punto t, su valor puede describirse como la razón anarmónica de los puntos de ramificación de una doble cobertura ramificada de la recta proyectiva por la curva elíptica , donde la aplicación se define como el cociente por la involución [−1].
Su expansión q, donde es la función nombre, viene dada por:
.
Al simetrizar la función lambda bajo la acción canónica del grupo simétrico S3 sobre X(2), y a continuación normalizarla adecuadamente, se obtiene una función en el semiplano superior que es invariante bajo el grupo modular completo , y de hecho, es el j-invariante modular de Klein.
Propiedades modulares
La función es invariante bajo el grupo generado porChandrasekharan (1985) p.115
Los generadores del grupo modular actúan porChandrasekharan (1985) p.109
En consecuencia, la acción del grupo modular sobre es la del razón anarmónica, dando los seis valores de razón anarmónica:Chandrasekharan (1985) p.110
Relaciones con otras funciones Es el cuadrado del módulo elíptico,Chandrasekharan (1985) p.108 es decir, . En términos de la función eta de Dedekind y la función theta,
y,
dondeChandrasekharan (1985) p.63
En términos de los semiperíodos de las funciones elípticas de Weierstraß, sea un par fundamental de períodos con .
tenemos
Dado que los tres valores de medio período son distintos, esto muestra que no toma el valor 0 o 1.
La relación con el j-invariante esChandrasekharan (1985) p.117Rankin (1977) pp.226–228
que es el invariante j de la curva elíptica de la forma de Legendre
Dado , sea
donde es la integral elíptica completa de primer tipo con parámetro .
Entonces
Ecuaciones modulares La ecuación modular de grado (donde es un número primo) es una ecuación algebraica en y . Si y , las ecuaciones modulares de grados son, respectivamente, p. 103–109, 134
La cantidad (y por tanto ) se puede considerar como una función holomorfa en el semiplano superior :
Dado que , las ecuaciones modulares se pueden usar para dar valores algebraicos de para cualquier primo .Para cualquier potencia prima, se puede iterar la ecuación modular de grado . Este proceso se puede utilizar para dar valores algebraicos de para cualquier Los valores algebraicos de también están dados por p. 42 is algebraic for every
donde es el seno lemniscático y es la constante de Gauss.
Lambda asterisco
Definición y cálculo de lambda asterisco
La función p. 152 (donde ) da el valor del módulo elíptico , para el cual la integral elíptica completa de primer tipo y su contraparte complementaria están relacionadas mediante la siguiente expresión:
Los valores de se pueden calcular de la siguiente manera:
Las funciones y están relacionadas entre sí de la manera siguiente:
Propiedades de lambda asterisco
Cada valor de un número racional positivo es un número algebraico positivo:
y (la integral elíptica completa de segundo tipo) se pueden expresar en forma cerrada en términos de función gamma para cualquier , como demostraron Selberg y Chowla en 1949.
La siguiente expresión es válida para todos los :
donde es la amplitud delta de la función elíptica de Jacobi con módulo .
Al conocer un valor de , esta fórmula se puede utilizar para calcular valores relacionados como sigue:
donde y es la función elíptica de Jacobi amplitud del seno (sinus amplitudinis) con módulo .
Otras relaciones:
Valores especialesValores de lambda asterisco de los números enteros de tipo 4n-3:
Valores de lambda asterisco de números enteros de tipo 4n-2:
Valores de lambda asterisco de números enteros de tipo 4n-1:
Valores de lambda asterisco de números enteros de tipo 4n:
Valores de lambda asterisco de fracciones racionales:
Invariantes de clase de Ramanujan
Los invariantes de clase de Ramanujan y se definen como
donde . Para tal , los invariantes de clase son números algebraicos. Por ejemplo
Las identidades con los invariantes de clase incluyen p. 240
Los invariantes de clase están muy relacionados con las funciones modulares de Weber y . Estas son las relaciones entre lambda asterisco y los invariantes de clase:
Otras apariciones
Teorema de Little Picard La función lambda se utiliza en la prueba original del teorema de Picard, de que una función entera no constante en el plano complejo no puede omitir más de un valor. Este teorema fue demostrado por Picard en 1879.Chandrasekharan (1985) p.121 Supóngase, si es posible, que f es entera y no toma los valores 0 y 1. Como λ es holomórfica, tiene un inverso holomórfico local ω definido lejos de 0,1, ∞. Considérese la función z → ω(f(z)). Según el teorema de monodromía, esta es holomórfica y asigna el plano complejo C al semi plano superior. A partir de esto, es fácil construir una función holomorfa desde C hasta el disco unitario, que según el teorema de Liouville debe ser constante.Chandrasekharan (1985) p.118
Grupo monstruo
La función es la curva modular normalizada para el grupo , y su expansión q tiene la forma , , donde es el carácter graduado de cualquier elemento en la clase de conjugación 4C del grupo monstruo que actúa sobre el álgebra de vértices monstruo.
Notas
Referencias
Bibliografía
Borwein, J. M. y Borwein, P. B. Pi y la AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional. Nueva York: Wiley, págs. 139 y 298, 1987. Conway, J. H. y Norton, S. P. "Monstrous Moonshine". Toro. Matemáticas de Londres. Soc. 11, 308-339, 1979. Selberg, A. y Chowla, S. "Sobre la función Zeta de Epstein". J. reina angew. Matemáticas. 227, 86-110, 1967.
Enlaces externos Función lambda modular en Fungrim
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