thumb|300px|Construcción del jardinero de una elipse mediante una cuerda atada a unas estaquillas situadas en sus dos focos
Un elipsógrafo es un instrumento mecánico que permite trazar elipses con un movimiento continuo. Además de la herramienta muy simple que es la cuerda del jardinero, entre los elipsógrafos se distinguen los sistemas articulados planos llamados trameles y los sistemas tridimensionales como los compases perfectos. Muchos matemáticos han dado su nombre a un elipsógrafo que se vale de alguna propiedad particular de las elipses.
Como herramientas, algunos diseños como el mecanismo de Arquímedes permiten cortar o mecanizar elipses en madera u otros materiales laminados utilizando el instrumento apropiado, como una cuchilla o rebajadora unidos a la varilla. Por lo general, es posible ajustar las distancias que definen la elipse, de modo que se puede variar su tamaño y su forma.
Sistemas articulados Elipsógrafo de Arquímedes left|thumb|Elipsógrafo de Arquímedes en acción thumb|Elipsógrafo de Arquímedes. Versión de Gastón Tissandier (1896). La regla (marrón claro) está ahuecada y provista de una punta trazadora en A. En la corredera B, dos tornillos C y D pueden deslizarse para fijarlos en la posición deseada. Las distancias AC y AD son los semiejes de la elipse. El dispositivo permite dibujar una cuarta parte de la elipse buscada, cuando se hace que los dos tornillos C y D se desplacen apoyados sobre la escuadra fija (regla amarilla) mini|left|200px|Elipsógrafo de madera (hacia 1900), conservado en los archivos de la Institución Smithsoniana mini|Elipsógrafo de bronce exhibido en el Museo de Historia de la Ciencia de la Ciudad de Ginebra
Según Dominique Raynaud, la atribución de este elipsógrafo a Arquímedes es infundada. En ocasiones se le atribuye a Proclo, porque este geómetra griego cita la propiedad utilizada en su comentario de Euclides. Su construcción por el marqués de L'Hôpital está atestiguada en 1707: el Museo Galileo de Florencia posee un ejemplar datado en esta fecha.
Este elipsógrafo se basa en la siguiente propiedad: si se considera un segmento [AD] de longitud a y un punto C sobre el segmento [AD] tales que AC=b, el lugar geométrico de los puntos A cuando los puntos C y D se mueven respectivamente sobre dos rectas perpendiculares es una elipse de semiejes a y b.
En efecto, si se denomina θ al ángulo , las coordenadas (x,y) del punto A cumplen las condiciones:
que definen la ecuación parametrizada de una elipse.
Los ejes no tienen por qué ser perpendiculares para dibujar una elipse.
A medida que las lanzaderas se mueven de un lado a otro, cada una en su canal, todos los puntos de la barra se mueven en trayectorias elípticas. El movimiento de la barra se denomina movimiento elíptico. Los semiejes a y b de las elipses tienen longitudes iguales a las distancias desde el punto de la barra hasta cada uno de los dos pivotes.
Las rectas descritas por los pivotes son casos especiales de una elipse, en los que la longitud de un eje es el doble de la distancia entre los pivotes y la del otro es cero. Todos los puntos en un círculo con un diámetro definido por los dos pivotes se mueven alternativamente en tales líneas rectas. Este círculo corresponde al círculo más pequeño en un Acople Tusi.
El punto a mitad de camino entre los pivotes orbita en un círculo alrededor del punto donde se cruzan los canales. Este círculo es también un caso especial de elipse. Aquí los ejes son de igual longitud. El diámetro del círculo es igual a la distancia entre los pivotes. La dirección de viaje alrededor de la órbita es opuesta al sentido de rotación del mecanismo. Por lo tanto, si se usa una manivela centrada en el punto de cruce de los canales para impulsar la barra, la rotación de la muñequilla y la barra son iguales y opuestas, lo que en aplicaciones prácticas resulta en una fricción adicional. Esto se ve agravado por las altas fuerzas debidas al recorrido corto de la manivela de solo 1/4 del recorrido de los pivotes.
