La simetría icosaédrica (también denominada simetría icosaedral o simetría del icosaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 60 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un orden de simetría de 120, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un icosaedro regular. Tanto el dodecaedro regular (dual del icosaedro) como el triacontaedro rómbico tienen el mismo conjunto de simetrías.
El grupo de simetría completo (incluidas las reflexiones) se conoce como el grupo de Coxeter H3, y también está representado en la notación de Coxeter por [5,3] y posee un diagrama de Coxeter-Dynkin .
El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un subgrupo que es isomorfo al grupo A5 (el grupo alternante de 5 letras).
Como grupo de puntos
Aparte de las dos series infinitas de simetría prismática y antipismática, la simetría icosaédrica rotacional o simetría icosaédrica quiral de objetos quirales y la simetría icosaédrica completa o simetría icosaédrica aquiral son las simetrías de puntos discretos (o equivalentemente, simetrías en la esfera) con los grupos de simetrías más grandes.
La simetría icosaédrica no es compatible con la simetría traslacional, por lo que no existen grupos de puntos cristalográficos o grupos espaciales asociados.
SchönfliesCoxeterOrbifoldEstructuraabstractaOrdenI[5,3]+532A560Ih[5,3]*532A5×2120
Las presentaciones correspondientes a los grupos anteriores son:
Estos valores corresponden a los grupos icosaédricos (rotacionales y completos) siendo los (2,3,5) grupos triangulares.
La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano.
Debe tenerse en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como un grupo alternante (para I).
Visualizaciones Schoe.(Orb.)Notación de CoxeterElementosDiagramas de espejosOrtogonalProyección estereográficaIh(*532) [5,3] Líneasde espejo:15 I(532) [5,3]+Puntosde giro:125203302
Estructura del grupo El grupo de rotación icosaédrico I es de orden 60. El grupo I es isomorfo a A5, el grupo alternante de permutaciones pares de cinco objetos. Este isomorfismo se puede representar mediante I actuando sobre varios compuestos, en particular el compuesto de cinco cubos (que se inscribe en el dodecaedro), el compuesto de cinco octaedros o cualquiera de los dos compuestos de cinco tetraedros (que son quirales y se inscriben en el dodecaedro).
El grupo contiene 5 versiones de Th con 20 versiones de D3 (10 ejes, 2 por eje) y 6 versiones de D5.
El grupo icosaédrico completo Ih tiene orden 120. Tiene a I como subgrupo normal de índice 2. El grupo Ih es isomorfo a I×Z2, o A5 ×Z2, con inversión en el centro correspondiente al elemento (identidad, -1), donde Z2 se escribe multiplicativamente.
Ih actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros, pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son centralmente simétricos). Actúa sobre el compuesto de diez tetraedros: I actúa sobre las dos mitades quirales (compuestos de cinco tetraedros), y −1 intercambia las dos mitades. En particular, no actúa como S5, y estos grupos no son isomorfos; véase más abajo para más detalles. El grupo contiene 10 versiones de D3d y 6 versiones de D5d (simetrías como antiprismas). I también es isomorfo a PSL2 (5), pero Ih no es isomorfo a SL2(5).
Las aristas de un compuesto de cinco octaedros esférico representan los 15 planos de espejo como círculos máximos de colores. Cada octaedro puede representar 3 planos de espejo ortogonales por sus bordes.La simetría piritoédrica es un subgrupo de índice 5 de la simetría icosaédrica, con 3 líneas de reflexión verdes ortogonales y 8 puntos de giro de orden 3 en rojo. Hay 5 orientaciones diferentes de simetría piritoédrica.
