En matemáticas, el segundo teorema de Minkowski es un resultado en la geometría de los números sobre los valores tomados por una norma en un látice y el volumen de su célula fundamental.
Contexto Sea un cuerpo cerrado convexo centralmente simétrico de volumen positivo y finito en un espacio Euclídeo n-dimensional ℝn. El gaugeSiegel (1989) p.6 o funcional de Minkowski de distanciaCassels (1957) p.154Cassels (1971) p.103 g respecto a K está definido por
Conversamente, dada una norma en ℝn, definimos como
Sea un látice, o enrejado en ℝn. Los mínimos sucesivos de K o en Γ están definidos dejanto que el k-ésimo mínimo sucesivo sea el ínfimo de los números λ tal que contiene k vectores linearmente independientes de . Tenemos .
Enunciado Los mínimos sucesivos satisfacen lo siguienteCassels (1957) p.156Cassels (1971) p.203Siegel (1989) p.57
Prueba Una base de vectores linearmente independientes del enrejado b1 , b2 , ... bn puede ser definida por g(bj) = λj .
La cuota inferior se demuestra considerando el politopo convexo 2n con vértices en ±bj/ λj , el cual tiene un interior contenido en y un volumen que es /n!λ1 λ2...λn veces un múltiplo entero de una célula primitiva del enrejado (lo cual puede verse escalando el politopo por un factor λj en la dirección de cada vector base para obtener 2n n-simplejos con vectores en el enrejado).
Para probar la cuota superior, consideremos las funciones que envían puntos en al centroide del subconjunto de puntos en que puede ser escrito como para algunos números reales . Entonces, la transformaciónd de coordenadas tiene un determinante jacobiano . Si y están en el interior de y (con ), entonces con , donde la inclusión en (específicamente el interior de ) se debe a convexidad y simetría. Pero los puntos de enrejado en el interior de son, por definición de , siempre expresables como combinación lineal de , así que cualesquiera dos puntos distintos de , estos no pueden ser separados por un vector del enrejado. Por tanto, tiene que estar encerrado en una célula primitiva del enrejado (la cual tiene volumen ), y por consiguiente .
Referencias
Bibliografía
Categoría:Hermann Minkowski Categoría:Geometría de números