En geometría y física, los espinores son elementos de un espacio vectorial (complejo) que pueden ponerse en correspondencia o asociarse a vectores de un espacio euclídeo.Los espinores siempre se pueden definir sobre los números complejos. Sin embargo, para algunas signaturas existen espines reales. Los detalles se pueden encontrar en representación de giro. Al igual que los vectores físicos y los tensores de forma más general, los espinores se transforman linealmente cuando el espacio euclídeo se somete a una leve rotación.Una definición formal de los espinores en este nivel es que el espacio de los espinores es una representación lineal del álgebra de Lie de las matrices de rotación de un cierto tipo. Introducción
Tanto los espinores como los vectores son elementos de un espacio vectorial, la diferencia radica en como se comportan sus componentes al considerar un cambio de referencia o de cambio de base. Además en las aplicaciones prácticas los espinores se toman como elementos de un espacio vectorial sobre , mientras que los vectores físicos se definen sobre . Para entender esto de los cambios de componentes consideremos como se transforman las componentes de tensores y espinores al rotar la base vectorial en la se expresan. Considérese aplicar una rotación a las coordenadas de un sistema. Ningún objeto en el propio sistema se ha movido, solo las coordenadas lo han hecho, por lo que siempre habrá un cambio compensatorio en esos valores de coordenadas cuando se apliquen a cualquier objeto del sistema. Los vectores geométricos, por ejemplo, tienen componentes que experimentarán la misma rotación que las coordenadas. Más ampliamente, cualquier cálculo tensorial asociado con el sistema (por ejemplo, la tensión de algún medio) también tiene descripciones de coordenadas que se ajustan para compensar los cambios en el sistema de coordenadas en sí. Los espinores no aparecen en este nivel de la descripción de un sistema físico, cuando uno se ocupa solo de las propiedades de una sola rotación aislada de las coordenadas. Más bien, aparecen cuando se imagina que, en lugar de una sola rotación, el sistema de coordenadas se rota gradualmente (continuamente) entre alguna configuración inicial y otra final. Para cualquiera de las cantidades familiares e intuitivas (tensoriales) asociadas con el sistema, la ley de transformación no depende de los detalles precisos de cómo llegaron las coordenadas a su configuración final. Los espinores, por otro lado, están construidos de tal manera que los hace "sensibles" a cómo llegó allí la rotación gradual de las coordenadas: exhiben dependencia del camino. Resulta que, para cualquier configuración final de las coordenadas, en realidad hay (topológicamente) dos rotaciones graduales (equivalentes) desiguales del sistema de coordenadas que resultan en esta misma configuración. Esta ambigüedad se llama homotopía de la rotación gradual. El ejemplo del cinturón enredado es un caso famoso en el que dos rotaciones diferentes, una a través de un ángulo de 2π y la otra a través de un ángulo de 4π, que tienen las mismas configuraciones finales pero diferentes clases. Los espinores en realidad muestran una inversión de signo que realmente depende de esta clase de homotopía. Esto los distingue de los vectores y otros tensores, ninguno de los cuales son sensibles al giro acumulado.
Los espinores se pueden exhibir como objetos concretos usando una elección de coordenadas cartesianas. En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, los espinores pueden construirse haciendo una elección de matrices de Pauli correspondientes a (por ejemplo, momentos angulares respecto a) los tres ejes de coordenadas. Estas son matrices de 2×2 con números complejos, y los vectores columna complejos de dos componentes en los que actúan estas matrices por multiplicación de matrices son los espinores. En este caso, el grupo de giro es isomorfo al grupo de 2×2 de matrices unitarias con determinante uno, que naturalmente se encuentra dentro del álgebra matricial. Este grupo actúa por conjugación en el espacio vectorial real abarcado por las matrices de Pauli,Este es el conjunto de matrices hermíticas complejas sin traza de orden 2×2. estructurándolo como un grupo de rotaciones entre ellas,Excepto para un kernel de correspondiente a los dos elementos diferentes del grupo de espín que corresponden a la misma rotación. pero también actúa sobre los vectores columna (es decir, sobre los espinores).
Más generalmente, un álgebra de Clifford puede construirse a partir de cualquier espacio vectorial V dotado de una forma cuadrática (no degenerada), como el espacio euclídeo con su producto escalar estándar, o el espacio-tiempo de Minkowski con su métrica de Lorentz estándar. El espacio de los espinores es el conjunto de vectores columna con componentes . El álgebra ortogonal de Lie (es decir, las "rotaciones" infinitesimales) y el grupo de espín asociado a la forma cuadrática están ambos (canónicamente) contenidos en el álgebra de Clifford, por lo que cada representación del álgebra de Clifford también define una representación del álgebra de Lie y del grupo de espín.Por lo tanto, la ambigüedad en la identificación de los propios espines persiste desde el punto de vista de la teoría de grupos y aún depende de las elecciones realizadas. Dependiendo de la dimensión y de la signatura métrica, esta realización de los espinores como vectores columna puede ser irreducible o puede descomponerse en un par de las denominadas medias vueltas o representaciones de Weyl.El álgebra de Clifford puede recibir una calificación par/impar graduada de la paridad en las gammas, y el grupo de espín y su álgebra de Lie se encuentran en la parte par. Ya sea aquí por "representación", aquí se habla de las representaciones del grupo de espín o al álgebra de Clifford que afectará a la determinación de su reducibilidad. También pueden existir otras estructuras además de esta división; los criterios precisos se cubren en los artículos dedicados a la representación de espín y al Álgebra de Clifford. Cuando el espacio vectorial V es de cuatro dimensiones, el álgebra se describe mediante matrices gamma.
