Las relaciones métricas en el triángulo son aquellas que tratan los vínculos entre lados o ángulos, entre los cuales se destaca el Teorema de Pitágoras que es válido exclusivamente en el triángulo rectángulo y se aplica sobre la longitud de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos del ángulo
Elementos del triángulo 300px|derecha
Los elementos principales de un triángulo son: vértices, lados y ángulos.
Triángulo rectángulo
miniatura|250px|derecha|Un triángulo rectángulo y sus elementos. 240px|derecha
Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) o π/2 radianes.
Fórmulas para calcular en un triangulo rectángulo, un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.
Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.
220px|Triángulo utilizado para describir las propiedades. Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde:
c es la hipotenusa, h es la altura relativa a la hipotenusa, p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,
se cumplen las siguientes propiedades:
Un cateto es media proporcional- o bien media geométrica-Milton Donaire. Formas y números. 978-612-45279-9-9 entre la hipotenusa y la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:
comprobación el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:
despejando
El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:
comprobación el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:
despejando:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).
comprobación
del teorema anterior:
sumando ambas ecuaciones:
luego
pero p+q=c
finalmente
El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:
comprobación
existen dos comprobaciones:
1) a partir de las superficies o áreas:
y
eso quiere decir que:
que al eliminar los doses:
2) el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:
despejando:
El inverso del cuadrado de la altura de la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos:
comprobación
por el teorema de Pitágoras:
dividimos entre :
pero a.b=c.h
eliminando las c y convirtiendo en 2 la fracción de la derecha:
simplificando
miniatura|derecha|300px|Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo:
La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.
Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:
donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:
donde es la medida de la hipotenusa.
Teorema de la altura En matemáticas, el teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:
Demostración La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que
miniatura|derecha|240px|Figura 1: Teorema de la altura.
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por se tiene:
por lo que
Otra forma del mismo teorema La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.
lo que al simplificar en el último término de la ecuación la raíz con los cuadrados nos conduce a :
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.
La ecuación nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema :
Teorema del cateto miniatura|derecha|300px|Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa. El teorema del cateto establece lo siguiente:
Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:
Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.
Demostración
Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:
Todos tienen un ángulo recto. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
miniatura|derecha|300px|Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.
Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC
de dónde,
Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC
y el teorema queda demostrado.
Corolario
Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo estas m y n:
en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:
donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.
Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A, son: derecha|230px
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Área miniatura|derecha|250px|fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo.
Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).
donde a y b de la ecuación representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).
En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación de la siguiente manera:
La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo". de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación a todo triángulo.
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo
Euclides vio un inconveniente: en un triángulo rectángulo ¿cuánto debería valer numéricamente el lado a en un triángulo oblicuángulo? Euclides despejó su duda con la primera ley de Euclides para los triángulos oblicuángulos.
Primer teorema de Euclides En cualquier triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre élG. M. Bruño. Geometría Superior. Madrid, 17ª edición No se exige que un triángulo sea acutángulo, sino se refiere al lado opuesto de un ángulo agudo, que siempre, por lo menos uno, existe.
primer teorema de Euclides.jpg|250px|derecha
siendo n la proyección de c sobre b
donde p es la proyección de b sobre c
Demostración
Euclides notó que aunque no se generen triángulos semejantes al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras:
empezamos en el triángulo de la izquierda
luego despejamos la altura
pero m=b-n
en el triángulo de la derecha
despejando la altura
eso quiere decir que:
elevando el binomio al cuadrado:
simplificando:
despejando:
análogamente:
Segundo teorema de Euclides
En un triángulo obtusángulo, el lado opuesto al ángulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos más el doble de la base por la proyección de la altura trazada desde uno de los ángulos menores. 250px|derecha
Demostración
Euclides notó que al trazar la altura exterior se generan dos triángulos rectángulos (AHC y BCH).
Nos fijamos en el más pequeño (AHC):
.
Despejando la altura resulta:
.
Pasemos al triángulo BHC:
.
Despejando la altura queda:
.
Eso quiere decir que:
.
Elevando el binomio al cuadrado
,
y simplificando
.
Despejando a²:
Cálculo de las líneas notables de un triángulo
A partir de los dos teoremas anteriores se deriva fórmulas para el cálculo de las líneas notables de un triángulo. A continuación vamos a ver estos 5 teoremas con su comprobación.
Teorema de Stewart (cálculo de la ceviana) derecha|350px|Diagrama del teorema de Stewart.
Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triángulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyección del cateto opuesto más la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyección del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicación de las proyecciones de los catetos y la base.
Su formulación matemática es:
Donde b y c son los lados "laterales" respecto a la ceviana d correspondiente al lado a, n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana.
Teorema de la mediana miniatura|derecha|350px|fig.m1: Esquema con áreas → ( ).
En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.
Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :
Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :
Caso particular
En un triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (véase Corolario 1 del teorema segundo de Tales), asumiremos para la ecuación siguiente que dicha hipotenusa se denomina c).
Donde M es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada c.
Simedianas de un triángulo
donde son las simedianas respecto a los lados de un triánguloM. García Ardura. Problemas gráficos y numéricos de geometría. Decimocuarta edición, Madrid.
Teorema de la bisectriz interior
250px|derecha
Donde:
X:Bisectriz interior
Demostración