En matemáticas, el flujo de acortamiento de una curva es un proceso que modifica una curva en el plano moviendo sus puntos perpendicularmente a la curva a una velocidad (distancia por cada ciclo) proporcional a su curvatura. El flujo de acortamiento de la curva es un ejemplo de flujo geométrico y es el caso unidimensional del flujo de curvatura promedio. Otros nombres para el mismo proceso incluyen flujo de acortamiento euclidiano, flujo de calor geométrico,La frase "flujo de calor geométrico" también se ha utilizado para flujos en otros tipos de objetos matemáticos que no sean curvas, como formas diferenciales. y evolución de la longitud del arco.
Como los puntos de cualquier curva simple cerrada suave se mueven de esta manera, la curva sigue siendo simple y suave. Pierde área a un ritmo constante, y su perímetro disminuye lo más rápido posible para cualquier evolución de curva continua. Si la curva no es convexa, su curvatura absoluta total decrece monótonamente, hasta volverse convexa. Una vez adoptada la forma convexa, la razón isoperimétrica de la curva disminuye a medida que la curva converge hacia una forma circular, antes de colapsar en un solo punto de singularidad. Si dos curvas cerradas suaves simples disjuntas evolucionan, permanecen disjuntas hasta que una de ellas colapsa en un punto. El círculo es la única curva cerrada simple que mantiene su forma bajo el proceso de flujo de acortamiento, pero algunas curvas que se cruzan entre sí o tienen una longitud infinita mantienen su forma, incluida la curva de la parca, una curva infinita que se traslada hacia arriba, así como las espirales que giran sobre sí mismas manteniendo el mismo tamaño y forma.
Se puede calcular numéricamente una aproximación al flujo de acortamiento de la curva, aproximando la curva mediante un polígono y usando el método de las diferencias finitas para calcular el movimiento de cada uno de sus vértices. Los métodos alternativos incluyen calcular una convolución de vértices de polígonos y luego volver a muestrear los vértices en la curva resultante, o aplicar repetidamente un filtro de mediana a una imagen digital cuyos píxeles en blanco y negro representan el interior y el exterior de la curva.
El flujo de acortamiento de una curva se estudió originalmente como modelo para el recocido de láminas de metal. Más adelante, se aplicó en el análisis de imágenes para dar una representación de formas a múltiples escalas. También puede modelar sistemas de reacción-difusión y el comportamiento de un autómata celular. El flujo de acortamiento de curvas se puede usar para encontrar geodésicas cerradas en variedades de Riemann y como modelo para el comportamiento de flujos de dimensiones superiores.
Definiciones Un flujo es un proceso en el que los puntos de un espacio cambian continuamente sus ubicaciones o propiedades en el tiempo. Más específicamente, en un flujo geométrico unidimensional como el flujo de acortamiento de una curva, los puntos que experimentan el flujo pertenecen a una curva, y lo que cambia es la forma de la curva, es decir, su encaje en el plano euclidiano determinado por las ubicaciones de cada uno de sus puntos., p.140: "a geometric flow [is] an evolution of the geometry of over time ."
En el flujo de acortamiento de curvas, cada punto de una curva se mueve en la dirección de su vector normal (hacia el interior de la curva), a una velocidad proporcional a la curvatura. Para una curva en evolución representada por una función de dos parámetros donde parametriza la longitud del arco en la curva y parametriza un tiempo en la evolución de la curva, el flujo de acortamiento de la curva puede ser descrito por la ecuación parabólica en derivadas parciales;
una forma de ecuación del calor, donde es la curvatura y es el vector unitario normal.
Debido a que los elementos de esta ecuación, la longitud del arco, la curvatura y el tiempo, no se ven afectados por las traslaciones y rotaciones del plano euclídeo, se deduce que el flujo definido por esta ecuación es invariante bajo traslaciones y rotaciones (o más precisamente, se puede afirmar que es equivariante). Si el plano se escala por un factor de dilatación constante, el flujo permanece esencialmente sin cambios, pero se ralentiza o acelera por el mismo factor.
Curvas irregulares Para que el flujo esté bien definido, la curva dada debe ser lo suficientemente suave como para tener una curvatura continua. Sin embargo, una vez que comienza el flujo, la curva se convierte en analítica, y permanece así hasta llegar a una singularidad en la que la curvatura explota. Para una curva suave sin cruces, la única singularidad posible se produce cuando la curva colapsa en un punto, pero las curvas inmersas puede tener otros tipos de singularidad.;.
En tales casos, con algo de cuidado es posible continuar el flujo más allá de estas singularidades hasta que toda la curva se reduzca a un solo punto.;.
Para una curva cerrada simple, usando una extensión del flujo a curvas no suaves basado en el método del conjunto de nivel, solo hay dos posibilidades. Las curvas con medida de Lebesgue cero (incluidos todos los polígonos y las curvas suaves por partes) evolucionan instantáneamente a curvas suaves, después de lo cual evolucionan como lo haría cualquier curva suave. Sin embargo, las curvas de Osgood con una medida distinta de cero evolucionan inmediatamente a un anillo topológico con un área distinta de cero y límites uniformes. El seno del topólogo es un ejemplo que instantáneamente se vuelve suave, a pesar de no ser siquiera localmente conexa. Ejemplos como este muestran que la evolución inversa del flujo de acortamiento de curvas puede llevar curvas de buen comportamiento a singularidades complicadas en una cantidad finita de tiempo.
