En geometría, la notación de poliedros de Conway, inventada por John Horton Conway y promovida por George W. Hart, se usa para describir poliedros basándose en un poliedro semilla modificado mediante distintas operaciones prefijadas.
Conway y Hart ampliaron la idea de utilizar operadores, como el truncamiento definido por Johannes Kepler, para construir poliedros relacionados con la misma simetría. Por ejemplo, representa un cubo truncado y , analizado como , es (topológicamente) un cuboctaedro truncado. El operador más simple, la conjugación intercambia elementos vértices y caras para obterner figuras duales; por ejemplo, el dual de un cubo es un octaedro: . Aplicados en serie, estos operadores permiten generar muchos poliedros de orden superior. Conway definió los operadores (ambo), (bisel), (dual), (expandir), (giro), (unir), (kis), (meta), (orto), (achatar) y (truncar), mientras que Hart agregó (reflejar) y (hélice). En versiones posteriores se nombraron operadores adicionales, a veces denominados operadores extendidos. Las operaciones básicas de Conway son suficientes para generar los sólidos arquimedianos y los sólidos de Catalan a partir de los sólidos platónicos. Algunas operaciones básicas se pueden realizar como compuestos de otras: por ejemplo, el ambo aplicado dos veces es la operación de expansión (), mientras que un truncamiento después del ambo produce un bisel ().
Los poliedros se pueden estudiar topológicamente, en términos de cómo se conectan entre sí sus vértices, aristas y caras, o geométricamente, en términos de la ubicación de esos elementos en el espacio. Diferentes formas de estos operadores pueden generar poliedros que son geométricamente diferentes pero topológicamente equivalentes. Estos poliedros topológicamente equivalentes se pueden considerar como uno de los muchos grafos poliédricos embebidos en la esfera. A menos que se especifique lo contrario, en este artículo (y en la literatura sobre los operadores de Conway en general) la topología fija el criterio principal. Los poliedros con genus 0 (es decir, topológicamente equivalentes a una esfera) a menudo se colocan en forma canónica para evitar ambigüedades.
Operadores En la notación de Conway, los operadores sobre poliedros se aplican como funciones, de derecha a izquierda. Por ejemplo, un cuboctaedro es el ambo de un cubo, (véase la cuarta fila en la tabla, "a=ambo".) es decir, , y un cuboctaedro truncado se representa como . La aplicación repetida de un operador se puede denotar con un exponente: j2 = o. En general, los operadores de Conway no son conmutativos.
Los operadores individuales se pueden visualizar en términos de dominios fundamentales (o recintos), como se muestra a continuación. Cada triángulo rectángulo es un dominio fundamental. Cada recinto blanco es una versión rotada de los demás, al igual que cada recinto de color. Para los operadores quirales, los recintos de colores son un reflejo de los recintos blancos y todos son transitivos. En términos de grupo, los operadores aquirales corresponden a los grupos diédricos donde n es el número de aristas de una cara, mientras que los operadores quirales corresponden a grupos cíclicos que carecen de la simetría reflexiva de los grupos diédricos. Los operadores aquiral y quiral también se denominan operaciones locales que preservan la simetría (LSP) y operaciones locales que preservan las simetrías y que preservan la orientación (LOPSP), respectivamente.
Los LSP deben entenderse como operaciones locales que preservan la simetría, no operaciones que preservan la simetría local. Nuevamente, estas son simetrías en un sentido topológico, no en un sentido geométrico: los ángulos exactos y las longitudes de los bordes pueden diferir.
+ Dominios fundamentales de caras con aristas3 (Triángulo)4 (Cuadrado)5 (Pentágono)6 (Hexágono)Dominios fundamentales de los grupos poliédricos. Los grupos son para poliedros aquirales y para poliedros quirales
Hart introdujo el operador de reflexión r, que da la imagen especular del poliedro. Esto no es estrictamente un LOPSP, ya que no conserva la orientación: la invierte, intercambiando recintos blancos y rojos. r no tiene ningún efecto sobre los poliedros aquirales aparte de la orientación, y rr = S devuelve el poliedro original. Se puede utilizar una línea superior para indicar la otra forma quiral de un operador: = rsr.
