+ Figuras quasirregularesDominios del triángulo rectángulo (p q 2), = r{p,q}r{4,3}r{5,3}r{6,3}r{7,3}...r{∞,3}(3.4)2(3.5)2(3.6)2(3.7)2(3.∞)2Dominios del triángulo isósceles (p p 3), = = h{6,p}h{6,4}h{6,5}h{6,6}h{6,7}...h{6,∞}= = = = = (4.3)4(5.3)5(6.3)6(7.3)7(∞.3)∞Dominios del triángulo isósceles (p p 4), = = h{8,p}h{8,3}h{8,5}h{8,6}h{8,7}...h{8,∞}=====(4.3)3(4.5)5(4.6)6(4.7)7(4.∞)∞Dominio del triángulo escaleno (5 4 3), (3.5)4(4.5)3(3.4)5Un poliedro o un teselado quasirregulares tiene exactamente dos tipos de caras regulares, que se alternan alrededor de cada vértice. Sus figuras de vértice son polígonos isogonales.+ Figuras regulares y quasirregularesDominios del triángulo rectángulo (p p 2), = = r{p,p}= {p,4}{3,4}r{3,3}{4,4}r{4,4}{5,4}r{5,5}{6,4}r{6,6}...{∞,4}r{∞,∞}= = = = = (3.3)2(4.4)2(5.5)2(6.6)2(∞.∞)2Dominios del triángulo isósceles (p p 3), = = {p,6}{3,6}{4,6}{5,6}{6,6}...{∞,6}= = = = = (3.3)3(4.4)3(5.5)3(6.6)3(∞.∞)3Dominios del triángulo isósceles (p p 4), = = {p,8}{3,8}{4,8}{5,8}{6,8}...{∞,8}=====(3.3)4(4.4)4(5.5)4(6.6)4(∞.∞)4Un poliedro o un teselado regulares puede considerarse cuasirregulares si tiene un número par de caras alrededor de cada vértice (y por lo tanto pueden tener caras coloreadas alternadamente).
En geometría, un poliedro quasirregular, poliedro cuasirregular o poliedro casi regular es un poliedro uniforme que tiene exactamente dos tipos de caras regulares, que se alternan alrededor de cada vértice. Son figuras isogonales e isotoxales, y por lo tanto están un paso más cerca de ser un poliedro regular que un poliedro semirregular (que se caracteriza meramente por la transitividad entre sus vértices).
Sus figuras duales son isoedrales y presentan transitividad entre aristas; tienen exactamente dos tipos de figuras de vértice regulares, que se alternan alrededor de cada cara. Estos poliedros duales a veces también se consideran casirregulares.
Solo hay dos poliedros cuasirregulares convexos: el cuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres, dados por Johannes Kepler, provienen de reconocer que sus caras son todas las caras (dispuestas convenientemente) de la pareja de poliedros duales formada por el cubo y el octaedro en el primer caso; y de la pareja dual formada por el icosaedro y el dodecaedro en el segundo caso.
A estas formas que representan un par de una figura regular y su dual se les puede asignar un símbolo de Schläfli vertical o {rp,q}, para representar que sus caras son todas las caras (colocadas de manera diferente) tanto del {p,q} regular como del dual {q,p} regular. Un poliedro cuasirregular con este símbolo tendrá una configuración de vértices p.q.p.q (o (p.q)2).
Más generalmente, una figura cuasirregular puede tener un configuración de vértices (p.q)r, que representa 'r' (2 o más) secuencias de las caras alrededor del vértice.
Los teselados del plano también puede ser cuasirregulares, concretamente el teselado trihexagonal, con configuración de vértices (3.6)2. Igualmente existen otros teselados cuasirregulares en el plano hiperbólico, como el teselado triheptagonal, (3.7)2. O más generalmente: (p.q)2, con 1/p + 1/q < 1/2.
Los poliedros regulares y los teselados con un número par de caras en cada vértice así mismo pueden considerarse cuasirregulares diferenciando entre caras del mismo orden, representándolas de manera diferente, como coloreándolas alternativamente (sin definir ninguna orientación superficial). Una figura regular con símbolo de Schläfli {p,q} puede ser considerada cuasirregular, con configuración de vértices (p.p)q/2, si q es par.
Ejemplos:
El octaedro regular, con el símbolo de Schläfli {3,4} y 4 siendo par, puede considerarse casi regular como un tetratetraedro (2 conjuntos de 4 triángulos del tetraedro), con configuración de vértices (3.3)4/2 = (3a. 3b)2, alternando dos colores de caras triangulares.