Superficies no euclidianas El flujo de acortamiento de curvas, y muchos de los resultados sobre el flujo de acortamiento de curvas, se pueden generalizar desde el plano euclidiano a cualquier variedad de Riemann bidimensional. Para evitar tipos adicionales de singularidad, es importante que la variedad sea "convexa en el infinito"; esto significa que cada conjunto compacto tiene una envolvente convexa compacta, como se define usando el concepto de convexidad geodésica. El flujo de acortamiento no puede hacer que una curva se salga de su envolvente convexa, por lo que esta condición evita que partes de la curva alcancen el límite de la variedad.
Curvas espaciales El flujo de acortamiento de curvas también se ha estudiado para curvas en el espacio euclídeo tridimensional. El vector normal en este caso se puede definir (como en el plano) como la derivada del vector tangente con respecto a la longitud del arco, normalizado para ser un vector unitario (es uno de los componentes del recinto de Frenet-Serret). No está bien definido en los puntos de curvatura cero, pero el producto de la curvatura y el vector normal permanece bien definido en esos puntos, lo que permite definir el flujo de acortamiento de la curva. Las curvas en el espacio pueden cruzarse con otras o consigo mismas de acuerdo con este flujo, y el flujo puede conducir a singularidades en las curvas; con la condición de que toda singularidad es asintótica a un plano. Sin embargo, se sabe que las curvas esféricas y las curvas que se pueden proyectar ortogonalmente en una curva plana convexa regular siguen siendo simples. El flujo de acortamiento de curvas para curvas espaciales se ha utilizado como una forma de definir el flujo más allá de singularidades en curvas planas.
Más allá de las curvas Es posible extender la definición del flujo a entidades más generales que las curvas, lo que se puede comprobar utilizando varivariedades rectificables o el método del conjunto de nivel. Sin embargo, estas definiciones extendidas pueden permitir que partes de las curvas desaparezcan instantáneamente o se conviertan en conjuntos de área distinta de cero.;;, "4.7.1 Brakke's varifold solution", p. 100..
Una variación del problema comúnmente estudiada implica redes de curvas suaves disjuntas en el interior de la curva de partida, con uniones donde se encuentran tres o más de las curvas. Cuando todas las uniones tienen exactamente tres curvas que se encuentran en ángulos de 2Π/3 (las mismas condiciones que se observan en el problema del árbol de Steiner óptimo o en una espuma bidimensional formada por pompas de jabón), el flujo está bien definido a corto plazo. Sin embargo, finalmente puede llegar a un estado singular con cuatro o más curvas que se encuentran en un cruce, y puede haber más de una forma de continuar el flujo más allá de tal singularidad.
Comportamiento
Principio de evitación, radio y factor de estiramiento Si dos curvas simples cerradas suaves disjuntas experimentan el flujo de acortamiento de la curva simultáneamente, permanecen disjuntas a medida que avanza el flujo. La razón es que, si dos curvas suaves se mueven de una manera que crean un cruce, entonces, en el momento del primer cruce, las curvas serían necesariamente tangentes entre sí, sin cruzarse. Pero, en tal situación, las curvaturas de las dos curvas en el punto de tangencia necesariamente las separarían en lugar de juntarlas en un cruce. Por la misma razón, una sola curva cerrada simple nunca puede evolucionar para cruzarse a sí misma. Este fenómeno se conoce como el principio de evitación.
El principio de evitación implica que cualquier curva cerrada suave debe finalmente alcanzar una singularidad, como un punto de curvatura infinita. Porque, si una curva suave dada está rodeada por una circunferencia, ambas permanecerán disjuntas mientras existan. Pero el círculo envolvente se contrae bajo el flujo de curvatura, permaneciendo circular, hasta que colapsa, y por el principio de evitación debe permanecer contenida dentro de él. Entonces, si nunca alcanzara una singularidad, quedaría atrapado en un solo punto en el momento en que el círculo colapsa, lo que es imposible para una curva suave. Esto se puede cuantificar observando que el radio de la menor circunferencia que envuelve debe disminuir a una velocidad que sea al menos tan rápida como la disminución del radio de una circunferencia que experimenta el mismo flujo.
cuantifica el principio de evitación para una sola curva en términos de la relación entre la longitud del arco (del más corto de dos arcos) y la distancia euclidiana entre pares de puntos, a veces llamada factor de estiramiento. Muestra que el factor de estiramiento es estrictamente decreciente en cada uno de sus máximos locales, excepto en el caso de los dos extremos del diámetro de una circunferencia, en cuyo caso el factor de estiramiento es constante en Π. Esta propiedad de monotonicidad implica el principio de evitación, ya que si la curva alguna vez se tocara a sí misma, el factor de estiramiento se volvería infinito en los dos puntos de contacto.
Longitud A medida que una curva experimenta el flujo de acortamiento, su longitud disminuye a una tasa dada por la fórmula
donde la integral se toma sobre la curva, es la curvatura y es la longitud del arco en la curva.
El integrando siempre es no negativo, y para cualquier curva cerrada suave existen arcos dentro de los cuales es estrictamente positivo, por lo que la longitud disminuye monótonamente.
De forma más general, para cualquier evolución de curvas cuya velocidad normal sea , la tasa de cambio en la longitud es
que puede interpretarse como un producto interno negado entre la evolución dada y el flujo de acortamiento de la curva.
Por lo tanto, el flujo que acorta la curva se puede describir como el campo vectorial de longitud, el flujo que (localmente) disminuye la longitud de la curva lo más rápido posible en relación con la del flujo. Esta propiedad es la que le da su nombre al flujo de acortamiento de la curva., p. vii;, p. 526.
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