En matemáticas, un orden cíclico es una forma de organizar un conjunto de objetos dispuestos sobre una circunferencia. A diferencia de la mayoría de las estructuras en teoría del orden, un orden cíclico no se modela como una relación binaria habitual del tipo "". Por ejemplo, no se dice que el norte esté situado "más en el sentido de las agujas del reloj" que el sur. En cambio, un orden cíclico se define como una relación ternaria , lo que significa que "después de , se llega a antes de pasar por ". Por ejemplo, de acuerdo con la imagen de la derecha, la terna de meses del año [junio, octubre, febrero] responde a esta definición, pero en cambio la terna formada por [junio, febrero, octubre] no lo hace. Una relación ternaria se denomina orden cíclico si es cíclica, asimétrica, transitiva y conectada. Descartar el requisito de "conectada" da como resultado un orden cíclico parcial.

Un conjunto con un orden cíclico se denomina conjunto ordenado cíclicamente o simplemente ciclo. Algunos ciclos familiares son discretos y solo tienen un número finito de elementos: hay siete días de la semana, cuatro puntos cardinales, doce notas en la escala cromática musical y tres jugadas en piedra, papel o tijera. En un ciclo finito, cada elemento tiene un "elemento siguiente" y un "elemento anterior". También hay ciclos continuamente variables con infinitos elementos, como una circunferencia goniométrica orientada en un plano.

Los órdenes cíclicos están estrechamente relacionados con los órdenes totales más familiares, que organizan objetos en una recta. Cualquier orden lineal se puede doblar en un círculo y cualquier orden cíclico se puede cortar en un punto, lo que da como resultado un orden lineal. Estas operaciones, junto con las construcciones relacionadas de intervalos y mapas de cobertura, significan que las preguntas sobre órdenes cíclicos a menudo se pueden transformar en preguntas sobre órdenes lineales. Los ciclos tienen más simetrías que los órdenes lineales y, a menudo, aparecen naturalmente como residuos de estructuras lineales, como en el caso de los grupo cíclicos o de la recta proyectiva real.

Ciclos finitos

Un orden cíclico en un conjunto con elementos es como una disposición de en la esfera de un reloj, para un reloj de horas. Cada elemento en tiene un "elemento siguiente" y un "elemento anterior", y tomando los ciclos sucesores o predecesores exactamente una vez a través de los elementos, como .

Hay algunas formas equivalentes de enunciar esta definición. Un orden cíclico en es lo mismo que una permutación que convierte todo en un solo ciclo. Un ciclo con elementos es también un -torsor: un conjunto con una acción transitiva libre sobre un grupo cíclico. Otra formulación es convertir en el grafo ciclo estándar en los vértices, mediante el emparejado de los elementos con los vértices.

Puede ser instintivo usar órdenes cíclicos para la función simétrica, como por ejemplo en

donde escribir el monomio final como distraería la atención del proceso.

Un uso sustancial de los órdenes cíclicos es la determinación de los clases de conjugación de los grupos libres. Dos elementos y del grupo libre en un conjunto son conjugados si y solo si, cuando se escriben como productos de los elementos y con en , y luego esos productos se ponen en orden cíclico, los órdenes cíclicos son equivalentes bajo las reglas de reescritura que permiten eliminar o agregar e adyacentes.

Un orden cíclico sobre un conjunto puede ser determinado por un orden lineal sobre , pero no de forma única. Elegir un orden lineal es equivalente a elegir un primer elemento, por lo que existen exactamente órdenes lineales que inducen un orden cíclico dado. Dado que hay órdenes lineales posibles, hay órdenes cíclicos posibles.

Definiciones Un conjunto infinito también se puede ordenar cíclicamente. Ejemplos importantes de ciclos infinitos incluyen la circunferencia goniométrica, y los números racionales, . La idea básica es la misma: se ordenan los elementos del conjunto alrededor de un círculo. Sin embargo, en el caso infinito no se puede confiar en una relación de sucesor inmediato, porque los puntos pueden no tener sucesores. Por ejemplo, dado un punto en la circunferencia unitaria, no hay un "próximo punto". Tampoco se puede confiar en una relación binaria para determinar cuál de los dos puntos viene "primero". Viajando en el sentido de las agujas del reloj en un círculo, ni el este ni el oeste vienen primero, sino que cada uno sigue al otro.

En cambio, se usa una relación ternaria que denota que los elementos , , aparecen uno después del otro (no necesariamente inmediatamente) a medida que se avanza alrededor de la circunferencia. Por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj, [este, sur, oeste]. Por currificación los argumentos de la relación ternaria , se puede pensar en un orden cíclico como una familia de un parámetro de relaciones binarias de orden, llamadas cortes, o como una familia de dos parámetros de subconjuntos de , llamada intervalos.

Relación ternaria La definición general es la siguiente: un orden cíclico sobre un conjunto es una relación , escrita , que satisface los siguientes axiomas: Ciclicidad: Si entonces Asimetría: Si entonces no se cumple que Transitividad: Si y entonces Conectividad: si , y son distintos, entonces o

Los axiomas se nombran por analogía con los axiomas de asimetría, transitividad y conectividad para una relación binaria, que juntos definen un orden total. consideró otras posibles listas de axiomas, incluida una lista que pretendía enfatizar la similitud entre un orden cíclico y una geometría ordenada. Una relación ternaria que satisface los primeros tres axiomas, pero no necesariamente el axioma de totalidad, es un orden cíclico parcial.

