En matemáticas, se denomina dessin d'enfant a un tipo de grafo embebido utilizado para estudiar las superficies de Riemann y obtener invariantes combinatorios para la acción del grupo absoluto de Galois sobre los números racionales. El término usado para denominar estas incrustaciones procede del francés, idioma en el que significa "dibujo de un niño"; su plural es dessins d'enfant ("dibujos de niño"), o dessins d'enfants ("dibujos de niños").
Un dessin d'enfant es un grafo con sus vértices coloreados alternativamente en blanco y negro, embebido en una superficie orientada que, en muchos casos, es simplemente un plano. Para que exista el coloreado, el grafo debe ser bipartito. Se requiere que las caras de la incrustación sean discos topológicos. La superficie y la incrustación se pueden describir combinatoriamente usando un sistema de rotación, un orden cíclico de los bordes que rodean cada vértice del grafo que describe el orden en que los bordes serían cruzados por un camino que viaja en el sentido de las agujas del reloj sobre la superficie en un pequeño bucle alrededor del vértice.
Cualquier diseño puede proporcionar a la superficie en la que está incrustado una estructura como una superficie de Riemann. Es natural preguntarse qué superficies de Riemann surgen de esta manera. La respuesta la proporciona el teorema de Belyi, que establece que las superficies de Riemann que pueden describirse mediante diseños son precisamente aquellas que pueden definirse como curvas algebraicas sobre el cuerpo de los números algebraicos. El grupo absoluto de Galois transforma estas curvas particulares entre sí y, por lo tanto, también transforma los diseños subyacentes.
Para un tratamiento más detallado de este tema, consúltese o .
Historia
Las primeras protoformas de dessins d'enfants aparecieron ya en 1856 en el cálculo icosiano desarrollado por William Rowan Hamilton;. Véase también . en términos modernos, se corresponden con el camino hamiltoniano en el grafo icosaédrico.
La función de Belyi utilizó dessins d'enfants modernos reconocibles, y Felix Klein denominó a estos diagramas Linienzüge (en alemán, plural de Linienzug "línea-pista"; término también usado para denominar a un polígono); usó un círculo blanco para la preimagen de 0 y un '+' para la preimagen de 1, en lugar de un círculo negro para el 0 y un círculo blanco para el 1 como en la notación moderna. Usó estos diagramas para construir una cubierta de 11 pliegues de la esfera de Riemann sola, con el grupo monodromo , siguiendo construcciones anteriores de una recubrimiento de 7 pliegues con monodromía conectado con la cuártica de Klein.;. Todos estos elementos estaban a su vez relacionados con sus investigaciones sobre la geometría de la ecuación quíntica y el grupo recopilado en sus famosas "Conferencias sobre el icosaedro" de 1884/88. Mucho más adelante se demostró que las tres superficies construidas de esta manera a partir de estos tres grupos estaban estrechamente relacionadas a través del fenómeno de las denominadas trinidades.
Los dessins d'enfant en su forma moderna fueron redescubiertos más de un siglo después por Alexander Grothendieck, quien los mencionó en su obra de 1984 Esquisse d'un Programme. cita un párrafo en el que Grothendieck relata su descubrimiento de la acción de Galois mediante los dessins d'enfants:
Parte de la teoría ya había sido desarrollada de forma independiente por algún tiempo antes que Grothendieck. Describen la correspondencia entre mapas en superficies topológicas, mapas en superficies de Riemann y grupos con ciertos generadores distinguidos, pero no consideran la acción de Galois. Su noción de mapa corresponde a un caso particular de dessin d'enfant. El trabajo posterior de extendió el tratamiento a las superficies con un límite.
Superficies de Riemann y pares de Belyi Los números complejos, junto con un punto especial designado como , forman un espacio topológico conocido como esfera de Riemann. Cualquier polinomio y, más generalmente, cualquier función racional donde y son polinomios, transforma la esfera de Riemann asignándola a sí misma.
Considérese, por ejemplo,Este ejemplo fue sugerido por , pp. 109–110. la función racional
thumb|El dessin d'enfant que surge de la función racional: (No está a escala)
En la mayoría de los puntos de la esfera de Riemann, esta transformación es un homeomorfismo local: hace corresponder un pequeño disco centrado en cualquier punto de forma unívoca en otro disco. Sin embargo, en ciertos puntos críticos, la aplicación es más complicada y hace corresponder un disco centrado en el punto en una forma -a-uno en su imagen. El número se conoce como el "grado" del punto crítico y la imagen transformada de un punto crítico se conoce como valor crítico.
En el ejemplo anterior, tiene los siguientes puntos críticos y valores críticos (también se incluyen algunos puntos de la esfera de Riemann que, aunque no son críticos en sí mismos, se asignan a uno de los valores críticos, que se indican con grado uno). Punto crítico Valor crítico grado
Se puede formar un dessin d'enfant a partir de colocando puntos negros en las preimágenes de 0 (es decir, en 1 y 9), puntos blancos en las preimágenes de 1 (es decir, en ) y arcos en las preimágenes del segmento [0, 1]. Este segmento de línea tiene cuatro preimágenes, dos en el segmento de línea del 1 al 9 y dos formando una curva cerrada simple que gira desde el 1 hacia sí misma, rodeando al 0; el diseño resultante se muestra en la figura.
