mini|300px|Cúpula del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial (España)
Las cúpulas construidas en los siglos XVI, XVII y XVIII se basaron principalmente en el uso de técnicas empíricas y de tradiciones orales en lugar de en los tratados arquitectónicos de la época, aunque el estudio de las estructuras de las cúpulas cambió radicalmente debido a los avances en las matemáticas y por el estudio de la estática. Se desarrollaron enfoques analíticos y se debatió la forma ideal para una cúpula, pero esos enfoques a menudo se consideraron demasiado teóricos para ser utilizados en la construcción.
A lo largo del el empleo de las bóvedas de crucería góticas había ido siendo sustituido por una combinación de abovedamientos de cañón y cúpulas estilo renacentista. El uso de torres de linterna, o cimborrios, que ocultaban los perfiles de las cúpulas en el exterior, fue disminuyendo en Italia a medida que aumentaba el uso de tambores con ventanas horadadas bajo las cúpulas, lo que entrañaba nuevas dificultades estructurales. La difusión de esas cúpulas fuera de Italia comenzó en Europa central, aunque a menudo con un retraso estilístico de uno o dos siglos. Una innovación de esta época fue el uso de cúpulas ovaladas, que se extendió rápidamente por Italia, España, Francia y Europa central y que se convertiría en una característica de la arquitectura de la Contrarreforma en estilo barroco.
Se utilizaron agujas de varios pisos con cúpulas bulbosas truncadas que sostenían cúpulas o coronas más pequeñas en la parte superior de importantes agujas del , comenzando en los Países Bajos. Las cúpulas de las iglesias ortodoxas tradicionales se utilizaron en cientos de iglesias de madera ortodoxas y uniatas de los siglos y y las mezquitas de madera tártaras en Polonia eran estructuras de planta central abovedadas con minaretes adyacentes. La cúpula de cebolla completamente desarrollada fue notable en Praga a mediados del y apareció ampliamente en las residencias reales. Las cúpulas bulbosas se hicieron populares en el centro y sur de Alemania y en Austria en los siglos y , e influyeron en las de Polonia y Europa del Este en el período barroco. Sin embargo, muchas cúpulas bulbosas en las ciudades más grandes de Europa oriental fueron reemplazadas durante la segunda mitad del a favor de cúpulas semiesféricas o sobre pilastras en los estilos francés o italiano.
Solo unos pocos ejemplos de iglesias con cúpula del sobreviven de la colonización española de México. Una técnica antisísmica para la construcción llamada quincha se adaptó de la práctica peruana local para las cúpulas y se adoptó universalmente a lo largo de la costa peruana. Una técnica ligera similar se utilizó en el este de Sicilia después de los terremotos de los siglos y .
Aunque nunca fueron muy populares en entornos domésticos, las cúpulas se utilizaron en varias casas del construidas en estilo neoclásico. En los Estados Unidos, se utilizaron pequeñas cúpulas para distinguir los edificios públicos de las residencias privadas. Después de que se eligiera un diseño cupulado para el Capitolio nacional, varios estados agregaron cúpulas prominentes a sus edificios de las asambleas.
Este artículo no quiere ser solo el análisis de los avances técnicos y compositivos en la construcción de las cúpulas y también pretende recoger como era usado este elemento arquitectónico. Por ellos aparecerán muchas cúpulas que no han desempeñado ningún papel en la historia de la arquitectura ni de las estructuras, y que tampoco tienen entidad ni dimensiones monumentales, pero que reflejan como eran usadas a lo largo de estos tres siglos en los diferentes lugares que se estudian.