Laminación y cortes

Dado un orden lineal sobre un conjunto , el orden cíclico sobre inducido por se define como sigue:;. si y solo si o o

Dos órdenes lineales inducen el mismo orden cíclico si pueden transformarse entre sí mediante un reordenamiento cíclico, como en el corte de un mazo de cartas. Se puede definir una relación de orden cíclico como una relación ternaria inducida por un orden lineal estricto como el anterior.

Cortar un solo punto de un orden cíclico deja atrás un orden lineal. Más precisamente, dado un conjunto ordenado cíclicamente (), cada elemento define un orden lineal natural sobre el resto del conjunto, , por la siguiente regla:;.

si y solo si .

Además, puede extenderse agregando como elemento mínimo; el orden lineal resultante en se denomina corte principal con el elemento mínimo . Asimismo, adjuntar como elemento mayor da como resultado un corte .

Intervalos Dados dos elementos , el intervalo de a , escrito , es el conjunto de todos los tales que . El sistema de intervalos abiertos define completamente el orden cíclico y puede usarse como una definición alternativa de una relación de orden cíclico.

Un intervalo tiene un orden lineal natural dado por . Se pueden definir intervalos semicerrados y cerrados , y adjuntando como elemento menor y/o como elemento mayor. Como caso especial, el intervalo abierto se define como el corte .

Más generalmente, un subconjunto propio S de K se llama convexo si contiene un intervalo entre cada par de puntos: para , o también deben estar en S. Un conjunto convexo está ordenado linealmente por el corte para cualquier que no esté en el conjunto; este orden es independiente de la elección de .

Automorfismos Como una circunferencia tiene un orden en el sentido del reloj y un orden antihorario, cualquier conjunto con un orden cíclico tiene dos sentidos. Una función biyectiva del conjunto que conserva el orden se llama correspondencia ordenada. Si se mantiene el sentido como antes, se trata de una correspondencia directa, en caso contrario se denomina correspondencia opuesta. Coxeter usa una relación de separación para describir el orden cíclico, y esta relación es lo suficientemente fuerte como para distinguir los dos sentidos del orden cíclico. Los automorfismos de un conjunto ordenado cíclicamente pueden identificarse con C2, el grupo de dos elementos de las correspondencias directas y las opuestas.

Funciones monótonas La idea de "orden cíclico = disposición en una circunferencia" funciona porque cualquier subconjunto de un ciclo es en sí mismo un ciclo. Para usar esta idea para imponer órdenes cíclicos en conjuntos que en realidad no son subconjuntos de la circunferencia unitaria en el plano, es necesario considerar una función entre conjuntos.

Una función entre dos conjuntos ordenados cíclicamente, , se llama función monótona o homomorfismo si permite revertir el orden en : siempre que , se tiene que . De manera equivalente, es monótona si cada vez que , y son distintos, entonces . Un ejemplo típico de una función monótona es la siguiente función en un ciclo con 6 elementos:

Una función se llama embebida si es tanto monótona como inyectiva. De manera equivalente, una función embebida es aquella que induce un ordenamiento en : cada vez que , se tiene que . Como ejemplo importante, si es un subconjunto de un conjunto ordenado cíclicamente , y recibe su ordenación natural, entonces la aplicación inclusiva es una aplicación embebida.

Generalmente, una función inyectiva de un conjunto desordenado respecto a un ciclo induce un orden cíclico único en que convierte a en una función embebida.

Funciones en conjuntos finitos Un orden cíclico en un conjunto finito se puede determinar mediante una inyección en la circunferencia unitaria, . Hay muchas funciones posibles que inducen el mismo orden cíclico; de hecho, infinitas. Para cuantificar esta redundancia, se necesita un objeto combinatorio más complejo que un simple número. Examinar el espacio de configuración de todas estas aplicaciones conduce a la definición de un politopo conocido como cicloedro. Los cicloedros se aplicaron por primera vez al estudio de invariante de nudo; se han aplicado más recientemente a la detección experimental de genes expresados periódicamente en el estudio del reloj biológico.

La categoría de homomorfismos de los ciclos finitos estándar se denomina categoría cíclica; puede usarse para construir la homología cíclica de Alain Connes.

Se puede definir un grado de una función entre ciclos, análoga al grado de una aplicación continua. Por ejemplo, la correspondencia natural del círculo de quintas sobre el círculo cromático acústico es una imagen de grado 7. También se puede definir un número de rotación.

Terminación Un corte con un elemento mínimo y un elemento máximo se denomina salto. Por ejemplo, cada corte de un ciclo finito es un salto. Un ciclo sin saltos se llama denso. Un corte sin un elemento mínimo ni un elemento máximo se denomina "brecha". Por ejemplo, los números racionales presentan un salto en cada número irracional. También tienen un espacio en el infinito de acuerdo con el orden habitual. Un ciclo sin intervalos se denomina completo. Un corte con exactamente un punto final se denomina corte principal o de Dedekind. Por ejemplo, cada corte de la circunferencia es un corte principal. Un ciclo en el que cada corte es principal, siendo a la vez denso y completo, se denomina continuo.

El conjunto de todos los cortes está ordenado cíclicamente por la siguiente relación: si y solo si existe tal que: , , y .

Cierto subconjunto de este ciclo de cortes es la terminación de Dedekind del ciclo original.

Otras construcciones Desenrolladores y fundas A partir de un conjunto ordenado cíclicamente, se puede formar un orden lineal desplegándolo sobre una recta infinita. Esto captura la noción intuitiva de llevar la cuenta de cuántas veces se da la vuelta a una circunferencia. Formalmente, se define un orden lineal en el producto cartesiano , donde es el conjunto de los números enteros, fijando un elemento y requiriendo eso para todos los :;

Si , entonces .

Por ejemplo, los meses , , y se suceden en este orden.