thumb|right|300px|Una simulación por computador de un flujo de aire de alta velocidad alrededor de un transbordador espacial durante la reentrada. Este tipo de simulaciones requieren de complejos y poderosos métodos de matemática aplicada e ingeniería mecánica.
La matemática aplicada —también matemáticas aplicadas o matemática y aplicaciones— se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticos que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas, como el cálculo, el álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales y otros procedimientos ideados desde que se acuñó el concepto.
Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, ingeniería, medicina, ciencias sociales, informática, economía y las actividades económico-financieras o ecología. Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas «hacia afuera», es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado «hacia dentro» o sea, hacia el desarrollo de la matemática misma. Este último sería el caso de la matemática pura o de la matemática elemental.
La matemática aplicada se usa con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos. En las últimas décadas, una de las aplicaciones más directas de la matemática tales como: álgebra lineal, geometría plana y del espacio, cálculo y física han sido un fundamento para el desarrollo de simuladores y videojuegos en 3D.
Historia thumb|right|Una solución numérica de la ecuación del calor en un modelo de carcasa de bomba utilizando el método de elementos finitos. Históricamente, la matemática aplicada consistía principalmente en análisis aplicado, sobre todo ecuaciones diferenciales; teoría de la aproximación (en sentido amplio, para incluir representación, métodos asintóticos, métodos variacionales, y análisis numérico); y probabilidad aplicada. Estas áreas de las matemáticas se relacionaron directamente con el desarrollo de la física newtoniana, y de hecho, la distinción entre matemáticos y físicos no fue muy marcada antes de mediados del . Esta historia dejó un legado pedagógico en Estados Unidos: hasta principios del , asignaturas como la mecánica clásica solían impartirse en los departamentos de matemáticas aplicadas de las universidades estadounidenses en lugar de en los de física, y la mecánica de fluidos puede seguir impartiéndose en los departamentos de matemática aplicada. (Enlace roto: febrero de 2020) Los departamentos de ingeniería y ciencias de la computación han utilizado tradicionalmente la matemática aplicada.
Divisiones En la actualidad, la locución «matemática aplicada» se utiliza en un sentido más amplio. Incluye las áreas clásicas señaladas anteriormente, así como otras áreas que han adquirido una importancia creciente en las aplicaciones. Incluso campos como la teoría de números que forman parte de la matemática pura son ahora importantes en las aplicaciones (como la criptografía), aunque generalmente no se consideran parte del campo de las matemática aplicada per se.
No hay consenso sobre cuáles son las distintas ramas de la matemática aplicada. Estas categorizaciones se ven dificultadas por la forma en que las matemáticas y la ciencia cambian con el tiempo, y también por la forma en que las universidades organizan los departamentos, los cursos y las titulaciones.
Muchos matemáticos distinguen entre la "matemática aplicada", que se ocupan de los métodos matemáticos, y las "aplicaciones de la matemática" dentro de la ciencia y la ingeniería. Un biólogo que utilizara un modelo de población y aplicara las matemáticas conocidas no estaría haciendo matemáticas aplicadas, sino utilizándolas; sin embargo, los biólogos matemáticos han planteado problemas que han estimulado el crecimiento de las matemáticas puras. Matemáticos como Poincaré y Arnold niegan la existencia de las "matemáticas aplicadas" y afirman que sólo hay "aplicaciones de las matemáticas". Del mismo modo, los no matemáticos mezclan las matemáticas aplicadas y las aplicaciones de las matemáticas. El uso y desarrollo de las matemáticas para resolver problemas industriales también se denomina "matemáticas industriales".
El éxito de los modernos métodos matemáticos numéricos y del software ha llevado a la aparición de la matemática computacional, la ciencia computacional y la ingeniería computacional, que utilizan computación de alto rendimiento para la simulación de fenómenos y la solución de problemas en las ciencias y la ingeniería. A menudo se consideran interdisciplinarias.
Matemáticas aplicables En ocasiones, la locución 'matemáticas aplicables' se utiliza para distinguir entre las matemáticas aplicadas tradicionales que se desarrollaron junto con la física y las muchas áreas de las matemáticas que son aplicables a los problemas del mundo real hoy en día, aunque no hay consenso en cuanto a una definición precisa.
Los matemáticos suelen distinguir entre las "matemáticas aplicadas", por un lado, y las "aplicaciones de las matemáticas" o "matemáticas aplicables", tanto dentro como fuera de la ciencia y la ingeniería, por otro.Perspectives on Mathematics Education: Papers Submitted by Members of the Bacomet Group, pgs 82-3. Editores: H. Christiansen, A.G. Howson, M. Otte. Volumen 2 de la Biblioteca de Educación Matemática; Springer Science & Business Media, 2012. , 9789400945043. Algunos matemáticos enfatizan la locución de «matemáticas aplicables» para separar o delimitar las áreas aplicadas tradicionales de las nuevas aplicaciones que surgen de campos que antes se consideraban matemáticas puras. Por ejemplo, desde este punto de vista, un ecólogo o geógrafo que utilice modelos de población y aplique matemáticas conocidas no estaría haciendo matemáticas aplicadas, sino aplicables. Incluso campos como la teoría de los números que forman parte de las matemáticas puras son ahora importantes en las aplicaciones (como la criptografía), aunque generalmente no se consideran parte del campo de las matemáticas aplicadas per se. Tales descripciones pueden llevar a considerar las matemáticas aplicables como una colección de métodos matemáticos como el análisis real, el álgebra lineal, la modelización matemática, la optimización, la combinatoria, la probabilidad y la estadística, que son útiles en áreas ajenas a las matemáticas tradicionales y no específicas de la física matemática.
