El triángulo armónico de Leibniz es una ordenación triangular de fracciones unitarias cuyas diagonales exteriores están formadas por los inversos de los sucesivos números de fila y cada uno de los elementos interiores es igual a la diferencia entre el elemento superior izquierdo y el elemento directamente a la izquierda y la celda situada directamente a su izquierda. En notación algebraica, (where es el número de fila, empezando por 1, y es el número de columna, nunca superior a f) y

Valores Las ocho primeras filas son:

Los denominadores están enumerados en , mientras que los numeradores son todos unos.

Elementos Los elementos están definidos por la relación de recurrencia

y de forma explícita por

donde es un coeficiente binomial.

Relación con el triángulo de Pascal Mientras que cada elemento del triángulo de Pascal es igual a la suma de los dos inmediatamente superiores, cada elemento del triángulo de Leibniz es igual a la suma de los dos inmediatamente inferiores. Por ejemplo, el elemento 1/30 de la quinta fila es igual a la suma de los dos elementos 1/60 de la sexta fila.

Al igual que el triángulo de Pascal, el de Leibniz también se puede calcular en función de coeficientes binomiales: . Es más, los elementos de este triángulo se pueden calcular directamente a partir de elementos del triángulo de Pascal: «Los elementos de cada fila son iguales al elemento inicial dividido entre los elementos correspondientes del triángulo de Pascal».Wells, David (1986). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p.98. . De hecho, las diagonales están relacionadas con las diagonales correspondientes del triángulo de Pascal: los elementos de la primera diagonal del triángulo de Leibniz son iguales a 1/(1 · los números naturales), los de la segunda diagonal son 1/(2 · los números triangulares), los de la tercera diagonal son 1/(3 · los números tetraédricos), etc.

Además, cada elemento del triángulo armónico es igual al inverso del elemento correspondiente del triángulo de Pascal multiplicado por el inverso de su fila: .

Serie infinita La suma infinita de todos los elementos de cualquier diagonal es igual al primer elemento de la diagonal anterior, es decir, , ya que se puede utilizar la relación de recurrencia para «telescopar» la serie como donde .

Por ejemplo,

Al sustituir la fórmula con los coeficientes, se obtiene la serie infinita ; el primer ejemplo dado aquí apareció por primera vez en la obra de Leibniz alrededor de 1694

Propiedades Si se toman los denominadores de la n-ésima fila y se suman, el resultado es . Por ejemplo, en la tercera fila, los denominadores son 3, 6 y 3, y su suma es 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22.

También se tiene la siguiente igualdad:

Referencias

Categoría:Triángulos de números Categoría:Gottfried Leibniz Leibniz, triángulo