miniatura|Una pirámide cuadrada y su politopo abstracto asociado
En matemáticas, un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado algebraico que refleja las propiedades diádicas de un politopo tradicional sin especificar propiedades puramente geométricas como puntos y líneas.
Se dice que un politopo geométrico es la realización de un politopo abstracto en algún espacio real N-dimensional, por lo general un espacio euclídeo. Esta definición abstracta facilita el estudio de estructuras combinatorias más generales que las definiciones tradicionales de un politopo, lo que a su vez permite definir nuevos objetos que no tienen equivalente en la teoría tradicional.
Historia En la década de 1960, Branko Grünbaum hizo un llamamiento a la comunidad geométrica para considerar las generalizaciones del concepto de politopo regular, a las que llamó «poliestromas». Desarrolló una teoría polistromática, mostrando ejemplos de nuevos objetos, incluido el 11-celdas.
El 11-celdas es un polícoro autodual cuyas facetas no son icosaedros, sino "hemicosaedros" — es decir, son la forma que se obtiene si se considera que las caras opuestas del icosaedro son en realidad la "misma" cara (Grünbaum, 1977). Unos años después del descubrimiento de Grünbaum del 11-celdas, Harold Scott MacDonald Coxeter descubrió un politopo similar, el 57-celdas (Coxeter 1982, 1984), quien posteriormente redescubrió de forma independiente el de 11 celdas.
Con el trabajo anterior de Branko Grünbaum y con Harold Scott MacDonald Coxeter y Jacques Tits sentando sus bases, la teoría básica de las estructuras combinatorias ahora conocidas como politopos abstractos fue descrita por primera vez por Egon Schulte en su tesis doctoral de 1980. En ella definió "complejos de incidencia regular" y "politopos de incidencia regular". Posteriormente, junto con Peter McMullen, desarrolló los conceptos básicos de la teoría en una serie de artículos de investigación que luego se recopilaron en un libro. Desde entonces, muchos otros investigadores han hecho sus propias contribuciones, y los primeros pioneros (incluido Grünbaum) también han aceptado la definición de Schulte como la "correcta".
Posteriormente, la investigación sobre la teoría de los politopos abstractos se ha centrado mayoritariamente en los politopos regulares, es decir, aquellos cuyos grupos de automorfismo actúan transitivamente en el conjunto de banderas del politopo.
Conceptos introductorios Politopos tradicionales frente a los abstractos
En la geometría euclídea, dos formas que no son semejantes pueden, no obstante, compartir una estructura común. Por ejemplo, un cuadrado y un trapecio comprenden una cadena alterna de cuatro vértices y cuatro lados, lo que los convierte en cuadriláteros. Se dice que son figuras isomorfas o que "mantienen su estructura".
Esta estructura común puede representarse en un politopo abstracto subyacente, un conjunto parcialmente ordenado puramente algebraico que captura el patrón de conexiones (o "incidencias)" entre los diversos elementos estructurales. Las propiedades medibles de los politopos tradicionales, como los ángulos, las longitudes de las aristas, la asimetría, la rectitud y la convexidad, no tienen ningún significado para un politopo abstracto.
Lo que es cierto para los politopos tradicionales (también llamados politopos clásicos o geométricos) puede no serlo para los abstractos y viceversa. Por ejemplo, un politopo tradicional es regular si todas sus caras y figuras de vértices son regulares, pero esto no es necesariamente así para un politopo abstracto.
Realizaciones Se dice que un politopo tradicional es una "realización" del politopo abstracto asociado. Una realización es un mapeo o inyección del objeto abstracto en un espacio real, por lo general un espacio euclídeo, para construir un politopo tradicional como una figura geométrica real.
Los seis cuadriláteros que se muestran son realizaciones distintas del cuadrilátero abstracto, cada uno con diferentes propiedades geométricas. Algunos de ellos no se ajustan a las definiciones tradicionales de un cuadrilátero y se dice que son realizaciones infieles. Un politopo convencional es una realización fiel.
