En geometría diferencial, el teorema del índice de Atiyah-Singer, demostrado por Michael Atiyah e Isadore Singer en 1963, afirma que para un operador diferencial elíptico en una variedad cerrada, el índice analítico (relacionado con la dimensión del espacio de soluciones) es igual al índice topológico (definido en términos de algunos datos topológicos). Incluye como casos especiales a muchos otros teoremas, como el teorema de Gauss-Bonnet generalizado y el teorema de Riemann-Roch.
Tiene aplicaciones en física teórica.
Historia El problema del índice para operadores diferenciales elípticos fue planteado por Izrail Guelfand. Se dio cuenta de la invariabilidad homotópica del índice, y pidió una fórmula para él mediante invariantes topológicos. Algunos de los ejemplos motivadores fueron el teorema de Riemann-Roch y su generalización el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, y el teorema de la firma de Hirzebruch. Friedrich Hirzebruch y Armand Borel habían demostrado la integrabilidad del  género de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integrabilidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).
El teorema de Atiyah-Singer fue anunciado en 1963. La demostración esbozada en este anuncio nunca fue publicada por ellos, aunque aparece en el libro de Palais. También aparece en el "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" que se celebró en París simultáneamente con el seminario dirigido por Richard Palais en la Universidad de Princeton. La última charla en París fue la de Atiyah sobre las variedades con límite. Su primera prueba publicada sustituyó la teoría del cobordismo de la primera prueba por la K-teoría, y la utilizó para dar pruebas de varias generalizaciones en otra secuencia de trabajos.
1965: Sergey P. Novikov publicó sus resultados sobre la invariancia topológica de las clases de Pontryagin racionales en las variedades lisas. Los resultados de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann, combinados con el trabajo de René Thom demostraron la existencia de clases racionales de Pontryagin en variedades topológicas. Las clases racionales de Pontryagin son ingredientes esenciales del teorema del índice en las variedades lisas y topológicas. 1969: Michael Atiyah definió los operadores elípticos abstractos en espacios métricos arbitrarios. Los operadores elípticos abstractos se convirtieron en protagonistas de la teoría de Kasparov y de la geometría diferencial no conmutativa de Connes. 1971: Isadore Singer propuso un programa completo para futuras extensiones de la teoría de índices. 1972: Gennadi G. Kasparov publicó su trabajo sobre la realización de la K-homología mediante operadores elípticos abstractos. 1973: Atiyah, Raoul Bott, y Vijay Patodi dieron una nueva prueba del teorema del índice utilizando la ecuación del calor, descrita en un trabajo de Melrose. 1977: Dennis Sullivan estableció su teorema sobre la existencia y unicidad de estructuras de Lipschitz y cuasiconformes en variedades topológicas de dimensión diferente a 4. 1983: Ezra Getzler motivado por las ideas de Edward Witten y Luis Álvarez Gaumé, dio una breve demostración del teorema del índice local para operadores que son localmente operadores de Dirac; esto cubre muchos de los casos útiles. 1983: Nicolae Teleman demostró que los índices analíticos de los operadores de firma con valores en haces vectoriales son invariantes topológicos. 1984: Teleman estableció el teorema del índice en las variedades topológicas. 1986: Alain Connes publicó su artículo fundamental sobre geometría no conmutativa. 1989: Simon K. Donaldson y Sullivan estudiaron la teoría de Yang-Mills en variedades cuasiconformes de dimensión 4. Introdujeron el operador de firma S definido en formas diferenciales de grado dos. 1990: Connes y Henri Moscovici demostraron la fórmula del índice local en el contexto de la geometría no conmutativa. 1994: Connes, Sullivan y Teleman demostraron el teorema del índice para operadores de firma en variedades cuasiconformes.
Notación X es una variedad suave compacta. (sin borde). E y F son un fibrado vectorial suave sobre X D es un operador diferencial elíptico de E a F. Así que en coordenadas locales actúa como un operador diferencial, llevando secciones suaves de E a secciones suaves de F. Símbolo de un operador diferencial Si D es un operador diferencial sobre un espacio euclidiano de orden n en k variables , entonces su símbolo es la función de 2k variables dada por la eliminación de todos los términos de orden inferior a n y la sustitución de by . Así que el símbolo es homogéneo en las variables y, de grado n. El símbolo está bien definido aunque no conmuta con porque mantenemos sólo los términos de mayor orden y los operadores diferenciales conmutan "hasta los términos de orden inferior". El operador se llama elíptico si el símbolo es distinto de cero siempre que al menos un y sea distinto de cero.
Ejemplo: El operador de Laplace en k variables tiene símbolo y por lo tanto es elíptica ya que esta es distinta de cero siempre que cualquiera de las sean distintas de cero. El operador de onda tiene el símbolo , que no es elíptica si , ya que el símbolo desaparece para algunos valores no nulos de las "y".
Una propiedad clave de los operadores elípticos es que son casi invertibles; esto está estrechamente relacionado con el hecho de que sus símbolos son casi invertibles. Más precisamente, un operador elíptico D en una variedad compacta tiene una parametrica (no única) (o pseudoinversa) D′ tal que DD′−1 y D′D−1 son ambos operadores compactos. Una consecuencia importante es que el núcleo de D es finito-dimensional, porque todos los eigenspaces de los operadores compactos, aparte del núcleo, son finitos-dimensionales. El pseudoinverso de un operador diferencial elíptico casi nunca es un operador diferencial. Sin embargo, es un operador pseudodiferencial elíptico.
