En topología diferencial, un área de las matemáticas, el teorema de la signatura de Hirzebruch (a veces llamado teorema del índice de Hirzebruch) es el resultado de Friedrich Hirzebruch de 1954 que expresa la signatura de una variedad orientada cerrada y lisa mediante una combinación lineal de número de Pontryagin llamada el L-género.
Se utilizó en la demostración del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch. Enunciado del teorema El género L es el género de la sucesión multiplicativa de polinomios asociada a la serie de potencias característica
Los dos primeros de los polinomios L resultantes son:
Tomando para el las clases de Pontryagin del haz de tangentes de una 4n dimensional suave orientada cerrada se obtienen las clases L de M.
Hirzebruch demostró que la n-ésima clase L de M evaluada en la clase fundamental de M, , es igual a , la signatura de M, es decir, la signatura de la forma de intersección en el grupo de cohomología 2n de M:
Esquema de la prueba del teorema de la signatura René Thom había demostrado anteriormente que la signatura estaba dada por alguna combinación lineal de número de Pontryagin, e Hirzebruch encontró la fórmula exacta de esta combinación lineal introduciendo la noción de género de una secuencia multiplicativa.
Dado que el anillo racional cobordismo orientado es igual a
el álgebra polinómica generada por las clases de cobordismo orientado de los espacios proyectivos complejos pares, basta con comprobar que
para todo i. Generalizaciones El teorema de la signatura es un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer para el operador de signatura.
El índice analítico del operador de signatura es igual a la signatura de la variedad, y su índice topológico es el género L de la variedad. Por el teorema del índice de Atiyah-Singer estos son iguales.
Referencias
Bibliografía F. Hirzebruch, The Signature Theorem. Reminiscences and recreation. Prospects in Mathematics, Annals of Mathematics Studies, Band 70, 1971, S. 3–31.
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