thumb|350px|La cuártica de Klein con los dos grafos de Klein(las aristas de los 14 ágonos marcadas con el mismo número son iguales)La cuártica de Klein es un cociente del teselado heptagonal (comparar el grafo 3-regular en verde) y su teselado triangular dual (compárese con el grafo 7-regular en violeta)
En geometría hiperbólica, la cuártica de Klein, llamada así por el matemático alemán Felix Klein, es una superficie de Riemann compacta de genus con el grupo de automorfismo de orden más alto posible para este género, a saber, automorfismos que conservan la orientación de orden y automorfismos si la orientación puede invertirse. Como tal, la cuártica de Klein es la superficie de Hurwitz del género más bajo posible (véase teorema de automorfismos de Hurwitz). Su grupo de automorfismo (que conserva la orientación) es isomorfo a , el segundo grupo simple no abeliano más pequeño después del grupo alternante A5. Esta cuártica se describió por primera vez en .
La cuártica de Klein aparece en muchas ramas de las matemáticas, en contextos que incluyen la teoría de representación, las homologías, el Último teorema de Fermat o el teorema de Stark-Heegner en cuerpos cuadráticos imaginarios de clase numérica uno (véase para una relación de sus propiedades).
Originalmente, la "cuártica de Klein" se refería específicamente al subconjunto del plano proyectivo complejo definido por una ecuación algebraica. Posee una métrica riemanniana específica (que lo convierte en una superficie mínima en ), bajo la que su curvatura de Gauss no es constante. Pero más comúnmente (como en este artículo) se considera como cualquier superficie de Riemann que es conformemente equivalente a esta curva algebraica, y especialmente la que es un cociente del plano hiperbólico por un determinado grupo cocompacto que actúa libremente sobre mediante isometrías. Esta propiedad le da a la cuártica de Klein una métrica riemanniana de curvatura constante que hereda de . Este conjunto de superficies riemannianas conformemente equivalentes es exactamente el mismo que todas las superficies riemannianas compactas de genus 3 cuyo grupo de automorfismos conformes es isomorfo al único grupo simple de orden 168. Este grupo también se conoce como , y también como grupo isomorfo . Según la teoría del espacio recubridor, el grupo mencionado anteriormente es isomorfo al grupo fundamental de la superficie compacta de género .
Formas cerradas y abiertas Es importante distinguir dos formas diferentes de la cuártica. La cuártica cerrada es lo que generalmente se entiende en geometría; topológicamente tiene género 3 y es un espacio compacto. La cuártica abierta o "perforada" es de interés en la teoría de números. Topológicamente es una superficie de género 3 con 24 perforaciones, y geométricamente estas perforaciones son cúspides. La cuártica abierta puede obtenerse (topológicamente) de la cuártica cerrada perforando los 24 centros del teselado con heptágonos regulares, como se analiza a continuación. Las cuárticas abiertas y cerradas tienen métricas diferentes, aunque ambas son hiperbólicas y completas: geométricamente, las cúspides son "puntos en el infinito", no agujeros, por lo tanto, la cuártica abierta sigue siendo completa.
Como una curva algebraica La cuártica de Klein se puede ver como una curva algebraica proyectiva sobre los números complejos , definida por la siguiente ecuación cuártica en coordenadas homogéneas sobre :
El lugar geométrico de esta ecuación en es la superficie riemanniana original que describió Klein.
Construcción del álgebra de cuaterniones La cuártica compacta de Klein puede construirse como el cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fuchsiano adecuado que es el subgrupo de congruencía principal asociado al ideal en el anillo de los enteros algebraicos del campo , donde . Téngase en cuenta la identidad
exhibiendo como un factor primo de 7 en el anillo de los enteros algebraicos.
El grupo es un subgrupo del grupo triangular hiperbólico (2,3,7). Es decir, es un subgrupo del grupo de elementos de norma unitaria en el álgebra de cuaterniones generado como álgebra asociativa por los generadores y relaciones
Una vez elegido un orden de los cuaterniones de Hurwitz adecuado en el álgebra de cuaterniones, es entonces el grupo de elementos de norma 1 en . El menor valor absoluto de una traza de un elemento hiperbólico en es , que corresponde al valor 3,936 de la sístole de la cuártica de Klein, una de las más altas de este género.
Teselado thumb|El teselado de los dominios de cuarto grado por reflexión es un cociente del 3-7 quisrombo
La cuártica de Klein admite teselados conectados con el grupo de simetría (un "mapa regular"), que se utilizan para comprender el grupo de simetría, que se remonta al artículo original de Klein. Dado un dominio fundamental para la acción del grupo (para el grupo completo de simetría de inversión de orientación, un triángulo (2,3,7), los dominios de reflexión (imágenes de este dominio debajo del grupo) dan un teselado de la cuártica tal que el grupo de automorfismos del teselado es igual al grupo de automorfismos de la superficie: las reflexiones en las líneas del teselado corresponden a las reflexiones en el grupo (las reflexiones en las líneas de un triángulo fundamental dado dan un conjunto de 3 reflejos generadores). Este teselado es un cociente del teselado heptagonal bisecado de orden-3 del plano hiperbólico (el espacio recubridor de la cuártica), y todas las superficies de Hurwitz se teselan de la misma manera, como cocientes.
Este teselado es uniforme pero no regular (es por los triángulos escalenos) y, a menudo, se utilizan teselados regulares en su lugar. Se puede usar un cociente de cualquier teselado de la familia (2,3,7) (y tendrá el mismo grupo de automorfismos). De estos, los dos teselados regulares son el teselado de 24 heptágonos hiperbólicos regulares, cada uno de grado 3 (que se encuentran en 56 vértices), y el teselado dual de 56 triángulos equiláteros, cada uno de grado 7 (que se encuentran en 24 vértices). El orden del grupo de automorfismos está relacionado, siendo el número de polígonos por el número de aristas en el polígono en ambos casos.
