En matemáticas, un politopo cíclico, denotado como C(n,d), es un tipo de politopo convexo formado como la envolvente convexa de n puntos distintos de una curva normal racional en Rd, donde n es mayor que d. Estos politopos fueron estudiados por Constantin Carathéodory, David Gale, Theodore Motzkin, Victor Klee y otros. Desempeñan un papel importante en la combinatoria poliédrica: según el teorema del límite superior, demostrado por Peter McMullen y Richard Stanley, el límite Δ(n,d) del politopo cíclico C (n,d) maximiza el número fi de caras de dimensión i entre todos las esferas simpliciales de dimensión d − 1 con n vértices.

Definición La curva de momentos en está definida por

.

El politopo cíclico de dimensión con vértices es la envolvente convexa

de distintos puntos con en la curva de momentos.

La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices. Su límite es un politopo simplicial (d − 1)-dimensional denotado Δ(n,d).

Condición de uniformidad de Gale La condición de uniformidad de Gale proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una cara en un politopo cíclico.

Sea . Entonces, si y solo si un subconjunto forma una faceta de . Dos elementos cualquiera en están separados por un número par de elementos de en la secuencia .

Politopos vecinos Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos, ya que cada conjunto de como máximo d/2 vértices forma una cara. Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso.. .

Número de caras El número de caras de dimensión i del politopo cíclico Δ(n,d) viene dado por la fórmula

y determinan completamente a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville.

Teorema del límite superior

El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una determinada dimensión y número de vértices: si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces

La conjetura del límite superior para los politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y probada por Peter McMullen en 1970. Victor Klee sugirió que la misma declaración debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido en 1975 por Richard P. Stanley utilizando la noción del anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.

Véase también Álgebra conmutativa combinatoria

Referencias

Categoría:Combinatoria poliédrica