El caos cuántico es una rama de la física que estudia cómo la caótica de los sistemas dinámicos clásicos pueden describirse en términos de la teoría cuántica. La pregunta principal que el caos cuántico busca responder es: «¿Cuál es la relación entre la mecánica cuántica y el Teoría del caos?». El principio de correspondencia establece que la mecánica clásica es el límite clásico de la mecánica cuántica, específicamente en el límite como la relación de la constante de Planck a la acción del sistema tiende a cero. Si esto es cierto, entonces debe haber mecanismos cuánticos subyacentes al caos clásico (aunque esta puede no ser una forma fructífera de examinar el caos clásico). Si la mecánica cuántica no demuestra una sensibilidad exponencial a las condiciones iniciales, ¿cómo puede surgir una sensibilidad exponencial a las condiciones iniciales en el caos clásico, que debe ser el límite del principio de correspondencia de la mecánica cuántica?Quantum Firmas del caos, Fritz Haake, Edición: 2, Springer, 2001, , .Michael Berry, "Quantum Chaology", pp 104-5 de Quantum: una guía para perplejos por Jim Al-Khalili (Weidenfeld y Nicolson 2003), http://www.physics.bristol.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry358.pdf .
Al tratar de abordar la cuestión básica del caos cuántico se han empleado varios enfoques: Desarrollo de métodos para resolver problemas cuánticos donde la perturbación no puede considerarse pequeña en la teoría de la perturbación y donde los números cuánticos son grandes. Correlacionar descripciones estadísticas de valores propios (niveles de energía) con el comportamiento clásico del mismo Hamiltoniano (sistema). Métodos semiclásicos como la teoría de la órbita periódica que conecta las trayectorias clásicas del sistema dinámico con características cuánticas. Aplicación directa del principio de correspondencia.
Historia 300px|left|thumb|Espectros de recurrencia experimentales de litio en un campo eléctrico que muestran el nacimiento de recurrencias cuánticas correspondientes a la bifurcaciones de órbitas clásicas.Bifurcaciones de órbita cerrada en continuo Stark Spectra, M Courtney, H Jiao, N Spellmeyer, D Kleppner, J Gao, JB Delos, Phys. Rev. Lett. 27, 1538 (1995).
Durante la primera mitad del se reconoció el comportamiento caótico en la mecánica (como en el problema de los tres cuerpos en la mecánica celeste), pero no se entendió bien. Los cimientos de la mecánica cuántica moderna se sentaron en ese período, dejando esencialmente de lado el tema de la correspondencia cuántica-clásica en sistemas cuyo límite clásico presenta caos.
Enfoques miniaturadeimagen|Comparación de los espectros de recurrencia experimental y teórico del litio en un campo eléctrico a una energía .Classical, semiclassical, and quantum dynamics of lithium in an electric field, M Courtney, N Spellmeyer, H Jiao, D Kleppner, Phys Rev A 51, 3604 (1995). Las preguntas relacionadas con el principio de correspondencia surgen en muchas ramas diferentes de la física, que van desde la nuclear a la atómica, molecular y sólida-estado físico, e incluso a acústica, microondass y óptica. Sin embargo, la correspondencia clásica-cuántica en la teoría del caos no siempre es posible. Por lo tanto, algunas versiones del efecto mariposa clásico no tienen equivalentes en la mecánica cuántica.
Las observaciones importantes a menudo asociadas con los sistemas cuánticos caóticos clásicos son la repulsión de nivel espectral, la localización dinámica en la evolución del tiempo (por ejemplo, las tasas de ionización de los átomos) y las intensidades de onda estacionarias mejoradas en regiones del espacio donde la dinámica clásica exhibe solo trayectorias inestables (como en dispersión). En el enfoque semiclásico del caos cuántico, los fenómenos se identifican en espectroscopia analizando la distribución estadística de líneas espectrales y conectando periodicidades espectrales con órbitas clásicas. Otros fenómenos aparecen en la evolución temporal de un sistema cuántico, o en su respuesta a varios tipos de fuerzas externas. En algunos contextos, como la acústica o las microondas, los patrones de onda son directamente observables y exhiben distribuciones de amplitud irregulares.
El caos cuántico generalmente trata con sistemas cuyas propiedades deben calcularse utilizando técnicas numéricas o esquemas de aproximación (ver, por ejemplo, Serie Dyson). Las soluciones simples y exactas quedan excluidas por el hecho de que los constituyentes del sistema se influyen entre sí de manera compleja o dependen de fuerzas externas que varían temporalmente.
Mecánica cuántica en regímenes no perturbativos 300px|left|thumb|Espectros de nivel de energía calculados regulares (no caóticos) átomo de Rydberg de hidrógeno en un campo eléctrico cerca de n=15. Tenga en cuenta que los niveles de energía pueden cruzarse debido a las simetrías subyacentes del movimiento dinámico.Dinámica clásica, semiclásica y cuántica del litio en un campo eléctrico, M Courtney, N Spellmeyer, H Jiao, D Kleppner, Phys Rev A 51, 3604 (1995). 300px|left|thumb|Caótico calculado átomo de Rydberg espectros de nivel de energía de litio en un campo eléctrico cerca de n=15. Tenga en cuenta que los niveles de energía no pueden cruzarse debido a que el núcleo iónico (y el defecto cuántico resultante) rompe las simetrías del movimiento dinámico. Para sistemas conservativos, el objetivo de la mecánica cuántica en regímenes no perturbativos es encontrar los valores propios y los vectores propios de un hamiltoniano de la forma H = H_s + \varepsilon H_{ns} donde es separable en algún sistema de coordenadas, no es separable en el sistema de coordenadas en el que está separado , y es un parámetro que no puede considerarse pequeño. Históricamente, los físicos han abordado problemas de esta naturaleza tratando de encontrar el sistema de coordenadas en el que el hamiltoniano no separable es más pequeño y luego tratando el hamiltoniano no separable como una perturbación.