Caras, órdenes y ordenación En un politopo abstracto, cada elemento estructural (vértice, arista, cara, celda...) está asociado con un miembro correspondiente del conjunto. El término cara se utiliza para referirse a cualquier elemento de este tipo, como por ejemplo un vértice (cara de orden 0), arista (cara de orden 1) o una cara general de orden k (y no solo una cara poligonal de orden 2).
Las caras se ordenan según su dimensión real asociada: los vértices tienen orden 0, las aristas orden 1 y así sucesivamente.
Las caras incidentes de diferentes órdenes, por ejemplo, un vértice F de una arista G, están ordenadas por la relación F < G. Se dice que F es una "subcara" de G.
Se dice que F, G son incidentes si F = G o F < G o G < F. Este uso del concepto de "incidencia" también se da en la geometría finita, aunque difiere del empleado en la geometría tradicional y en algunas otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en el cuadrado ABCD, las aristas AB y BC no son abstractamente incidentes (aunque ambas son incidentes con el vértice B).
Un politopo se define entonces como un conjunto de P caras con una relación de ordenación < (menor que). Formalmente, P (con <) será (estrictamente) un conjunto parcialmente ordenado, o poset.
Caras menor y mayor Así como el número cero es necesario en matemáticas, también todo conjunto tiene el conjunto vacío ∅ como subconjunto. En un politopo abstracto, ∅ se identifica por convención como la cara menor o nula y es una subcara de todas las demás. Dado que la cara menor está un nivel por debajo de los vértices o caras de orden 0, su orden es −1 y puede denotarse como F−1. Así F−1 ≡ ∅ y el politopo abstracto también contiene el conjunto vacío como elemento, aunque no suele representarse.
También hay una sola cara de la que todas las demás son subcaras. Esto se llama la cara más grande. En un politopo de dimensión n, la cara mayor tiene orden = n y puede denotarse como Fn. A veces se identifica como el interior de la figura geométrica.
Estas caras menores y mayores a veces se denominan caras "impropias", y todas las demás son caras "propias".
Un ejemplo simple Las caras del cuadrilátero o cuadrado abstracto se muestran en la siguiente tabla:
Tipo de cara Orden (k)Nº elementosk-carasMenor−11F−1 Vértices04a, b, c, dAristas14W, X, Y, ZMayor21G
La relación < comprende un conjunto de pares, que aquí incluyen
F−1<a,..., F−1<X,..., F−1<G,..., b<Y,..., c<G,..., Z<G.
Las relaciones de orden son transitivas, es decir, F < G y G < H implica que F < H. Por lo tanto, para especificar la jerarquía de las caras, no es necesario dar todos los casos de F < H, sólo las parejas donde uno sea el sucesor del otro, es decir, donde F  ;< H y G no satisface que F < G < H.
Las aristas W, X, Y y Z a veces se escriben como ab, ad, bc y cd respectivamente, pero tal notación no siempre es apropiada.
Las cuatro aristas son estructuralmente similares y lo mismo ocurre con los vértices. Por lo tanto, la figura tiene las simetrías de un cuadrado, y de forma general se la conoce como un cuadrado.
El diagrama de Hasse
Los conjuntos parcialmente ordenados más pequeños, y los politopos en particular, a menudo se visualizan mejor en un diagrama de Hasse, como se muestra en la imagen adjunta. Por convención, las caras de igual orden se colocan en el mismo nivel vertical. Cada "línea" entre caras, digamos F, G, indica una relación de orden <, tal que la sentencia F < G indica que F está debajo de G en el diagrama.
El diagrama de Hasse define un poset único y, por lo tanto, captura completamente la estructura del politopo. Los politopos isomorfos dan lugar a diagramas de Hasse isomorfos y viceversa. Lo mismo no es generalmente cierto para el grafo de representación de los politopos.
Orden El orden de una cara F se define como (m − 2), donde m es el número máximo de caras en cualquier cadena (F', F", ... , F) satisfaciendo que F' < F" < ... < F. F' es siempre la cara menor, F−1.
