thumb|upright=1.3|Una escala gráfica o de barras. Un mapa también suele dar su escala numéricamente ("1: 50.000", por ejemplo, significa que un cm en el mapa representa 50.000 cm de espacio real, que son 500 metros). thumb|Una escala de barras con la escala nominal, expresada como "1 cm = 6 km" y "1: 600 000" (equivalente, porque 6 km = 600 000 cm)
La escala es la relación de proporción entre las dimensiones reales de un objeto y las del dibujo que lo representa. Por ejemplo, si una escala indica una proporción 1:15 000 significa que un centímetro del mapa representa 15 000 cm en el mundo real.
La primera forma es la relación entre el tamaño del globo generador y el tamaño de la Tierra. El globo generador es un modelo conceptual al que se reduce la Tierra y a partir del cual se proyecta el mapa. La relación entre el tamaño de la Tierra y el del globo generador se denomina escala nominal (= escala principal = fracción representativa). Muchos mapas indican la escala nominal e incluso pueden mostrar una escala de barras (a veces llamada simplemente escala) para representarla.
El segundo concepto distinto de escala se aplica a la variación de la escala en un mapa. Es la relación entre la escala del punto cartografiado y la escala nominal. En este caso 'escala' significa el factor de escala (= escala de puntos = escala particular).
Si la región del mapa es lo suficientemente pequeña como para ignorar la curvatura de la Tierra, como en el caso de un plano de una ciudad, se puede utilizar un único valor como escala sin provocar errores de medición. En los mapas que cubren áreas más grandes, o toda la Tierra, la escala del mapa puede ser menos útil o incluso inútil para medir distancias. La proyección del mapa se convierte en algo fundamental para comprender cómo varía la escala en todo el mapa.Este documento puede descargarse de USGS pages. Ofrece detalles completos de la mayoría de las proyecciones, junto con secciones introductorias, pero no deriva ninguna de las proyecciones a partir de los primeros principios. La derivación de todas las fórmulas de las proyecciones Mercator puede encontrarse en Las proyecciones Mercator.Aplanando la Tierra: Two Thousand Years of Map Projections, John P. Snyder, 1993, pp. 5-8, . Se trata de un estudio de prácticamente todas las proyecciones conocidas desde la antigüedad hasta 1993. Cuando la escala varía notablemente, se puede contabilizar el factor de escala. La indicatriz de Tissot se utiliza a menudo para ilustrar la variación de la escala de puntos en un mapa.
Historia Los fundamentos de la escala cuantitativa de los mapas se remontan a la China antigua, con pruebas textuales de que la idea de la escala de los mapas se comprendía ya en el Los antiguos agrimensores y cartógrafos chinos disponían de amplios recursos técnicos para elaborar mapas, como varillas de contar, escuadra de carpintero, plomada, brújulas para dibujar círculos y tubos de mira para medir la inclinación. Los marcos de referencia que postulaban un incipiente sistema de coordenadas para identificar lugares fueron insinuados por los antiguos astrónomos chinos que dividían el cielo en varios sectores o logias lunares.
El cartógrafo y geógrafo chino Pei Xiu del período de los Tres Reinos creó un conjunto de mapas de gran superficie que se dibujaban a escala. Elaboró un conjunto de principios que enfatizaban la importancia de la consistencia de la escala, las medidas direccionales y los ajustes en las medidas del terreno que se estaba cartografiando.
El globo generador es un modelo conceptual al que se reduce la Tierra y a partir del cual se proyecta el mapa. En la antigüedad, los cartógrafos griegos fueron pioneros en la representación del mundo conocido. Anaximandro de Mileto (c. 610-546 a. C.) empleó una representación simbólica de la Tierra como un cilindro, careciendo aún de una comprensión precisa de las dimensiones reales del planeta. A pesar de su simplicidad, su trabajo constituye una de las primeras aproximaciones a la idea de representar la totalidad de la Tierra en una escala reducida.