Es un ejemplo de un mecanismo de cuatro barras con dos deslizaderas y dos pivotes, un caso especial del mecanismo oblicuo más general. Como ya se ha indicado, los ejes que limitan los pivotes no tienen por qué ser perpendiculares y los puntos A, B y C pueden formar un triángulo, y el lugar geométrico resultante de C sigue siendo una elipse.
Gastón Tissandier ideó una versión simple de tal elipsógrafo:Gaston Tissandier, Nouvelles recettes utiles et appareils pratiques, Masson, 1896, p 95. todo lo que se necesita es un simple cuadrado y una regla en la que se ha practicado una ranura (B); la regla está equipada con una punta (A) y dos tornillos deslizantes (C y D). Se colocan los tornillos de manera que AC=b y AD=a, luego se gira la regla para que los tornillos queden siempre en contacto con los lados del cuadrado, y la punta con el trazador dibuja entonces la elipse de semiejes a y b, después de repetir la operación cuatro veces con la regla (una para cada arco).
mini|left|Principio del círculo elipsográfico de Rohn
La realización práctica de elipses por este método tiene dos inconvenientes: El sistema de guiado de los puntos C y D genera imprecisiones que pueden conducir a un trazado inexacto. Este mismo sistema de guiado corre el riesgo de bloquear el dibujo de la elipse con el lápiz, forzar el dibujo de la elipse a trozos, o incluso impedir cualquier dibujo en el caso de elipses muy estrechas.
mini|Círculo elipsográfico de Rohn (realización)
Por eso, sobre el mismo principio, se han construido elipsógrafos donde los puntos C y D se mantienen sobre los ejes indirectamente: los puntos en cuestión se convierten en los centros de círculos del mismo radio guiados por un marco externo. Uno de los círculos está limitado por los dos lados opuestos de un cuadrado, mientras que el otro círculo está limitado por los otros dos lados. El centro de uno de los círculos, por lo tanto, evoluciona sobre una mediana del cuadrado mientras que el otro evoluciona sobre la otra mediana. Los dos círculos comparten el mismo diámetro (estriado) y se fijan mediante tuercas para que la distancia entre los centros sea constante. Así, para dibujar una elipse con semiejes mayores a y b (inferior al medio lado del marco), basta con colocar el palpador a una distancia del centro de uno de los círculos, y el segundo círculo se coloca fijado de tal manera que la distancia desde su centro hasta el trazador sea igual a .
Sobre este modelo se construyen el elipsógrafo de Farey,, p. 52-IA1 el Ellipsenzirkel de Karl Rohn, Série XXXII p.88 (104) para la descripción y el principio y p. 152 (166) para la ilustración y el elipsógrafo HAFF.
Otra técnica para fijar la posición de los puntos en los ejes del marco consiste en utilizar el acople Tusi (o par de al-Tusi) haciendo rodar un círculo de radio R dentro de un círculo de radio 2R. Entonces, cualquier punto vinculado al círculo pequeño describe una elipse. Uno de esos modelos está en exhibición en Museo de la Ciencia de Múnich.
Elipsógrafos de van Schooten Frans van Schooten, matemático holandés del , dedicó un libro entero a la construcción de secciones cónicas, De Organica Conicarum Sectionum (1646). Retomó el principio expuesto por Proclo para generalizarlo a cualquier punto de la recta y propuso un sistema articulado. También ideó otros dos mecanismos en forma de antiparalelogramo y rombo.
Versión del mecanismo de Arquímedes thumb|Principio del elipsógrafo de Van Schooten
El principio completa al de Arquímedes: si se considera un segmento [AB] de longitud a+b y un punto M sobre el segmento [AB] tal que AM=b, el lugar geométrico de los puntos M cuando los puntos A y B se mueven respectivamente sobre dos rectas perpendiculares es una elipse de semiejes a y b.
En efecto, si el punto M tiene coordenadas (x,y), el teorema de Pitágoras asegura que
es decir
Sin embargo, según el teorema de Thales,
Entonces
Es la ecuación característica de la elipse de centro O y semiejes a y b. Esto asegura que el punto M está en efecto en esta elipse.