El orden de un politopo abstracto P es el orden máximo n de cualquier cara; y siempre es el orden de la cara más grande Fn.
El orden de una cara o politopo suele corresponder a la "dimensión" de su contraparte en la teoría tradicional.
Los tipos de cara según su orden se nombran en la siguiente tabla: Orden -1 0 1 2 3 ... n - 2 n - 1n Tipo de cara MenorVérticeArista†CeldaSubcara o cadenaCaraMayor
† Tradicionalmente, "cara" ha significado una cara de orden 2 o 2 cara. En la teoría abstracta, el término "cara" denota una cara de cualquier orden.
Banderas En geometría, una bandera es un encadenamiento máximo de caras, es decir, un conjunto (totalmente) ordenado Ψ de caras, cada una de las cuales es una subcara de la siguiente (si las hay), y tal que Ψ no es un subconjunto de ninguna cadena más grande. Dadas dos caras distintas F, G en una bandera, F < G o F > G.
Por ejemplo, {ø, a, ab, abc} es una bandera en el triángulo abc.
Para un politopo dado, todas las banderas contienen el mismo número de caras. Otros posets, en general, no satisfacen este requisito.
Secciones
Cualquier subconjunto P' de un poset P es también un poset (con la misma relación <, restringida a P').
En un politopo abstracto, dadas dos caras F y H de P con F ≤ H, el conjunto {G|F ≤ G ≤ H} se denomina sección de P, y se denota como H/F. En la teoría del orden, una sección se denomina intervalo cerrado del conjunto parcialmente ordenado, y se denota como [F, H].
Por ejemplo, en el prisma abcxyz (véase el diagrama) la sección xyz/ø (resaltada en verde) es el triángulo
{ø, x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.
Una k-sección es una sección de orden k.
P es, pues, una sección de sí mismo.
Este concepto de sección no tiene el mismo significado que en la geometría tradicional.
Facetas La faceta de una j-cara F dada es la (j−1)-sección F/∅, donde Fj es la cara mayor.
Por ejemplo, en el triángulo abc, la faceta en ab es ab/b = {∅, a, b, ab}, que es un segmento de línea.
La distinción entre F y F/∅ generalmente no es significativa y los dos a menudo se tratan como idénticos.
Figuras de vértice La figura de vértice en un vértice dado V es la sección (n−1) Fn/V, donde F n es la cara mayor.
Por ejemplo, en el triángulo abc, la figura del vértice en b es abc/b = {b, ab, bc, abc}, que es un segmento de línea. Las figuras de los vértices de un cubo son triángulos.
Conectividad Un poset P está conectado si P tiene un orden ≤ 1 o, dadas dos caras propias cualesquiera F y G, hay una secuencia de caras propias
H1, H2,...,Hk
tal que F = H1, G = Hk, y cada Hi, i < k, es incidente con su sucesor.
La condición anterior asegura que un par de triángulos disjuntos abc y xyzno sea un politopo (único).
Un poset P está fuertemente conectado si todas las secciones de P (incluido el propio P) están conectadas.
Con este requisito adicional, también se excluyen dos pirámides que comparten solo un vértice. Sin embargo, dos pirámides cuadradas, por ejemplo, pueden ser "pegadas" en sus caras cuadradas, dando un octaedro. La "cara común" no es entonces una cara del octaedro.
Definición formal Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado, cuyos elementos llamamos caras satisfacen los 4 axiomas siguientes:
Solo tiene una cara menor y solo tienen una cara mayor. Todas sus banderas contienen el mismo número de caras. Es fuertemente conexo. Si los órdenes de dos caras a > b difieren en 2, entonces hay exactamente 2 caras que se encuentran estrictamente entre a y b.
Un n-politopo es un politopo cuyas caras alcanzan el orden n. El politopo abstracto asociado con un politopo convexo real también se denomina retículo de caras.
Los politopos más simples Orden < 1