El teselado cuadrado, con configuración de vértices 44 y 4 siendo par, puede considerarse casi regular, con configuración de vértices (4.4)4/2 = (4a.4b)2, coloreado como un tablero de ajedrez.
El teselado triangular, con configuración de vértice 36 y 6 siendo par, puede considerarse cuasirregular, con configuración de vértices (3.3)6/2 = (3a.3b)3, alternando dos colores de caras triangulares.
Construcción de Wythoff Los poliedros regulares (p | 2 q) y quasirregulares (2 | p q) se crean a partir de una construcción de Wythoff con el punto generador en una de las 3 esquinas del dominio fundamental. Esto define una sola arista dentro del dominio fundamental.
Harold Scott MacDonald Coxeter definió un poliedro cuasirregular como aquel que tiene un símbolo de Wythoff en la forma p | q r, y es regular si q=2 o q=r.Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S. y Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401–450. (Section 7, The regular and quasirregular polyhedra p|q r)
El diagrama de Coxeter-Dynkin es otra representación simbólica que muestra la relación cuasirregular entre dos formas duales regulares: Símbolo de SchläfliDiagrama de Coxeter-DynkinSímbolo de Wythoff{p,q}q | 2 p{q,p}p | 2 qr{p,q} or 2 | p q
Poliedros cuasirregulares convexos
Hay dos poliedros cuasirregulares convexos uniformes:
El cuboctaedro , con configuración de vértices (3.4)2, y diagrama de Coxeter-Dynkin El icosidodecaedro , con configuración de vértices (3.5)2, y diagrama de Coxeter-Dynkin
Además, el octaedro, que también es regular, , con configuración de vértices (3.3)2, puede considerarse cuasirregular si las caras alternas reciben colores diferentes. En esta forma, a veces se le conoce como tetratetraedro. Los poliedros regulares convexos restantes tienen un número impar de caras en cada vértice, por lo que no se pueden colorear de manera que conserven la transitividad de los bordes. Tiene diagrama de Coxeter-Dynkin .
Cada una de estas formas permite generar el núcleo común de una pareja de poliedros regulares duales. Los nombres de dos de estas formas dan pistas sobre el par dual asociado: respectivamente cubo octaedro e icosaedro dodecaedro. El octaedro es el núcleo común de un par dual de tetraedros (un compuesto conocido como estrella octángula); cuando se genera de esta manera, el octaedro a veces se denomina "tetratetraedro", como tetraedro tetraedro.
RegularDual regularNúcleo común quasirregularFiguras de vértice2 32 33 33.3.3.32 42 33 43.4.3.42 52 33 53.5.3.5
Cada uno de estos poliedros cuasirregulares se puede construir mediante una operación de rectificación en cualquiera de las figuras originarias regulares, procediendo al truncado completo en los vértices, hasta que cada arista original se reduzca a su punto medio.
Teselaciones cuasirregulares Esta secuencia continúa como un teselado trihexagonal, con figura de vértice (3.6)2; un teselado cuasirregular basado en un teselado triangular y en un teselado hexagonal.
RegularDual regularCombinación cuasirregularFigura de vértice2 32 63 6(3.6)2
El patrón del tablero de damas es una coloración casi regular de un teselado cuadrado, con figura de vértice (4.4)2: RegularDual regularCombinación cuasirregularFigura de vértice2 42 44 4(4.4)2
El teselado triangular también puede considerarse cuasirregular, con tres conjuntos de triángulos alternos en cada vértice, (3.3)3: h{6,3}3 | 3 3=
En el plano hiperbólico, esta secuencia continúa con más elementos, como por ejemplo, el teselado triheptagonal, con figura de vértice (3.7)2; un teselado cuasirregular basado en el teselado triangular de orden 7 y en el teselado heptagonal. RegularDual regularCombinación cuasirregularFigura de vértice2 32 73 7(3.7)2
Ejemplos no convexos
Coxeter et al. (1954) también clasificaron como cuasirregulares ciertos poliedros estrellados que tienen las mismas características.