Una operación es irreducible si no puede expresarse como una composición de operadores aparte de d y r. La mayoría de los operadores originales de Conway son irreducibles: las excepciones son e, b, o y m.
Representación matricial x xd dx dxd
La relación entre el número de vértices, aristas y caras de la semilla y el poliedro creado por las operaciones enumeradas en este artículo se puede expresar como una matriz . Cuando x es el operador, son los vértices, aristas y caras de la semilla (respectivamente), y son los vértices, aristas y caras del resultado, entonces
.
La matriz de la composición de dos operadores es simplemente el producto de las matrices de los dos operadores. Operadores distintos pueden tener la misma matriz, por ejemplo, p y l. El recuento de aristas del resultado es un múltiplo entero d del de la semilla: esto se denomina tasa de inflación o factor de arista.
Los operadores más simples, la función identidad S y el operador dual d, tienen formas matriciales simples: , Dos operadores duales se cancelan; dd = S, y el cuadrado de es la matriz identidad. Cuando se aplica a otros operadores, el operador dual corresponde a reflexiones horizontales y verticales de la matriz. Los operadores se pueden agrupar en grupos de cuatro (o menos si algunas formas son iguales) identificando los operadores x, xd (un operador de una dualidad), dx (la dualidad de un operador) y dxd (la dualidad de un operador de una dualidad). En este artículo, solo se da la matriz para x, ya que las demás son simples reflexiones.
Números de los operadores El número de LSPs para cada tasa de inflación es a partir de la tasa de inflación 1. Sin embargo, no todos los LSP necesariamente producen un poliedro cuyas aristas y vértices forman un grafo 3 conexo y, como consecuencia del teorema de Steinitz, no necesariamente producen un poliedro convexo a partir de una semilla convexa. El número de LSP de elementos 3-conexos para cada tasa de inflación es .
Operadores originales Estrictamente, Conway no incluyó los operadores semilla ("seed" S), aguja ("niddle" n) y cremallera ("zip" z), aunque están relacionados con las operaciones originales de Conway por dualidad, motivo por el que se incluyen en este artículo.
A partir de aquí, las operaciones se visualizan en semillas de cubo, y se dibujan en la superficie de ese cubo. Las caras azules cruzan los bordes de la semilla y las caras rosadas se encuentran sobre los vértices de la semilla. Existe cierta flexibilidad en la ubicación exacta de los vértices, especialmente con operadores quirales.
+Operadores de Conway originales Factor de arista Matriz x xd dx dxd Notas1 Seed: Sdual: dSeed: dd = SEl operador dual reemplaza cada cara por un vértice y cada vértice por una cara. El politopo original se denomina Seed (semilla). El dual del dual es el politopo original.2 join ("unir"): jambo ("rectificar"): aUnir ("join") crea caras cuadriláteras. La operación "ambo" crea vértices de grado 4, y también se llama rectificación, o el gráfico medial en la teoría de grafos. 3 kis("n-plicado"): kneedle ("aguja"): nzip ("cremallera"): ztruncado: tKis levanta una pirámide en cada cara, y también se le llama akización, kleetopo, acumulación, acreción o aumento piramidal. El truncado corta el poliedro en sus vértices pero deja una porción de los bordes originales. El operador Zip también se denomina bitruncamiento.4 orto: o = jj expansión: e = aa5gyro ("giro"): ggd = rgrsd = rsrOperadores quirales. Véase achatado. Al contrario de lo que establece Hart, gd no es lo mismo que g: es su par quiral.6 meta: m = kj bevel ("bisel"): b = ta
Semillas Cualquier poliedro puede servir como semilla, siempre que sobre él se puedan ejecutar las operaciones. A las semillas comunes se les ha asignado una letra. Los sólidos platónicos están representados por la primera letra de su nombre (Tetraedro, Octaedro, Cubo, Icosaedro, Dodecaedro); los prismas (Pn) para formas n-gonales; antiprismas (An); cupulas (Un); anticúpulas (Vn); y pyrámide (Yn). Cualquier sólido de Johnson puede referenciarse como Jn, para n=1,...,92.