24 veces; 7 = 168 56 veces; 3 = 168
Las teselaciones que recubren el plano hiperbólico son el teselado heptagonal de orden-3 y el teselado triangular de orden-7.
El grupo de automorfismos se puede aumentar (mediante una simetría que no se realiza mediante una simetría del teselado) para generar el grupo de Mathieu M24.
Correspondiendo a cada teselado de la cuártica (partición de la variedad de la cuártica en subconjuntos) existe un poliedro abstracto, que se abstrae de la geometría y solo refleja la combinatoria del teselado (esta es una forma general de obtener un politopo abstracto a partir de un teselado). Los vértices, aristas y caras del poliedro son iguales como conjuntos a los vértices, aristas y caras del teselado, con las mismas relaciones de incidencia, y el grupo de automorfismo (combinatorio) del poliedro abstracto es igual al grupo de automorfismos (geométrico) de la cuártica. De esta manera la geometría se reduce a combinatoria.
Cuártica afín El desarrollo anterior es un teselado de la cuártica proyectivo (una variedad cerrada). La cuártica afín tiene 24 cúspides (topológicamente, orificios), que corresponden a los 24 vértices del teselado triangular regular, o de manera equivalente, los centros de los 24 heptágonos en el teselado heptagonal, y se pueden realizar como se explica seguidamente.
Considerando la acción de sobre el modelo de semiplano superior del plano hiperbólico mediante transformaciones de Möbius, la cuártica afín de Klein se puede generar como el cociente (aquí, es el subgrupo de congruencia de que consta de matrices que son congruentes con la matriz identidad cuando se toman todas las entradas de módulo 7).
Dominio fundamental y descomposición en pantalones La cuártica de Klein se puede obtener como el cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fuchsiano. El dominio fundamental es un 14-gono normal, que tiene un área según el teorema de Gauss-Bonnet. La figura adjunta permite visualizar la proposición anterior, y también incluye los 336 triángulos (2,3,7) que teselan la superficie y generan su conjunto de simetrías.
thumb|right|Dominio fundamental de la cuártica de Klein: la superficie se obtiene asociando lados con números iguales
Dentro del teselado mediante triángulos (2,3,7) existe un teselado que emplea 24 heptágonos regulares. La sístole de la superficie pasa por los puntos medios de 8 lados del heptágono, y por esta razón se la ha denominado geodésica de ocho pasos en la bibliografía, y es la razón del título del libro que se cita en la sección siguiente. Todas las curvas coloreadas en la figura que muestra la descomposición de los pantalones son sístoles, aunque figura solo un subconjunto de los 21 que hay en total. La longitud de la sístole es:
Una fórmula cerrada equivalente es:
Mientras que la cuártica de Klein maximiza el grupo de simetría para superficies de género 3, no maximiza la longitud de la sístole. El maximizador conjeturado es la superficie denominada "M3" , que proviene de un teselado de triángulos (2,3,12), y su sístole tiene multiplicidad 24 y longitud:
thumb|right|Una descomposición en pantalones de la cuártica de Klein. La figura de la izquierda muestra las geodésicas de límite en la teselación (2,3,7) del dominio fundamental. En la figura de la derecha, los pantalones han sido coloreados de manera diferente para dejar claro qué parte del dominio fundamental pertenece a qué par de pantalones
La cuártica de Klein se puede descomponer en cuatro pares de pantalones cortándola a lo largo de seis de sus sístoles. Esta descomposición da un conjunto simétrico en coordenadas de Fenchel-Nielsen, siendo los parámetros de longitud todos iguales a la longitud de la sístole y los parámetros de torsión todos iguales a de la longitud de la sístole. En particular, tomando como la longitud de la sístole, las coordenadas son:
El grafo cúbico correspondiente a esta descomposición en pantalones es el grafo tetraédrico, es decir, el grafo de 4 nodos, cada uno conectado con los otros 3. El grafo tetraédrico es similar al grafo del plano de Fano proyectivo; de hecho, el grupo de automorfismos de la cuártica de Klein es isomorfo al del plano de Fano.
Teoría espectral
thumb|right|Las ocho funciones correspondientes al primer valor propio positivo de la cuártica de Klein. Las funciones son cero a lo largo de las líneas azul claro (recintos generados con FreeFem++)
Poco se ha demostrado sobre la teoría espectral de la cuártica de Klein. Debido a que tiene el grupo de superficies de simetría más grande de su clase topológica, al igual que la superficie de Bolza de genus 2, se ha conjeturado que maximiza el primer valor propio positivo del operador de Laplace entre todas las superficies compactas de Riemann de género 3 con curvatura constante negativa. También maximiza la multiplicidad del primer valor propio positivo (8) entre todas esas superficies, un hecho que se ha demostrado recientemente.Maxime Fortier Bourque, Bram Petri. "The Klein quartic maximizes the multiplicity of the first positive eigenvalue of the Laplacian" Los valores propios de la cuártica de Klein se han calculado con diversos grados de precisión. Los primeros 15 valores propios positivos distintos se muestran en la siguiente tabla, junto con sus multiplicidades.
+ Cálculos numéricos de los primeros 15 valores propios positivos de la cuártica de Klein Valor propio Valor numérico Multiplicidad012.6779386.62251710.8691612.1844817.2486721.9705724.0811825.9276630.8039636.4555837.4246841.5131644.8884849.0429650.62836
Modelos tridimensionales thumb|Una animación de Greg Egan que muestra una incrustación de la curva cuártica de Klein en tres dimensiones, comenzando en una forma que tiene las simetrías de un tetraedro y volteándose para mostrar una simetría adicional