En teoría de números, el cociente de Fermat de un número entero a con respecto a un número primo impar p se define comoFermat Quotient at The Prime Glossary Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), especially pp. 152, 159-161.Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.
o también
.
Este artículo trata sobre la primera definición; para la segunda véase p-derivación. El cociente lleva el nombre del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665).
Si la base a es coprima respecto al exponente p entonces el pequeño teorema de Fermat afirma que qp(a) será un número entero. Si la base a también es generadora del grupo multiplicativo de enteros módulo p, entonces qp(a) será un número cíclico y p será un número primo largo.
Propiedades A partir de la definición, es obvio que
En 1850, Ferdinand Eisenstein demostró que si a y b son coprimos con respecto a p, entonces:Ferdinand Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades implican que
En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein permite obtener el corolario siguiente: Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (rp − 1 − 1):p= qr (mod p)," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
De esto se sigue que:Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
Fórmula de Lerch M. Lerch demostró en 1905 que
Aquí es el cociente de Wilson.
Valores especiales
Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat con base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1, ..., p − 1} :
Autores posteriores demostraron que el número de términos requeridos en tal representación podría reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:
James Whitbread Lee Glaisher, "On the Residues of rp − 1 to Modulus p2, p3, etc.," Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
Ladislav Skula, "A note on some relations among special sums of reciprocals modulo p," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.Karl Dilcher and Ladislav Skula, "A New Criterion for the First Case of Fermat's Last Theorem," Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:
James Whitbread Lee Glaisher, "A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function," Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, at pp. 49-50.
Mathias Lerch, "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.
Primos de Wieferich generalizados Si qp(a) ≡ 0 (mod p) entonces ap−1 ≡ 1 (mod p2). Los números primos para los que esto es cierto cuando a = 2 se denominan primos de Wieferich. En general, se denominan primos de Wieferich en base a. Las soluciones conocidas de qp(a) ≡ 0 (mod p) para valores pequeños de a son :
{|class="wikitable"
! a ! p (comprobado hasta 5 × 1013) ! Secuencia OEIS
|1||2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (All primes)
|2||1093, 3511
|3||11, 1006003
|4||1093, 3511
|5||2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
|6||66161, 534851, 3152573
|7||5, 491531
|8||3, 1093, 3511
|9||2, 11, 1006003
|10||3, 487, 56598313
|11||71
|12||2693, 123653
|13||2, 863, 1747591
|14||29, 353, 7596952219
|15||29131, 119327070011
|16||1093, 3511
|17||2, 3, 46021, 48947, 478225523351
|18||5, 7, 37, 331, 33923, 1284043
|19||3, 7, 13, 43, 137, 63061489
|20||281, 46457, 9377747, 122959073
|21||2
|22||13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159
|23||13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329
|24||5, 25633
|25||2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
|26||3, 5, 71, 486999673, 6695256707
|27||11, 1006003
|28||3, 19, 23
|29||2
|30||7, 160541, 94727075783
Para obtener más información, consúltese fermatquotient.com (Wieferich primes to bases up to 1052 yWieferich primes with level >= 3).
Las soluciones más pequeñas de qp(a) ≡ 0 (mod p) con a= n son:
2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ...
Un par (p, r) de números primos tales que qp(r) ≡ 0 (mod p) y q' 'r(p) ≡ 0 (mod r'') se llama par de Wieferich.
Referencias
Enlaces externos Gottfried Helms. Fermat-/Euler-quotients (ap-1 – 1)/pk with arbitrary k. Richard Fischer. Fermat quotients B^(P-1)== 1 (mod P^2).
Categoría:Teoría de números