Otros autores prefieren describir las matemáticas aplicables como una unión de "nuevas" aplicaciones matemáticas con los campos tradicionales de las matemáticas aplicadas.Survey of Applicable Mathematics, pg xvii (Foreword). K. Rektorys; 2ª edición, ilustrada. Springer, 2013. , 9789401583084.PENSAMIENTOS SOBRE MATEMÁTICAS APLICADAS.CONFERENCIA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS APLICABLES (ICAM-2016). Departamento de Matemáticas del Colegio Stella Maris. Con esta perspectiva, las locuciones «matemática aplicada» y «matemática aplicable» son, pues, intercambiables.
Utilidad
Históricamente, las matemáticas han sido muy importantes en las ciencias naturales y la ingeniería. Sin embargo, desde la Segunda Guerra Mundial, campos ajenos a las ciencias físicas han propiciado la creación de nuevas áreas de las matemáticas, como la teoría de los juegos y la teoría de la elección social, que surgieron de consideraciones económicas. Además, la utilización y el desarrollo de los métodos matemáticos se extendió a otras áreas, dando lugar a la creación de nuevos campos como las finanzas matemáticas y la ciencia de datos.
La llegada del ordenador ha permitido nuevas aplicaciones: estudiar y utilizar la nueva tecnología informática en sí misma (ciencia de la computación) para abordar problemas que surgen en otras áreas de la ciencia (la ciencia computacional), así como las matemáticas de la computación (por ejemplo, la ciencia de la computación teórica, el álgebra computacional,Von Zur Gathen, J., & Gerhard, J. (2013). Modern computer algebra. Cambridge University Press.Geddes, K. O., Czapor, S. R., & Labahn, G. (1992). Algorithms for computer algebra. Springer Science & Business Media.Albrecht, R. (2012). Álgebra computacional: computación simbólica y algebraica (Vol. 4). Springer Science & Business Media.Mignotte, M. (2012). Matemáticas para el álgebra computacional. Springer Science & Business Media. o el análisis numéricoStoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introducción al análisis numérico. Springer Science & Business Media.Conte, S. D., & De Boor, C. (2017). Análisis numérico elemental: un enfoque algorítmico. Sociedad_de_Matemática_Industrial_y_Aplicada.Greenspan, D. (2018). Análisis numérico. CRC Press.Linz, P. (2019). Análisis numérico teórico. Courier Dover Publications.). La estadística es probablemente la disciplina matemática más extendida que se utiliza en las ciencias sociales, pero otras áreas de las matemáticas, sobre todo la economía, están resultando cada vez más útiles en estas disciplinas.
Matemáticas básicas frente a matemáticas aplicadas
Los matemáticos siempre han tenido opiniones divergentes sobre la distinción entre matemáticas puras y aplicadas. Uno de los ejemplos modernos más famosos (aunque quizás malinterpretado) de este debate se encuentra en la obra de G.H. Hardy Apología del Matemático.
La opinión generalizada es que Hardy consideraba que las matemáticas aplicadas eran feas y aburridas. Aunque es cierto que Hardy prefería las matemáticas básicas, que a menudo comparaba con la pintura y la poesía, consideraba que la distinción entre las matemáticas básicas y las aplicadas consistía simplemente en que las matemáticas aplicadas trataban de expresar la verdad física en un marco matemático, mientras que las matemáticas básicas expresaban verdades que eran independientes del mundo físico. Hardy hizo una distinción entre lo que llamó matemáticas "reales", "que tienen un valor estético permanente", y "las partes aburridas y elementales de las matemáticas" que tienen un uso práctico.
Hardy consideraba que algunos físicos, como Einstein y Dirac, se encontraban entre los matemáticos "reales", pero en el momento en que escribía la Apología consideraba que la relatividad general y la mecánica cuántica eran "inútiles", lo que le permitía mantener la opinión de que sólo las matemáticas "aburridas" eran útiles. Además, admitió brevemente que -al igual que la aplicación de la teoría de matrices y la teoría de grupos a la física había llegado de forma inesperada- podría llegar un momento en el que algunos tipos de matemáticas bellas y "reales" también fueran útiles.
Otro punto de vista perspicaz es el ofrecido por Magid:
Friedrich Engels argumentó en Anti-Dühring que:
Además, también sostuvo que:
Áreas de las matemáticas con aplicaciones frecuentes Cálculo diferencial e integral thumb|right|Tanto la mecánica clásica como la mecánica relativista utilizan el lenguaje del cálculo. Esto a su vez permite entender el movimiento de cuerpos celestes y realizar viajes espaciales o poner en órbita satélites artificiales
El cálculo diferencial e integral es usado en cada rama de las ciencias naturales, la estadística, la ingeniería y la economía; e incluso en los negocios, la medicina, la demografía, y más generalmente en cualquier área en la que un problema pueda ser modelado matemáticamente mediante variables continuas de números reales o complejos, y donde se desee obtener una solución óptima; o cuando se deban entender los ciclos e interacciones entre las variables. En palabras de Steven Strogatz:
Análisis numérico El campo del análisis numérico incluye muchas subdisciplinas. Algunas de las principales son:
Interpolación, extrapolación y regresión