En matemáticas, un conjunto multibrot es el conjunto de valores en el plano complejo cuyo valor absoluto permanece por debajo de algún valor finito en las iteraciones de un miembro de la familia general de los polinomios mónicos de una variable recursivos. El nombre es una palabra catalejo formada a partir de los términos "múltiple" y "conjunto de Mandelbrot". El mismo principio se puede aplicar al conjunto de Julia para obtener el conjunto multijulia.
donde "d" ≥ 2. El exponente d puede generalizarse aún más a valores negativos y fraccionarios.
Ejemplos
El caso de
es el conjunto de Mandelbrot clásico del que se deriva el nombre del conjunto
Los conjuntos para otros valores de d también muestran imágenes fractales cuando se trazan en el plano complejo.
Cada uno de los ejemplos de distintas potencias d que se muestran a continuación se representan en la misma escala. Los valores de c pertenecientes al conjunto re representan en color negro. Los valores de c que tienen un valor ilimitado bajo el procedimiento recursivo, y por lo tanto no pertenecen al conjunto, se trazan en diferentes colores, que se muestran como contornos, dependiendo del número de recursiones que causaron que un valor exceda una magnitud fija en el algoritmo de tiempo de escape.
Potencias positivas
El ejemplo es el conjunto original de Mandelbrot. Los ejemplos de a menudo se denominan "conjuntos multibrot". Estos conjuntos incluyen el origen y poseen perímetros fractales, con simetría rotacional de .
Potencias negativas Cuando d es negativo, el conjunto rodea pero no incluye el origen. Hay un comportamiento complejo interesante en los contornos entre el conjunto y el origen, en un área en forma de estrella con simetría rotacional de . Los conjuntos parecen tener un perímetro circular, sin embargo, esto es solo un efecto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de tiempo de escape, y no es un límite de los conjuntos, que realmente se extienden en todas las direcciones hasta el infinito.
Potencias fraccionarias
El aspecto de algunos conjuntos multibrot con exponente fraccionario se muestra en la imagen de la derecha.
Renderizado en el exponente Un método alternativo es representar el exponente en el eje vertical. Esto requiere fijar el valor real o imaginario y representar el valor restante en el eje horizontal. El conjunto resultante se eleva verticalmente desde el origen en una columna estrecha hasta el infinito. La ampliación revela una complejidad creciente. La primera protuberancia o pico prominente se ve en un exponente de 2, la ubicación del conjunto tradicional de Mandelbrot en su sección transversal. La tercera imagen se representa en un plano que se fija en un ángulo de 45 grados entre los ejes real e imaginario. Fractal Generator, "Multibrot Slice"
Representación de imágenes
Todas las imágenes anteriores se renderizan mediante un algoritmo de Tiempo de Escape que identifica puntos fuera del conjunto de forma sencilla. Se revela un detalle fractal mucho mayor al trazar el exponente de Lyapunov, como se muestra en el siguiente ejemplo. El exponente de Lyapunov es la tasa de crecimiento del error de una secuencia dada. Primero, calcular la secuencia de iteración con N iteraciones, y luego calcular el exponente como
y si el exponente es negativo, la secuencia es estable. Los píxeles blancos en la imagen son los parámetros c para los cuales el exponente es positivo, también conocido como inestable. Los colores muestran los períodos de los ciclos que atraen las órbitas. Todos los puntos de color azul oscuro (exterior) son atraídos por un punto fijo, todos los puntos del medio (azul más claro) son atraídos por un ciclo de período 2 y así sucesivamente. Pseudocódigo
ALGORITMO TIEMPO DE ESCAPE
for each pixel on the screen do x = x0 = x co-ordinate of pixel y = y0 = y co-ordinate of pixel
iteration := 0 max_iteration := 1000
while (x*x + y*y ≤ (2*2) and iteration < max_iteration do /* INSERT CODE(S)FOR Z^d FROM TABLE BELOW */ iteration := iteration + 1
if iteration = max_iteration then colour := black else colour := iteration
plot(x0, y0, colour)
El valor complejo z tiene coordenadas (x, y) en el plano complejo y se eleva a varias potencias dentro del ciclo de iteración mediante los códigos que se muestran en esta tabla. Las potencias que no se muestran en la tabla se pueden obtener concatenando los códigos mostrados.
z−2z−1z2 (conjunto de Mandelbrot)z3z5zn d=x^4+2*x^2*y^2+y^4 if d=0 then ESCAPE xtmp = (x^2-y^2)/d+a y = -2*x*y/d+b x = xtmp d=x^2+y^2 if d=0 then ESCAPE x = x/d + a y= -y/d + b xtmp=x^2-y^2 + a y=2*x*y + b x=xtmp xtmp=x^3-3*x*y^2 + a y=3*x^2*y-y^3 + b x=xtmp xtmp=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4 + a y=5*x^4*y-10*x^2*y^3+y^5 + b x=xtmp xtmp=(x*x+y*y)^(n/2)*cos(n*atan2(y,x)) + a y=(x*x+y*y)^(n/2)*sin(n*atan2(y,x)) + b x=xtmp
Referencias
Enlaces externos
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