Isomorfismo de I con A5 Es útil describir explícitamente cómo se ve el isomorfismo entre I y A5. En la siguiente tabla, las permutaciones Pi y iX actúan sobre 5 y 12 elementos respectivamente, mientras que las matrices de rotación Mi son los elementos de I. Si Pk es el producto de tomar la permutación Pi y aplicarle Pj, entonces para los mismos valores de i, j y k, también es cierto que kX es el producto de tomar iX y aplicar jX, y también que premultiplicar un vector por Mk es lo mismo que premultiplicar ese vector por Mi y luego premultiplicar ese resultado con Mj, es decir, Mk = Mj × Mi. Dado que las permutaciones Pi son las 60 permutaciones pares de 12345, la correspondencia uno a uno se hace explícita, y por lo tanto, el isomorfismo también. Matriz de rotaciónPermutación de 5sobre 1 2 3 4 5Permutación de 12sobre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 = () = () = (3 4 5) = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10) = (3 5 4) = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7) = (2 3)(4 5) = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11) = (2 3 4) = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12) = (2 3 5) = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12) = (2 4 3) = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11) = (2 4 5) = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9) = (2 4)(3 5) = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10) = (2 5 3) = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8) = (2 5 4) = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11) = (2 5)(3 4) = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12) = (1 2)(4 5) = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12) = (1 2)(3 4) = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12) = (1 2)(3 5) = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9) = (1 2 3) = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8) = (1 2 3 4 5) = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11) = (1 2 3 5 4) = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9) = (1 2 4 5 3) = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11) = (1 2 4) = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12) = (1 2 4 3 5) = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4) = (1 2 5 4 3) = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9) = (1 2 5) = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10) = (1 2 5 3 4) = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12) = (1 3 2) = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10) = (1 3 4 5 2) = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8) = (1 3 5 4 2) = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12) = (1 3)(4 5) = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9) = (1 3 4) = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7) = (1 3 5) = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11) = (1 3)(2 4) = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10) = (1 3 2 4 5) = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9) = (1 3 5 2 4) = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8) = (1 3)(2 5) = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12) = (1 3 2 5 4) = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12) = (1 3 4 2 5) = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12) = (1 4 5 3 2) = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7) = (1 4 2) = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9) = (1 4 3 5 2) = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8) = (1 4 3) = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11) = (1 4 5) = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12) = (1 4)(3 5) = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11) = (1 4 5 2 3) = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10) = (1 4)(2 3) = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11) = (1 4 2 3 5) = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10) = (1 4 2 5 3) = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7) = (1 4 3 2 5) = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6) = (1 4)(2 5) = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8) = (1 5 4 3 2) = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12) = (1 5 2) = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11) = (1 5 3 4 2) = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6) = (1 5 3) = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12) = (1 5 4) = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10) = (1 5)(3 4) = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7) = (1 5 4 2 3) = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3) = (1 5)(2 3) = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9) = (1 5 2 3 4) = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5) = (1 5 2 4 3) = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10) = (1 5 3 2 4) = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11) = (1 5)(2 4) = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)
Grupos comúnmente confundidos Los siguientes grupos tienen todos el orden 120, pero no son isomorfos: S5, el grupo simétrico en 5 elementos Ih , el grupo icosaédrico completo (tema de este artículo, también conocido como H3) 2I, el grupo icosaédrico binario Corresponden a las siguientes sucesiones exactas cortas (la última de las cuales no se divide) y productos
Expresado mediante palabras, es un subgrupo normal de es un factor de , que es un producto directo es un grupo cociente de Téngase en cuenta que tiene una representación tridimensional irreducible excepcional(como el grupo de rotación icosaédrico), pero no tiene una representación tridimensional irreducible, correspondiente al grupo icosaédrico completo que no es el grupo simétrico.
Estos elementos también pueden relacionarse con grupos lineales sobre el cuerpo finito con cinco elementos, que exhiben los subgrupos y los grupos de recubrimiento directamente; ninguno de estos es el grupo icosaédrico completo: el grupo lineal proyectivo, consúltese aquí para ver una demostración; el grupo lineal proyectivo; el grupo lineal especial.