Los cinco sólidos platónicos se pueden generar a partir de generadores prismáticos con entre cero y dos operadores:
Pirámide triangular: Y3 (un tetraedro es una pirámide especial) T = Y3 O = aT (ambotetraedro) C = jT (tetraedro unido) I = sT (tetraedro achatado) D = gT (girotetraedro)
Antiprisma triangular: A3 (un octaedro es un antiprisma especial) O = A3 C = dA3 Prisma cuadrado: P4 (un cubo es un prisma especial) C = P4
Antiprisma pentagonal: A5 I = k5A5 (una bipirámide giroelongada especial) D = t5dA5 (un trapezoedro truncado especial)
Las teselaciones euclídeas regulares también se pueden usar como semillas: Q = Cuadrilla = Teselado cuadrado H = Hextilla = Teselado hexagonal = dΔ Δ = Deltilla = Teselado triangular = dH
Operadores extendidos Estas son operaciones creadas después del conjunto original de Conway. Téngase en cuenta que existen muchos más operadores de los que se han nombrado. El hecho de que un operador no esté aquí no significa que no exista (o que no sea un LSP o LOPSP). Para simplificar, solo se han incluido los operadores irreducibles en esta lista: se pueden crear más componiendo otros operadores.
+ Operadores extendidos irreducibles Factor de arista Matriz x xd dx dxd Notas4chaflán: ccd= du dc= udsubdivisión: uChaflán es la forma conjunta de l ("desván"). Véase chaflán.5propeller ("hélice"): pdp= pddpd= pOperadores quirales. El operador propeller ("hélice") fue desarrollado por George Hart.5loft: ("desván") lld dldld6quinto: qqd dqdqd6join-Lace: ("encaje") L0L0ddL0dL0dConsúltese la explicación de la notación de combinación que figura a continuación.7Lace: (cordón) LLd dLdLd7staKe: ("poste") KKd dKdKd7whirl: ("remolino") wwd= dvvd= dwvolute: ("voluta") vOperadores quirales 8Join-kis-kis: ("unión-nplicado-nplicado") En ocasiones denotado como J. Consúltese la explicación de la notación de combinación que figura a continuación. La forma de no unión, kk, no es irreducible.10cross: ("cruz") XXd dXdXd
Operadores extendidos indexados Se pueden agrupar varios operadores según algún criterio determinado, o bien se puede modificar su comportamiento mediante un índice. Se escriben como un operador con un subíndice: xn.
Aumentado Las operaciones de aumentado conservan las aristas originales. Se pueden aplicar a cualquier subconjunto independiente de caras, o se pueden convertir en una forma de unión eliminando las aristas originales. La notación de Conway admite un índice opcional para estos operadores: 0 para la forma de unión, o 3 o más por las aristas que tienen las caras afectadas. Por ejemplo, k4Y4=O: tomando una pirámide de base cuadrada y pegando otra pirámide a la base cuadrada se obtiene un octaedro. OperadorklLK(kk)xx0AumentadoPirámidePrismaAntiprisma
El operador truncado t también tiene una forma de índice tn, lo que indica que solo se truncan los vértices de cierto grado. Es equivalente a dknd.
Algunos de los operadores extendidos se pueden crear en casos especiales con los operadores kn y tn. Por ejemplo, un cubo achaflanado, cC, se puede construir como t4daC, como un rombododecaedro, daC o jC, con sus vértices de grado 4 truncado. Un cubo alabeado, lC es lo mismo que t4kC. Un quinto-dodecaedro, qD se puede construir como t5daaD o t5deD o t5oD, un hexecontaedro deltoidal, deD o oD, con sus vértices de grado 5 truncados.
Meta/bisel