Desarrollo técnico
thumb| Basílica de San Giorgio Maggiore(iniciada en 1566) thumb|Catedral de Mantua, reforma de Giulio Romano y Giovanni Battista Bertani (desde 1545). thumb|Iglesia de San Biagio (Montepulciano) (1568-1580) thumb|iglesia del Gesù en Roma (1568-1580)
La construcción de cúpulas en los siglos y se basaba principalmente en el uso de técnicas empíricas y tradiciones orales más que en los tratados arquitectónicos de la época, que evitaban los detalles prácticos. Esto fue adecuado para domos de tamaño mediano, con diámetros en el rango de 12 a . Los materiales se consideraban homogéneos y rígidos, se tenía en cuenta la compresión y se ignoraba la elasticidad. El peso de los materiales y el tamaño de la cúpula eran las referencias clave. Las tensiones laterales en una cúpula se contrarrestaban disponiendo anillos horizontales de hierro, piedra o madera incorporados a la estructura. Otras técnicas utilizadas para reducir el empuje lateral fueron agregar un contrafuerte en la base, un contrapeso sobre el estribo o dar a la bóveda un perfil más empinado. Los arquitectos siguieron opiniones autorizadas, especialmente las de autores antiguos, y la evidencia de edificios antiguos y contemporáneos. El comportamiento estructural de los edificios abovedados anteriores actuaba como modelos a gran escala para informar de las nuevas y también se confiaba en las maquetas a pequeña escala de nuevos proyectos. Los maestros constructores aplicaron las reglas geométricas tradicionales de proporción para las cúpulas independientemente del tamaño, pero ayudaron a construir nuevas cúpulas en formas conocidas por ser seguras.
Las cúpulas en forma de cebolla aparecieron ampliamente en las residencias reales a mediados del . Además de las de la parte oriental del castillo de Praga, las tenían las residencias reales de Madrid, Londres, Viena y Cracovia, siempre como parte de las formas clásicas italianas.
La primera cúpula de observatorio giratorio se construyó en el , en Kassel.
La publicación del tratado de Sebastiano Serlio, uno de los tratados de arquitectura más populares jamás publicados, fue responsable de la difusión del óvalo en la arquitectura barroca y del Renacimiento tardío. El Libro I (1545), sobre geometría, incluía técnicas para crear óvalos, y el Libro V (1547), sobre arquitectura, incluía un diseño para una iglesia ovalada. Las iglesias de planta ovalada comenzaron a construirse a mediados del . Las iglesias con cúpulas ovaladas permitieron una síntesis de los dos tipos fundamentales de iglesias, la de planta longitudinal y la central, y se convertirían en características de la arquitectura barroca y la Contrarreforma.
Hacia finales del , los cruceros con cúpulas eran populares en varios estados italianos y aparecieron en iglesias prominentes como la abadía de Santa Giustina en Padua (comenzada en 1532), en la catedral de Mantua (agregada después de 1540), en la iglesia del Gesù en Roma (1568-1580) y en Basílica de San Giorgio Maggiore (iniciada en 1566). Las cúpulas de la abadía de Santa Giustina en Padua pueden haberse inspirado en las de il Santo.
En los siglos y , se construyeron muchas cúpulas de planta elíptica y ovalada renacentistas y barrocas sobre naves rectangulares, utilizando ladrillo en Italia y piedra en España. Las cúpulas ovaladas alemanas posteriores de estilo rococó utilizaron diferentes combinaciones de geometría. Los trazados de cúpula elíptica fueron publicados por Durero (1525), Serlio (1545) y De L'Orme (1561) junto con métodos prácticos para lograr la forma mediante arcos circulares, la técnica utilizada desde la época de los antiguos romanos. Alonso de Vandelvira publicó una descripción de la geometría de las cúpulas ovaladas alrededor de 1580 con proyecciones ortogonales de curvas de nervaduras paralelas y meridianas. Las cúpulas ovaladas a menudo incorporaban curvas tanto elípticas como ovaladas o semicirculares y esta ambigüedad se refleja en la literatura arquitectónica. Los constructores se basaron en soluciones gráficas o empíricas para estos problemas geométricos. En 1640, el matemático Paul Guldin estableció que el «semicírculo alargado» de la práctica tradicional es una elipse.