Clases conjugadas Las 120 simetrías se dividen en 10 clases de conjugación: + Conjugados IClases adicionales de IhIdentidad, orden 1 12 × rotaciones de ±72°, orden 5, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 12 × rotaciones de ± 144°, orden 5, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 20 × rotaciones de ± 120°, orden 3, alrededor de los 10 ejes a través de los vértices del dodecaedro 15 × rotaciones de 180°, orden 2, alrededor de los 15 ejes a través de los puntos medios de las aristas del dodecaedro Inversión central, orden 2 12 × rotorreflexiones de ± 36°, orden 10, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 12 × rotorreflexiones de ± 108°, orden 10, alrededor de los 6 ejes a través de los centros de las caras del dodecaedro 20 × rotorreflexiones de ± 60°, orden 6, alrededor de los 10 ejes a través de los vértices del dodecaedro 15 × reflexiones, orden 2, en 15 planos a través de las aristas del dodecaedro
Subgrupos del grupo completo de simetría icosaédrica
Cada línea de la siguiente tabla representa una clase de subgrupos conjugados (es decir, geométricamente equivalentes). La columna "Mult." (multiplicidad) da el número de subgrupos diferentes en la clase de conjugación.
Explicación de colores: verde = los grupos que son generados por reflexión, rojo = los grupos quirales (que conservan la orientación), que contienen solo rotaciones.
Los grupos se describen geométricamente en términos del dodecaedro. La abreviatura "m.v.i. (arista)" significa "media vuelta intercambiando este borde con su borde opuesto", y de manera similar para "cara" y "vértice".
Schön.CoxeterOrb.H-MEtructuraCic.OrdenÍndiceMult.DescripciónIh[5,3]*5322/mA5×Z2 12011Grupo completoD2h[2,2]*222mmmD4×D2=D23 8155Determinando dos bordes opuestos, posiblemente intercambiándolosC5v *55 5mD10 10 126Fijando una caraC3v *33 3mD6=S3 6 2010Fijando un vérticeC2v *22 2mmD4=D22 4 3015Fijando una aristaCs [ ] * or mD2 2 6015Reflexión intercambiando dos puntos finales de una aristaTh[3+,4]3*2mA4×Z2 2455Grupo piritoédricoD5d [2+,10] 2*5 m2D20=Z2×D10 20 66Fijando dos caras opuestas, posiblemente intercambiándolasD3d [2+,6] 2*3 mD12=Z2×D612 1010Fijando dos vértices opuestos, posiblemente intercambiándolos D1d = C2h [2+,2] 2* 2/mD4=Z2×D24 3015Media vuelta alrededor del punto medio del borde, más inversión centralS10 [2+,10+] 5× Z10=Z2×Z510 126Rotaciones de una cara, más inversión centralS6 [2+,6+] 3× Z6=Z2×Z36 2010Rotaciones alrededor de un vértice, más inversión centralS2 [2+,2+] × Z22 601Inversión centralI[5,3]+532532A5 6021Todas las rotacionesT[3,3]+332332A4 12105Rotaciones de un tetraedro contenidoD5[2,5]+522522D1010126Rotaciones alrededor del centro de una cara y m.v.i. (cara)D3[2,3]+322322D6=S362010Rotaciones alrededor de un vértice y m.v.i.(vértice)D2[2,2]+222222D4=Z2243015Media vuelta alrededor del punto medio de una arista, y m.v.i.(arista)C5+555Z55246Rotaciones alrededor de un centro de caraC3+333Z3=A334010Rotaciones alrededor de un vérticeC2+222Z226015Media vuelta alrededor del punto medio de la aristaC1[ ]+111Z111201Grupo trivial
Estabilizadores de vértices Los estabilizadores de un par de vértices opuestos pueden interpretarse como estabilizadores del eje que generan. Los estabilizadores de vértice en I producen grupo cíclicos C3 Los estabilizadores de vértice en Ih producen grupos diedros D3