Tipos de espinores En la práctica existen varios tipos de objetos denominados informalemente espinor cuyas leyes de transformación bajo cambios de coordenadas o sistemas de referencia son ligeramente diferentes. Con el fin de clarificar esto enumeramos los tipos antes de proceder a la discusión detallada:
Espinores de Pauli son elementos de un espacio vectorial , cuyas componentes se transforman al cambiar de sistema de referencia mediante el grupo SU(2), isomorfo al grupo espinorial Sp(3). Sirven para representar de forma matemáticamente conveniente vectores tridimensionales de y para definir su estructura matemática se emplea un producto interno relacionado con el producto escalar euclídeo, que condiciona la forma correcta en que se transforman bajo cambios de referencia las componentes. Este tipo de espinores surgió en el contexto de la mecánica cuántica no relativista. Espinores de Weyl son también elementos del espacio vectorial , pero dotado de una estructura diferente. En este caso las componentes se transforman al cambiar de sistema de referencia mediante el grupo SL(2,C), isomorfo al grupo espinorial Sp(3,1). Sirven para representar cuadrivectores del espacio de Minkowski y se usan en aplicaciones relativistas, su estructura matemática usa una forma simpléctica que se puede relacionar con el producto interno asociado a métrica de Minkowski de . Nuevamente ese último hecho condiciona las propiedades transformación de componentes bajo cambios de referencia. Este tipo de espinores es el más ampliamente usado en física y se emplean en la mecánica cuántica relativista, mejor conococida como teoría cuántica de campos. Espinores de Dirac o biespinores, son elementos del espacio vectorial y, en realidad, no son estrictamente un nuevo tipo de espinor ya que un espinor de Dirac realmente equivale a un par de espinores de Weyl, razón por la cual a veces se les llama biespionores. Así, la diferencia esencial de los vectores y los espinores de la física es cómo se transforman sus componentes cuando representamos dicho objeto en diferentes bases vectoriales. Así las componentes de un mismo vector tridimensional expresadas en dos bases vectoriales diferentes, se relacionan mediante una matriz de rotación o elemento del grupo de Lie SO(3), mientras que las componentes de un espinor se relacionan mediante una matriz que representa un elemento del grupo SU(2) (en el caso de espinores de Pauli) o SL(2,C.
Matemáticamente se podrían definir nuevos tipos de espinores pensando en las representaciones fundamentales del grupo espinoral Sp(n). De hecho los dos tipos espinoriales básicos de la física actual se basan en el grupo de rotaciones del espacio euclídeo y el grupo de transformaciones de Lorentz del espacio de Minkowski. Vectores tridimensionales y espinores de Pauli Esto implica, por ejemplo que para el caso de espinores, cuando se compone una secuencia de pequeñas rotaciones (integradas) para formar una rotación final general, la transformación del espinor resultante depende de la secuencia de rotaciones pequeñas que se hayan aplicado: al contrario que los vectores y los tensores, un espinor se transforma en su opuesto cuando el espacio se gira continuamente a través de un giro completo de 0° a 360° (véase la imagen). Esta propiedad caracteriza a los espinores: se pueden ver como las raíces cuadradas de los vectores. En términos rigurosos, un vector tridimensional ordinario se puede expresar como una combinación cuadrática de las componentes de un espinor.
Cuadrivectores y espinores de Weyl También es posible definir un tipo de espinor similar al anterior en un espacio-tiempo de Minkowski, en cuyo caso las transformación de Lorentz de la teoría de la relatividad especial desempeñan el papel de las rotaciones. Los espinores fueron introducidos en geometría por Élie Cartan en 1913..Cita de Elie Cartan: "The Theory of Spinors", Hermann, París, 1966, primera frase de la sección Introducción del comienzo del libro (antes de que comiencen los números de página): "Los espinores se usaron por primera vez con ese nombre, por los físicos, en el campo de la mecánica cuántica. En su forma más general, los espinores fueron descubiertos en 1913 por el autor de este trabajo, en sus investigaciones sobre las representaciones lineales de grupos simples*; proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número de dimensiones, cada espinor tiene componentes, donde o ". El asterisco (*) se refiere a Cartan 1913. En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el espín del electrón y otras partículas subatómicas.Más precisamente, son los fermiones de spin-1/2 los que son descritos por los espinores, lo cual es cierto tanto en la teoría relativista como en la no relativista. La función de onda del electrón no relativista tiene valores en espinores de 2 componentes que se transforman bajo rotaciones infinitesimales tridimensionales. La ecuación de Dirac relativista para el electrón es una ecuación para los espinores de 4 componentes que se transforman bajo las transformaciones de Lorentz infinitesimales para las cuales existe una teoría de los espinores sustancialmente similar.