Por el contrario, si M es un punto de la elipse, si se denomina B al punto situado sobre el eje de ordenadas, en el mismo cuadrante que M, y tal que BM=a, y si A es el punto de intersección de (BM) y el eje de abscisas, se demuestra fácilmente, por un razonamiento análogo al anterior, que MA=b
El elipsógrafo de Van Schooten simplifica el proceso al considerar un sistema articulado OIA en el que
El punto O es fijo, el punto A se mueve en línea recta y arrastra a los puntos I y M.
Elipsógrafo con un antiparalelogramo thumb|Principio del elipsógrafo con un antiparalelogramo thumb|Elipsógrafo con un antiparalelogramo (animación)
Este elipsógrafo, el segundo presentado por van Schooten, utiliza un polígono articulado, un antiparalelogramo que consiste en un cuadrilátero con dos de sus lados opuestos cruzados F1ABF2, y cuyos lados son iguales dos a dos. Para dibujar la elipse de eje mayor 2a y cuya distancia entre los focos es 2c, basta tomar
Los vértices F1 y F2 están fijos en los focos de la elipse. Cuando la rama F1A gira alrededor de F1, la rama BF2 gira alrededor de F2 y el antiparalelogramo se deforma. El punto de intersección M de las dos ramas atraviesa entonces la elipse buscada. De hecho, las propiedades de simetría del antiparalelogramo aseguran que
y que
Entonces
Esta es la definición bifocale de la elipse, también utilizada en el método del jardinero.
Elipsógrafo con un círculo directriz thumb|left|Elipsógrafo de van Schooten (1646) thumb|Principio del elipsógrafo con un círculo directriz
Este elipsógrafo utiliza un rombo articulado de cualquier tamaño ABCF2, equipado con una varilla deslizante [AC) y una barra F1B de longitud 2a. Los puntos F1 y F2 están fijos en los focos de la elipse que se quiere trazar y la barra F1B que pivota alrededor de F1 arrastra al rombo que se deforma. Las barras F1B y AC se encuentran en M, que describe la elipse con focos F1 y F2 y eje mayor 2a.
En efecto, este mecanismo permite determinar, para cada posición de B sobre la circunferencia directriz de la elipse, el centro de la circunferencia que pasa por F2 y es tangente a la circunferencia directriz en B: este centro está situado en la bisectriz perpendicular de [BF2] que resulta ser la diagonal (AC), y sobre el segmento F1B. El centro de este círculo es efectivamente el punto M. Sin embargo, se sabe que el conjunto de estos centros dibuja la elipse deseada (véase construcción de la elipse mediante un círculo directriz).
Esta herramienta también permite especificar en cada punto la posición de la tangente a la elipse materializada aquí por la línea recta (AC). De hecho, la propiedad de reflexividad de la elipse asegura que la tangente es la bisectriz exterior del ángulo F1MF2. En consecuencia, la recta (AC), eje de simetría del rombo, es la bisectriz del ángulo BMF2, y por lo tanto, la bisectriz exterior del ángulo F1MF2.
Van Schooten demuestra cómo se puede utilizar este instrumento para dibujar elipses, pero también para trazar hipérbolas y parábolas.
Elipsógrafo de Delaunay thumb|Principio del elipsógrafo de Delaunay
El elipsógrafo de Delaunay, descrito por el físico y matemático ruso Nikolái Delaunay en 1895, utiliza un sistema articulado que permite construir la imagen de una figura por una afinidad, o bien, lo que es equivalente, la imagen de una figura por proyección de un plano en otro plano.
En la figura opuesta, los puntos A y B se deslizan hacia la derecha (d). Los brazos MA y MB tienen la misma longitud y CMDM' es un diamante articulado. El punto M' es entonces la imagen del punto M en la afinidad ortogonal del eje (d) y con relación
En efecto, la recta (MM') corta ortogonalmente al eje (d) en H y la presencia de triángulos semejantes permite establecer la siguiente igualdad de razones:
o también