Un tratado de Vincenzo Scamozzi de 1615 da ejemplos de tipologías de bóvedas y de cúpulas, pero no una teoría general y completa. Aunque se pueden encontrar algunas recomendaciones para el perfil de una cúpula en tratados de siglos anteriores, las técnicas geométricas y proporcionales tradicionales para cúpulas de mampostería y linternas fueron detalladas por primera vez en 1694 por Carlo Fontana en su famoso tratado Il Tempio Vaticano e sua Origine. El tratado de Guarino Guarini, publicado póstumamente en 1737, incluía la forma de dibujar varias bóvedas, pero no cómo construirlas. Basándose en el trabajo de Fontana, Bernardo Antonio Vittone publicó en 1760 Istruzioni elementari dell’architettura civile, en el que recomendaba el uso de perfiles ojivales o elipsoidales para aumentar la altura proporcional de las cúpulas y aumentar el ángulo en el que intersecan con sus linternas, tanto por razones estructurales como estéticas. Para contrarrestar el impacto negativo que este perfil elevado tenía en el aspecto interior, se construyeron cúpulas con dos o tres niveles de abovedamientos, con aberturas en los niveles inferiores para permitir la entrada de luz.
A lo largo de los siglos y , el desarrollo de las matemáticas y el estudio de la estática llevaron a una formalización más precisa de las ideas de las prácticas constructivas tradicionales de arcos y bóvedas, y hubo una difusión de los estudios sobre lo que se consideró la forma más estable para estas estructuras: la curva catenaria. En 1704, James Bernoulli escribió que un arco de catenaria invertido de cualquier grosor resistirá su propio peso, lo que probablemente inspiró a Pierre Bouguer a concluir en su Mémoire sur le lignes courbes qui sont propres à former les voûtes en dômes (1734) que la forma óptima para una cúpula era una semi-catenaria invertida rotada. A finales del , la forma ideal de una cúpula fue debatida por Charles Bossut, Lorenzo Mascheroni, Giuseppe Venturoli y Leonardo Salimbeni, entre otros.
Los enfoques analíticos también se desarrollaron y debatieron en el , particularmente entre matemáticos y arquitectos franceses e italianos, pero se consideraron demasiado teóricos para ser utilizados en la construcción. El estudio de las estructuras de las cúpulas cambió radicalmente, considerándose las cúpulas como una composición de elementos más pequeños, cada uno sujeto a leyes matemáticas y mecánicas y más fáciles de analizar individualmente, en lugar de considerarse como unidades completas en sí mismas. En 1734, el matemático Pierre Bouguer (y más tarde otros) argumentaron que se podría pensar que la cúpula está cortada en una serie de segmentos independientes en forma de cuña que se unen como arcos. Por lo tanto, una cúpula en su conjunto era estable si cada arco constituyente era estable y el análisis de una cúpula se podía realizar de la misma manera que el análisis de un arco. Publicó su Mémoire en 1736, «el primer tratado sobre la teoría de la cúpula», con posibles formas estables para cúpulas cuando se ignoraba la fricción. A. F. Frézier se basó en esta obra y utilizó un método para analizar el empuje de las cúpulas como hechas de una serie de elementos de arcos de mampostería que luego podrían compararse con el comportamiento del empuje conocido de las bóvedas de cañón de la misma luz.
Renacimiento italiano
Una combinación de bóvedas de cañón, pechinas, tambores y cúpulas se desarrolló como las formas estructurales características de las grandes iglesias renacentistas después de un período de innovación a finales del . Florencia fue la primera ciudad italiana en desarrollar el nuevo estilo, seguida de Roma y luego de Venecia. Las cúpulas de estilo renacentista en Florencia son en su mayoría del período temprano, en el . Ciudades dentro de la zona de influencia de Florencia, como Génova, Milán y Turín, produjeron principalmente ejemplos posteriores, a partir del .
Estados Pontificios thumb|Templete de San Pietro in Montorio en Roma thumb|Cúpula de la iglesia de Sant'Anna dei Palafrenieri (c. 1568-1575), de Vignola thumb|Templo de Santa María de la Consolación