thumb|Transformación de un dessin d'enfant en un patrón de encolado para semiespacios de una superficie de Riemann incluyendo puntos en el infinito
En la otra dirección, a partir de este diseño, descrito como un objeto combinatorio sin especificar las ubicaciones de los puntos críticos, se puede formar una superficie de Riemann, y una aplicación desde esa superficie hasta la esfera de Riemann, equivalente a la correspondencia de la que se originó el diseño construido. Para hacerlo, debe colocarse un punto con la etiqueta dentro de cada región del diseño (que se muestra como los puntos rojos en la segunda figura), y triangular cada región conectando este punto con los puntos blancos y los puntos negros que forman el límite de la región, conectándose varias veces con el mismo punto blanco o negro si aparece varias veces en el límite de la región. Cada triángulo de la triangulación tiene tres vértices etiquetados como 0 (para los puntos negros), 1 (para los puntos blancos) o . Para cada triángulo, se debe sustituir un semiplano, ya sea el semiplano superior por un triángulo que tiene 0, 1 y en el sentido contrario a las agujas del reloj; o el semiplano inferior por un triángulo que los tiene en el sentido de las agujas del reloj, y para cada par de triángulos adyacentes, se deben pegar los semiplanos correspondientes juntos en la parte de sus límites indicados por las etiquetas de los vértices. La superficie de Riemann resultante se puede hacer corresponder con la esfera de Riemann usando el mapa de identidad dentro de cada semiplano. Así, el dessin d'enfant formado a partir de es suficiente para describir la propia función hasta el biholomorfismo. Sin embargo, esta construcción identifica la superficie de Riemann solo como una variedad con estructura compleja, si bien no construye una incrustación de esta variedad como una curva algebraica en el plano proyectivo complejo, aunque tal incrustación siempre existe.
La misma construcción se aplica de forma más general cuando es cualquier superficie de Riemann y es una función de Belyi; es decir, una función holomorfa de a la esfera de Riemann que tiene solo 0, 1 y como valores críticos. Un par de elementos de este tipo se conoce como "par de Belyi". De cualquier par de Belyi se puede formar un dessin d'enfant, dibujado en la que tiene sus puntos negros en las preimágenes de 0, sus puntos blancos en las preimágenes de 1, y sus aristas colocadas en las preimágenes del segmento de línea . Por el contrario, cualquier dessin d'enfant en cualquier superficie se puede usar para definir instrucciones de pegado para una colección de semiespacios que juntos forman una superficie de Riemann homeomorfa a ; mapear cada medio espacio por la identidad de la esfera de Riemann produce una función de Belyi en y, por lo tanto, conduce a un par de Belyi . Cualesquiera dos pares de Belyi que conduzcan a dessins d'enfant combinatoriamente equivalentes son biholomórficos, y el teorema de Belyi implica que, para cualquier superficie compacta de Riemann definida sobre los números algebraicos, hay una función de Belyi y un dessin d'enfant que proporciona una descripción combinatoria de ambos
Mapas e hipermapas thumb|La triangulación de la esfera con el grupo de triángulos (2,3,5), generada usando el dodecaedro regular para construir un diseño limpio thumb|La triangulación del plano hiperbólico con el grupo de triángulos (2,3,7) generado como la cubierta universal de la cuártica de Klein
Un vértice en un diseño de un grafo tiene un grado teórico, el número de aristas incidentes, que es igual a su grado como punto crítico de la función de Belyi. En el ejemplo anterior, todos los puntos blancos tienen grado dos; los diseños con la propiedad de que cada punto blanco tiene dos aristas se conocen como limpios, y sus correspondientes funciones de Belyi se denominan puras. Cuando esto sucede, se puede describir el diseño mediante un grafo incrustado más simple, uno que tiene solo los puntos negros como vértices y que tiene un borde para cada punto blanco con puntos finales en los dos puntos negros vecinos del punto blanco. Por ejemplo, el diseño que se muestra en la figura podría dibujarse más simplemente de esta manera como un par de puntos negros con una línea entre ellos y un bucle en uno de los puntos.
Es común dibujar solo los puntos negros de un diseño limpio y dejar los puntos blancos sin marcar; se puede recuperar el diseño completo agregando un punto blanco en el punto medio de cada línea del mapa.
Por lo tanto, cualquier incrustación de un grafo en una superficie en la que cada cara es un disco (es decir, un mapa topológico) da lugar a un diseño al tratar los vértices del grafo como puntos negros de un diseño y colocar puntos blancos en el punto medio de cada borde del diseño del grafo incrustado.
Si un mapa corresponde a una función de Belyi , su grafo dual (el diseño formado a partir de las preimágenes del segmento de línea ) corresponde al
Un diseño que no esté limpio se puede transformar en un diseño limpio en la misma superficie, recoloreando todos sus puntos de negro y añadiendo nuevos puntos blancos en cada uno de sus bordes. La transformación correspondiente de los pares de Belyi es reemplazar una función de Belyi por la función de Belyi pura . Se pueden calcular los puntos críticos de directamente a partir de esta fórmula: , y . Así, es la preimagen bajo del punto medio del segmento de línea , y los bordes del diseño formado por subdividen los bordes del diseño formado por .
Bajo la interpretación de un diseño limpio como un mapa, un diseño arbitrario es un hipermapa: es decir, un dibujo de un hipergrafo en el que los puntos negros representan vértices y los puntos blancos representan hiperbordes.
Mapas regulares y grupos de triángulos Los cinco sólidos platónicos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro regulares), vistos como superficies bidimensionales, tienen la propiedad de que se puede hacer corresponder cualquier bandera (un triplete formado por un vértice, una arista y una cara que se encuentran) a cualquier otra bandera por una simetría de la superficie. De manera más general, un mapa incrustado en una superficie con la misma propiedad, en el que cualquier bandera puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría, se denomina mapa regular.