En geometría, un grupo poliédrico (o también grupo poliedral) es cualquiera de los grupos de simetría correspondiente a alguno de los sólidos platónicos.
Grupos Hay tres grupos poliédricos: El grupo tetraédrico de orden 12, el grupo de simetría rotacional del tetraedro regular. Es isomorfo a A4. Los conjugados de T son: La identidad 4 × rotación de 120°, orden 3, en sentido horario 4 × rotación de 120°, orden 3, en sentido antihorario 3 × rotación de 180°, orden 2 El grupo octaédrico de orden 24, grupo de simetría rotacional del cubo y el octaedro regular. Es isomorfo a S4. Las clases de conjugación de O son: La identidad 6 × rotación de ±90° alrededor de los vértices, orden 4 8 × rotación de ±120° alrededor de los centros de los triángulos, orden 3 3 × rotación de 180° alrededor de los vértices, orden 2 6 × rotación de 180° alrededor de los puntos medios de las aristas, orden 2 El grupo icosaédrico de orden 60, grupo de simetría rotacional del dodecaedro regular y el icosaedro regular. Es isomorfo a A5. Las clases de conjugación de I son: La identidad 12 × rotación de ±72°, orden 5 12 × rotación de ±144°, orden 5 20 × rotación de ±120°, orden 3 15 × rotación de 180°, orden 2
Estas simetrías se duplican a 24, 48 y 120 respectivamente para los grupos reflexivos completos. Las simetrías de reflexión tienen 6, 9 y 15 planos de reflexión respectivamente. La simetría octaédrica, [4,3] puede verse como la unión de 6 planos de reflexión de simetría tetraédrica [3,3] con 3 otros planos de reflexión del grupo diédrico Dih2, [2,2]. La simetría tetraédrica es otra duplicación de la simetría tetraédrica.
Las clases de conjugación de la simetría tetraédrica completa, Td≅S4, son: La identidad 8 × rotación de 120° 3 × rotación de 180° 6 × reflexión en un plano a través de dos ejes de rotación 6 × rotorreflexión de 90°
Las clases de conjugación de simetría piritoédrica, Th, incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas, y cada una con inversión: La identidad 8 × rotación de 120° 3 × rotación de 180° La inversión 8 × rotorreflexión 60° 3 × reflexión en un plano
Las clases de conjugación del grupo octaédrico completo, Oh≅S4 × C2, son: La inversión 6 × rotorreflexión de 90° 8 × rotorreflexión de 60° 3 × reflexión en un plano perpendicular a un eje cuádruple 6 × reflexión en un plano perpendicular a un eje doble
Las clases de conjugación de simetría icosaédrica completa, Ih≅A5 × C2, incluyen también cada una con su inversión: La inversión 12 × rotorreflexión de 108°, orden 10 12 × rotorreflexión de 36°, orden 10 20 × rotorreflexión de 60°, orden 6 15 × reflexión, orden 2
Grupos poliédricos quirales
+ Grupos poliédricos quiralesNombre(Orb.)Notaciónde CoxeterOrdenEstructuraabstractaPuntos derotación#valenciaDiagramasOrtogonalEstereográficoT(332)[3,3]+12A443 32Th(3*2)[4,3+]24A4×2433*2O(432)[4,3]+24S4344362I(532)[5,3]+60A565103152
Grupos poliédricos completos + Grupos poliédricos completosWeylSchoe.(Orb.)Notaciónde CoxeterOrdenEstructuraabstractaNúmerode Coxeter(h)Planos especulares(m)Diagramas especularesOrtogonalEstereográficoA3Td(*332)[3,3]24S446B3Oh(*432)[4,3]48S4×2836H3Ih(*532)[5,3]120A5×21015
Véase también Símbolo de Wythoff Anexo:Grupos de simetría esférica
Referencias
Bibliografía Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3ra ed. Nueva York: Dover, 1973. ("The Polyhedral Groups". §3.5, pp. 46–47)
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