En matemáticas, los polinomios de Gegenbauer o polinomios ultraesféricos C(x) son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] con respecto a la función de ponderación (1 − x2)α–1/2. Generalizan los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshov; y son casos especiales de los polinomios de Jacobi. Llevan el nombre de Leopold Gegenbauer.
Caracterizaciones
Hay disponibles varias caracterizaciones de los polinomios de Gegenbauer:
Los polinomios se pueden definir en términos de su función generatriz :
Los polinomios satisfacen la relación de recurrencia :
Los polinomios de Gegenbauer son soluciones particulares de la ecuación diferencial de Gegenbauer :
Cuando α = 1/2, la ecuación se reduce a la ecuación de Legendre, y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre. Cuando α = 1, la ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Chebyshov, y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Chebyshov de segunda clase.Arfken, Weber, and Harris (2013) "Mathematical Methods for Physicists", 7th edition; ch. 18.4
Se dan como una función hipergeométrica en ciertos casos donde la serie es de hecho finita:
(Abramowitz & Stegun p. 561). Aquí (2α)n es el factorial ascendente. Explícitamente,
Son casos especiales de los polinomios de Jacobi :
en el que representa el factorial ascendente de . Por lo tanto también se obtiene la fórmula de Rodrigues
Gráficos
Ortogonalidad y normalización
Para un α fijo, los polinomios son ortogonales en [−1, 1] con respecto a la función de ponderación (Abramowitz & Stegun /página_774.htm pág. 774)
A saber, para n ≠ m,
son normalizados por
Aplicaciones Los polinomios de Gegenbauer aparecen naturalmente como extensiones de los polinomios de Legendre en el contexto de la teoría del potencial y del análisis armónico. El potencial newtoniano en Rn tiene la expansión, válida con α = (n − 2)/2,
Cuando n = 3, esto da la expansión del polinomio de Legendre del potencial gravitatorio. Expresiones similares están disponibles para la expansión del núcleo de Poisson en una bola .
De ello se deduce que las cantidades son armónicos esféricos, cuando se consideran como una función de x solamente. Son, de hecho, exactamente los armónicos esféricos zonales, hasta una constante de normalización.
Los polinomios de Gegenbauer también aparecen en la teoría de funciones definidas positivas.
La desigualdad de Askey-Gasper se lee como
En métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales, si una función se expande sobre la base de los polinomios de Chebyshov y su derivada se representa en una base de Gegenbauer/ultraesférica, entonces el operador derivado se convierte en una matriz diagonal, lo que lleva a métodos de matriz banda rápidos para problemas grandes.
Véase también Polinomios de Rogers, el análogo q de los polinomios de Gegenbauer Polinomios de Chebyshov Polinomios de Romanovski
Referencias
Bibliografía
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.*Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 . .
Categoría:Polinomios ortogonales Categoría:Funciones hipergeométricas especiales