Encontrar constantes de movimiento para que se pueda realizar esta separación puede ser una tarea analítica difícil (a veces imposible). Resolver el problema clásico puede brindar información valiosa para resolver el problema cuántico. Si hay soluciones clásicas regulares del mismo hamiltoniano, entonces hay (al menos) constantes de movimiento aproximadas, y al resolver el problema clásico, obtenemos pistas sobre cómo encontrarlas.
En los últimos años se han desarrollado otros enfoques. Una es expresar el hamiltoniano en diferentes sistemas de coordenadas en diferentes regiones del espacio, minimizando la parte no separable del hamiltoniano en cada región. Las funciones de onda se obtienen en estas regiones y los valores propios se obtienen haciendo coincidir las condiciones de contorno.
Otro enfoque es la diagonalización de matrices numéricas. Si la matriz hamiltoniana se calcula en cualquier base completa, los valores propios y los vectores propios se obtienen diagonalizando la matriz. Sin embargo, todos los conjuntos de bases completos son infinitos y necesitamos truncar la base y aun así obtener resultados precisos. Estas técnicas se reducen a elegir una base truncada a partir de la cual se pueden construir funciones de onda precisas. El tiempo computacional requerido para diagonalizar una matriz se escala como , donde es la dimensión de la matriz, por lo que es importante elegir la base más pequeña posible a partir de la cual se pueden construirse funciones de onda relevantes. También es conveniente elegir una base en la que la matriz es escaso y/o los elementos de la matriz están dados por expresiones algebraicas simples porque calcular los elementos de la matriz también puede ser una carga computacional.
Un hamiltoniano dado comparte las mismas constantes de movimiento tanto para el clásico como para el cuántico. Los sistemas cuánticos también pueden tener números cuánticos adicionales correspondientes a simetrías discretas (como la conservación de la paridad a partir de la simetría de reflexión). Sin embargo, si simplemente encontramos soluciones cuánticas de un hamiltoniano que no es abordable por la teoría de la perturbación, podemos aprender mucho sobre las soluciones cuánticas, pero hemos aprendido poco sobre el caos cuántico. Sin embargo, aprender a resolver tales problemas cuánticos es una parte importante para responder a la pregunta del caos cuántico.
Correlacionando las descripciones estadísticas de la mecánica cuántica con el comportamiento clásico
Las medidas estadísticas del caos cuántico nacieron del deseo de cuantificar las características espectrales de los sistemas complejos. La teoría de la matriz aleatoria se desarrolló en un intento de caracterizar espectros de núcleos complejos. El notable resultado es que las propiedades estadísticas de muchos sistemas con hamiltonianos desconocidos se pueden predecir utilizando matrices aleatorias de la propiedad clase de simetría. Además, la teoría de matrices aleatorias también predice correctamente las propiedades estadísticas de los valores propios de muchos sistemas caóticos con hamiltonianos conocidos. Esto lo hace útil como herramienta para caracterizar espectros que requieren grandes esfuerzos numéricos para calcular.
Hay varias medidas estadísticas disponibles para cuantificar características espectrales de forma sencilla. Es de gran interés si existen o no comportamientos estadísticos universales de los sistemas caóticos clásicos. Las pruebas estadísticas mencionadas aquí son universales, al menos para sistemas con pocos grados de libertad (Berry y TaborMV Berry y M. Tabor, Proc. Roy. Soc. London A 356, 375, 1977 han presentado sólidos argumentos a favor de una distribución de Poisson en el caso de movimiento regular y Heusler et al.Heusler, S., S. Müller, A. Altland, P. Braun y F. Haake, 2007, Phys. Rev. Lett. 98, 044103 presentan una explicación semiclásica de las denominadas Bohigas, Conjetura de Giannoni-Schmit que afirma la universalidad de las fluctuaciones espectrales en la dinámica caótica). La distribución del vecino más cercano (NND) de los niveles de energía es relativamente simple de interpretar y se ha utilizado ampliamente para describir el caos cuántico.
Las observaciones cualitativas de las repulsiones de nivel se pueden cuantificar y relacionar con la dinámica clásica utilizando el NND, que se cree que es una firma importante de la dinámica clásica en los sistemas cuánticos. Se cree que la dinámica clásica regular se manifiesta por una distribución de Poisson de niveles de energía: P(s) = e^{-s}.
Además, se espera que los sistemas que muestran un movimiento clásico caótico se caractericen mediante las estadísticas de conjuntos de valores propios de matrices aleatorias. Para sistemas invariantes bajo inversión de tiempo, se ha demostrado que las estadísticas de nivel de energía de varios sistemas caóticos concuerdan con las predicciones del conjunto ortogonal gaussiano (GOE) de matrices aleatorias, y se ha sugerido que este fenómeno es genérico para todos los sistemas caóticos con esta simetría. Si la separación normalizada entre dos niveles de energía es , la distribución normalizada de separaciones se aproxima bien mediante P(s) = \frac{\pi}{2}se^{-\pi s^2/4}.