Dos se basan en pares duales de Sólido de Kepler-Poinsot regulares, de la misma manera que en los ejemplos convexos:
El gran icosidodecaedro , y el dodecadodecaedro :
RegularDual regularNúcleo común quasirregularFigura de vértice2 5/22 33 5/23.5/2.3.5/22 5/22 55 5/25.5/2.5.5/2
Nueve más son los hemipoliedros, que son formas facetadas de los poliedros cuasirregulares antes mencionados, derivados de la rectificación de poliedros regulares, que incluyen caras ecuatoriales que pasan por el centro de los poliedros:
Quasirregular (rectificado)TetratetraedroCuboctaedroIcosidodecaedroGran icosidodecaedroDodecadodecaedroQuasirregular (hemipoliedro)Tetrahemihexaedro3/2 3 | 2Octahemioctaedro3/2 3 | 3Pequeño icosihemidodecaedro3/2 3 | 5Gran icosihemidodecaedro3/2 3 | 5/3Pequeño dodecahemicosaedro5/3 5/2 | 3Figura de vértice3.4.3/2.43.6.3/2.63.10.3/2.103.10/3.3/2.10/35/2.6.5/3.6Quasirregular (hemipoliedro) Cubohemioctaedro4/3 4 | 3Pequeño dodecahemidodecaedro5/4 5 | 5Gran dodecahemidodecaedro5/3 5/2 | 5/3Gran dodecahemicosaedro5/4 5 | 3Figura de vértice 4.6.4/3.65.10.5/4.105/2.10/3.5/3.10/35.6.5/4.6
Por último, hay tres formas ditrigonales, todas las facetas del dodecaedro regular, cuyas figuras de vértice contienen las tres alternancias de los dos tipos de cara: Imagen Forma faceteadaSímbolo de WythoffDiagrama de Coxeter-Dynkin Figura de vérticeDodecadodecaedro ditrigonal3|5/3 5 o (5.5/3)3Pequeño icosidodecaedro ditrigonal3|5/2 3 or (3.5/2)3Gran icosidodecaedro ditrigonal3/2|3 5 or ((3.5)3)/2
En el plano euclídeo, la secuencia de hemipoliedros continúa con los siguientes cuatro teselados de estrellas, donde los apeirógonos aparecen como los polígonos ecuatoriales antes mencionados:
TeseladorectificadooriginalDiagrama dearistasSólidoConfigde vérticesWythoffGrupo de simetríaTeseladocuadrado4.∞.4/3.∞4.∞.-4.∞4/3 4 | ∞p4m Teseladotriangular(3.∞.3.∞.3.∞)/23/2 | 3 ∞p6m Teseladotrihexagonal6.∞.6/5.∞6.∞.-6.∞6/5 6 | ∞ ∞.3.∞.3/2∞.3.∞.-33/2 3 | ∞
Duales cuasirregulares
Algunas autores argumentan que, dado que los duales de los sólidos cuasirregulares comparten las mismas simetrías, estos duales también deberían llamarse cuasirregulares. Pero no todos usan esta terminología. Estos duales son transitivos en sus aristas y caras (pero no en sus vértices); son los sólidos de Catalan con transitividad de aristas. Los convexos son, en el orden correspondiente al anterior: El rombododecaedro, con dos tipos de vértices alternos, 8 con tres caras rómbicas y 6 con cuatro caras rómbicas. El triacontaedro rómbico, con dos tipos de vértices alternos, 20 con tres caras rómbicas y 12 con cinco caras rómbicas.
Además, por dualidad con el octaedro, el cubo, que suele ser regular, puede hacerse cuasirregular si los vértices alternos reciben colores diferentes.
Sus configuración de vértices tienen la forma V3.n.3.n, con diagrama de Coxeter-Dynkin CuboV(3.3)2RombododecaedroV(3.4)2Triacontaedro rómbicoV(3.5)2 Rhombille tilingV(3.6)2V(3.7)2V(3.8)2
Estos tres duales cuasirregulares también se caracterizan por tener caras rómbicas.
Este patrón de caras rómbicas continúa como V(3.6)2, el teselado rómbico.
Politopos y panales cuasirregulares En dimensiones más altas, Coxeter definió un politopo cuasirregular o panal con facetas regulares y figuras de vértice cuasirregulares. De ello se deduce que todas las figuras de vértice son congruentes y que hay dos clases de facetas, que se alternan.
En el espacio euclídeo cuatridimensional, el 16-celdas regular también se puede ver como cuasirregular, generado a partir de un teseracto h{4,3,3}, con diagramas de Coxeter-Dynkin alternativo: = , compuesto por tetraedros y celdas tetraédricas alternados. Su figura de vértice es el octaedro cuasirregular (un octaedro con simetría tetraédrica) .
El único panal cuasirregular en el espacio tridimensional euclídeo es el panal cúbico alternado, h{4,3,4}, con diagramas de Coxeter: = , compuesto de tetraedros y celdas octaédricas alternadas. Su figura de vértices es el cuboctaedro cuasirregular, .Coxeter, Regular Polytopes, 4.7 Other honeycombs. p.69, p.88