Un formato de número de computadora es la representación interna de valores numéricos en hardware y software de dispositivos digitales, como en computadoras y calculadoras electrónicas. Los valores numéricos se almacenan como agrupaciones de bits, como bytes y palabras. La codificación entre valores numéricos y patrones de bits se elige por conveniencia de la operación de la computadora; la codificación utilizada por el conjunto de de un ordenador requiere conversión para su uso externo, ya sea para visualización o su impresión. Los distintos tipos de procesadores pueden tener diferentes representaciones internas de valores numéricos y se utilizan diversas convenciones para representar números enteros y reales. La mayoría de los cálculos se realizan con formatos numéricos que encajan en un registro de procesador, pero algunos sistemas de software permiten la representación de números arbitrariamente grandes utilizando varias palabras de memoria.

Representación de números binarios

Las computadoras representan datos en conjuntos de dígitos binarios. La representación está compuesta por bits, que a su vez se agrupan en conjuntos más grandes, como bytes.

+ Tabla 1: Binario a octal Cadena binaria Valor octal 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7

+ Tabla 2: Número de valores para una cadena de bits Longitud de una cadena de bits (b) Número de posibles valores (N) 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 ...

Un bit es un dígito binario que representa uno de dos posibles estados. El concepto de bit puede entenderse como un valor de 1 o de 0, activado o desactivado, sí o no, verdadero o falso, o codificado mediante algún tipo de interruptor de dos posiciones.

Si bien un solo bit, por sí solo, puede representar solo dos valores, se puede usar una cadena de bits para representar valores más grandes. Por ejemplo, una cadena de tres bits puede representar hasta ocho valores distintos, como se ilustra en la Tabla 1.

A medida que aumenta el número de bits que componen una cadena, el número de posibles combinaciones "0" y "1" aumenta exponencialmente. Un solo bit permite únicamente dos combinaciones de valores, dos bits combinados pueden representar cuatro valores distintos, con tres bits se obtienen ocho, y así sucesivamente, aumentando con la fórmula 2n. La cantidad de combinaciones posibles se duplica con cada dígito binario agregado como se ilustra en la Tabla 2.

Las agrupaciones con un número específico de bits se utilizan para representar diferentes conceptos y tienen nombres específicos.

Un byte es una cadena de bits que contiene el número de bits necesarios para representar un carácter. En la mayoría de las computadoras modernas, esta es una cadena de ocho bits. Debido a que la definición de un byte está relacionada con la cantidad de bits que componen un carácter, algunas computadoras más antiguas han usado una longitud de bits diferente para su byte. En muchas arquitecturas de ordenador, el byte es la unidad direccionable más pequeña, es decir, es el átomo de la direccionabilidad de un sistema informático. Por ejemplo, aunque los procesadores de 64 bits pueden direccionar en la memoria sesenta y cuatro bits a la vez, aún pueden dividir esa memoria en partes de ocho bits. Esto se denomina memoria direccionable por bytes. Históricamente, muchas unidades centrales de procesamiento leen datos en múltiplos de ocho bits. Debido a que el tamaño de bytes de ocho bits es tan común, aunque la definición no está estandarizada, el término octeto se usa a veces para describir explícitamente una secuencia de ocho bits.

Un nibble (a veces también escrito nybble), es un número compuesto por cuatro bits. El significado en inglés de la palabra "nibble" (mordisco), es un juego de palabras que hace referencia a que se trata de un fragmento de un byte. Debido a que cuatro bits permiten representar dieciséis valores, un nibble a veces se conoce como dígito hexadecimal.