Índice analítico Como el operador diferencial elíptico D tiene un pseudoinverso, es un operador de Fredholm. Cualquier operador de Fredholm tiene un índice, definido como la diferencia entre la dimensión (finita) del núcleo de D (soluciones de Df = 0), y la dimensión (finita) del cokernel de D (las restricciones en el lado derecho de una ecuación inhomogénea como Df = g, o equivalentemente el núcleo del operador adjunto). En otras palabras, Index(D) = dim Ker(D) − dim Coker(D) = dim Ker(D) − dim Ker(D*). Esto se llama a veces el índice analítico de D.
Ejemplo: Supongamos que la variedad es el círculo (pensado como R/Z), y D es el operador d/dx − λ para alguna constante compleja λ. (Este es el ejemplo más sencillo de un operador elíptico.) Entonces el núcleo es el espacio de múltiplos de exp(λx) si λ es un múltiplo integral de 2πi y es 0 en caso contrario, y el núcleo del adjunto es un espacio similar con λ sustituido por su conjugado complejo. Así que D tiene índice 0. Este ejemplo muestra que el núcleo y el cokernel de los operadores elípticos pueden saltar de forma discontinua al variar el operador elíptico, por lo que no existe una fórmula agradable para sus dimensiones en términos de datos topológicos continuos. Sin embargo, los saltos en las dimensiones del núcleo y del coquímetro son los mismos, por lo que el índice, dado por la diferencia de sus dimensiones, sí varía de forma continua, y puede darse en términos de datos topológicos por el teorema del índice. Índice topológico El índice topológico de un operador diferencial elíptico entre haces vectoriales suaves y y una 'variedad compacta' -dimensional viene dado por
en otras palabras el valor del componente dimensional superior de la clase de cohomología mixta en la clase de homología fundamental de la variedad . Aquí es la clase de Todd del haz tangente complejizado de . esigual a , donde es el Isomorfismo de Thom para el haz de esferas es en la clase de Chern es el "elemento de diferencia" en asociado a dos paquetes de vectores y sobre y un isomorfismo entre ellos en el subespacio . es el símbolo de
También se puede definir el índice topológico utilizando sólo la teoría K (y esta definición alternativa es compatible en cierto sentido con la construcción de caracteres de Chern anterior). Si X es una subvariedad compacta de una variedad Y entonces existe un mapa pushforward (o shriek) de K(TX) a K(TY). El índice topológico de un elemento de K(TX) se define como la imagen de esta operación con Y algún espacio euclidiano, para el cual K(TY) puede identificarse naturalmente con los enteros Z (como consecuencia de la periodicidad de Bott). Este mapa es independiente de la incrustación de X en el espacio euclidiano. Ahora un operador diferencial como el anterior define naturalmente un elemento de K(TX), y la imagen en Z bajo este mapa "es" el índice topológico.
Como es habitual, D es un operador diferencial elíptico entre haces vectoriales E y F sobre una variedad compacta X.
El problema del índice es el siguiente: calcular el índice (analítico) de D utilizando sólo el símbolo s y los datos topológicos derivados de la variedad y el haz vectorial. El «teorema del índice de Atiyah-Singer» resuelve este problema, y afirma:
El índice analítico de D es igual a su índice topológico.
A pesar de su formidable definición, el índice topológico suele ser fácil de evaluar explícitamente. Esto permite evaluar el índice analítico. El conúcleo y el núcleo de un operador elíptico son, en general, extremadamente difíciles de evaluar individualmente; el teorema del índice muestra que, por lo general, podemos evaluar al menos su diferencia. Muchos invariantes importantes de una variedad (como la firma) pueden darse como el índice de operadores diferenciales adecuados, por lo que el teorema del índice nos permite evaluar estos invariantes en términos de datos topológicos.
Aunque el índice analítico suele ser difícil de evaluar directamente, al menos es obviamente un número entero. El índice topológico es, por definición, un número racional, pero no suele ser del todo obvio, a partir de la definición, que también sea integral. Así que el «teorema del índice de Atiyah-Singer» implica algunas propiedades de integralidad profundas, ya que implica que el índice topológico es integral.
El índice de un operador diferencial elíptico obviamente desaparece si el operador es autoadjunto. También desaparece si la variedad X tiene dimensión impar, aunque hay operadores elípticos pseudodiferenciales cuyo índice no desaparece en dimensiones impares.
Relación con Grothendieck-Riemann-Roch El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue una de las principales motivaciones del teorema del índice porque el teorema del índice es la contrapartida de este teorema en el entorno de las variedades reales. Ahora bien, si hay un mapa de variedades compactas establemente casi complejas, entonces hay un diagrama conmutativoframeless|182x182pxsi es un punto, entonces recuperamos la afirmación anterior. Aquí es el grupo de Grothendieck de haces vectoriales complejos. Este diagrama conmutativo es formalmente muy similar al teorema GRR porque los grupos de cohomología de la derecha se sustituyen por el anillo de Chow de una variedad suave, y el grupo de Grothendieck de la izquierda viene dado por el grupo de Grothendieck de haces vectoriales algebraicos.
Extensiones del teorema del índice de Atiyah-Singer Teorema del índice de Teleman Debido a ,: Para cualquier operador elíptico abstracto en una variedad cerrada, orientada y topológica, el índice analítico es igual al índice topológico.
La demostración de este resultado pasa por consideraciones específicas, incluyendo la extensión de la teoría de Hodge sobre variedades combinatorias y de Lipschitz ,, la extensión del operador del índice de Atiyah-Singer a las variedades de Lipschitz , la K-homología de Kasparov y el cobordismo topológico .
Este resultado muestra que el teorema del índice no es simplemente una afirmación de diferenciabilidad, sino más bien una afirmación topológica.