El más influyente cartógrafo de la Antigüedad, Claudio Ptolomeo (c. 100-170 d. C.), realizó una contribución fundamental al desarrollo de la escala nominal mediante su obra Geographia.Ptolemy, Claudius. Geography of Claudius Ptolemy (traducida por Edward Luther Stevenson). New York: The New York Public Library, 1932. Reimpresa por Dover Publications, 1991. ISBN: 978-0486268965 En este tratado, Ptolomeo introdujo el sistema de coordenadas de latitud y longitud, lo que permitió una representación más precisa de la superficie terrestre. Asimismo, empleó escalas numéricas en sus mapas, sentando las bases de futuros avances en la cartografía.Berggren, J. L. y Alexander Jones. Ptolemy's Geography: An Annotated Translation of the Theoretical Chapters. Princeton: Princeton University Press, 2000. ISBN: 978-0691092591
La relación entre el tamaño de la Tierra y el del globo generador se denomina escala nominal o escala principal. Muchos mapas antiguos indicaban esta escala en forma de fracciones representativas, similares a las escalas numéricas modernas. En los mapas de Ptolomeo, la escala nominal se expresaba mediante marcas que correspondían a distancias medidas en stadia (plural de stadion), la unidad griega de medida de distancia.Robinson, Arthur H., et al. Elements of Cartography, 6.ª ed. New York: Wiley, 1995. ISBN: 978-0471555797
La segunda forma de escala atañe a la variación de esta a lo largo de un mapa: es la relación entre la escala de un punto cartografiado y la escala nominal. Este tipo de escala resulta esencial cuando se trabaja con mapas de mayor detalle, como los desarrollados por los cartógrafos renacentistas europeos, quienes perfeccionaron las técnicas de representación cartográfica. Durante el Renacimiento, los avances en la cartografía europea fueron fundamentales para mejorar las proyecciones y el manejo de las escalas. El cartógrafo flamenco Gerardus Mercator (1512-1594) desarrolló en 1569 una proyección cilíndrica que permitía representar la superficie terrestre de manera que se conservaran los ángulos en cualquier punto, independientemente de la latitud. Su proyección, conocida como proyección de Mercator, es aún ampliamente utilizada en la navegación marítima y en los mapas modernos, si bien distorsiona las áreas en las latitudes altas.Crane, Nicholas. Mercator: The Man Who Mapped the Planet. New York: Henry Holt and Company, 2002. ISBN: 978-0805070637
Asimismo durante el Renacimiento, el cartógrafo alemán Martin Waldseemüller (c. 1470-1521) creó uno de los primeros mapas del mundo que mostraba las Américas como un continente separado. El mapa de Waldseemüller (1507), conocido como Universalis Cosmographia, es uno de los primeros ejemplos en los que se aplica una escala representativa para una proyección geográfica global de alcance moderno.Hessler, John W. The Naming of America: Martin Waldseemüller's 1507 World Map and the Cosmographiae Introductio. London: Giles, 2008. ISBN: 978-1904832492
En los siglos y , la Revolución Científica impulsó avances decisivos en la medición de distancias, gracias al empleo de la trigonometría y al desarrollo de instrumentos de navegación más precisos. Ello permitió a los cartógrafos europeos confeccionar mapas más exactos y detallados. Jean-Baptiste Bourguignon d'Anville (1697-1782), destacado cartógrafo francés, fue célebre por su meticulosa atención a la escala en sus mapas y por sus esfuerzos por corregir los errores de cartografías anteriores, reformando así la precisión de las escalas nominales.Pedley, Mary Sponberg. The Commerce of Cartography: Making and Marketing Maps in Eighteenth-Century France and England. Chicago: The University of Chicago Press, 2005. ISBN: 978-0226653112 La relación entre las escalas y su representación gráfica es un aspecto central de la cartografía moderna. Las escalas nominales y las escalas de barra continúan siendo herramientas fundamentales en los mapas, pues permiten al usuario interpretar correctamente las distancias y las proporciones del terreno representado. En mapas de mayor detalle, como los planos urbanos o los mapas topográficos, la escala varía según el nivel de resolución requerido, posibilitando una representación precisa de áreas de extensión reducida.
Tipos de escalas Existen tres tipos de escalas: Escala natural: Es cuando el tamaño del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar ocupar espacios de reducción. Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas (E:1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000. Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza
Mapas a gran escala sin tener en cuenta la curvatura La región en la que la tierra puede considerarse plana depende de la precisión de las mediciones de estudios. Si se mide solo al metro más cercano, entonces la curvatura de la tierra es indetectable en una distancia meridiana de unos y en una línea este-oeste de unos 80 km (a una latitud de 45 grados). Si se mide con una precisión de , la curvatura es indetectable en un meridiano de unos 10 km y en una línea este-oeste de unos 8 km. Así, un plano de la ciudad de Nueva York con una precisión de un metro o un plano de una obra con una precisión de un milímetro satisfarían ambos las condiciones anteriores para el desprecio de la curvatura. Se pueden tratar mediante la topografía plana y se pueden cartografiar mediante dibujos a escala en los que dos puntos cualesquiera a la misma distancia en el dibujo están a la misma distancia en el suelo. Las verdaderas distancias sobre el terreno se calculan midiendo la distancia en el mapa y multiplicando después por el inverso de la fracción de escala o, de forma equivalente, simplemente utilizando divisores para transferir la separación entre los puntos del mapa a una escala de barras en el mapa. Escala de puntos (o escala particular)
Como se demostró en el Theorema egregium de Gauss, una esfera (o elipsoide) no puede proyectarse sobre un plano sin que se deforme. Esto se ilustra comúnmente con la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin romperla y deformarla. La única representación real de una esfera a escala constante es otra esfera como un globo terráqueo
Dado el limitado tamaño práctico de los globos terráqueos, debemos utilizar mapas para realizar una cartografía detallada. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica una distorsión: Una separación constante en el mapa no se corresponde con una separación constante en el terreno. Aunque un mapa puede mostrar una escala gráfica de barras, la escala debe utilizarse teniendo en cuenta que solo será precisa en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las siguientes secciones).
Sea P un punto de latitud y longitud en la esfera (o elipsoide). Sea Q un punto vecino y sea el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo acimut del elemento PQ. Sean P' y Q' los puntos correspondientes de la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q' y la proyección del meridiano es el rumbo . En general, . Comentario: esta distinción precisa entre el acimut (en la superficie de la Tierra) y el rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, ya que muchos escritores utilizan los términos casi indistintamente.
Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P'Q' y PQ en el límite en que Q se acerca a P. Lo escribimos como