Visualización de números octales y hexadecimales

El sistema octal y la codificación hexadecimal son formas convenientes de representar números binarios, tal como los usan las computadoras. Los ingenieros informáticos a menudo necesitan escribir cantidades binarias, pero en la práctica escribir un número binario como 1001001101010001 es tedioso y propenso a errores. Por lo tanto, las cantidades binarias se escriben en un formato de base 8, u "octal", o, mucho más comúnmente, en base 16, "hexadecimal" (hex), formato numérico. En el sistema decimal, hay 10 dígitos, del 0 al 9, que se combinan para formar números. En un sistema octal, solo hay 8 dígitos, del 0 al 7. Es decir, el valor de un "10" octal es el mismo que un "8" decimal, un "20" octal es un "16" decimal, por lo que un sistema hexadecimal, hay 16 dígitos: los comprendidos del 0 al 9, seguidos por convención, de la A a la F. Es decir, un "10" hexadecimal es lo mismo que un "16" decimal y un "20" hexadecimal es lo mismo que un "32" decimal. En el cuadro siguiente se describe un ejemplo y una comparación de números en diferentes bases.

Al escribir números, los caracteres de formato se utilizan para describir el sistema numérico, por ejemplo, 000_0000B o 0b000_00000 para números binarios y 0F8H o 0xf8 para números hexadecimales.

Conversión entre bases

+ Tabla 3: Comparación de valores en diferentes bases Decimal Binario Octal Hexadecimal 0 000000 00 00 1 000001 01 01 2 000010 02 02 3 000011 03 03 4 000100 04 04 5 000101 05 05 6 000110 06 06 7 000111 07 07 8 001000 10 08 9 001001 11 09 10 001010 12 0A 11 001011 13 0B 12 001100 14 0C 13 001101 15 0D 14 001110 16 0E 15 001111 17 0F

Cada uno de estos sistemas numéricos es un sistema posicional, pero mientras que las posiciones decimales representas potencias de 10, las posiciones octales son potencias de 8 y los posiciones hexadecimales son potencias de 16. Para convertir de hexadecimal u octal a decimal, para cada dígito 1, se multiplica el valor del dígito por el valor de su posición y luego se suman los resultados. Por ejemplo:

Representar fracciones en binario

Números de coma fija

El formato de coma fija puede resultar útil para representar fracciones en binario.

El número de bits necesarios para la precisión y el rango deseados se deben elegir para almacenar las partes fraccionarias y enteras de un número. Por ejemplo, si se usa un formato de 32 bits, se pueden usar 16 bits para el número entero y 16 para la fracción.

El bit de ocho es seguido por el bit de cuatro, luego el bit de dos y luego el bit de uno. Los bits fraccionarios continúan el patrón establecido por los bits enteros. El siguiente bit es el bit de la mitad, luego el bit de un cuarto, luego el bit de ⅛, y así sucesivamente. Por ejemplo: bits parte entera bits parte fraccionaria 0.500 = = 00000000 00000000.10000000 00000000 1.250 == 00000000 00000001.01000000 00000000 7.375 == 00000000 00000111.01100000 00000000 Esta forma de codificación no puede representar algunos valores en binario. Por ejemplo, la fracción , 0.2 en decimal, las aproximaciones más cercanas serían las siguientes: 13107 / 65536 = 00000000 00000000.00110011 00110011 = 0.1999969... en decimal 13108 / 65536 = 00000000 00000000.00110011 00110100 = 0.2000122... en decimal

Incluso si se utilizan más dígitos, es imposible una representación exacta. El número , escrito en decimal como 0.333333333 ..., continúa indefinidamente. Si se termina prematuramente, el valor no representaría con precisión.

Números de coma flotante Si bien los enteros con signo y sin signo se utilizan en los sistemas digitales, incluso un entero de 32 bits no es suficiente para manejar todo el rango de números que puede manejar una calculadora, y eso ni siquiera incluye fracciones. Para aproximar con mayor rango y precisión los números reales, se tienen que abandonar los enteros con signo y los números de coma fija y pasar a un formato de "coma flotante".

En el sistema decimal, son familiares los números con coma flotante de la forma (notación científica):

1.1030402 × 105 = 1.1030402 × 100000 = 110304.02

o, de forma más compacta:

1.1030402E5

lo que significa "1.1030402 por 1 seguido de 5 ceros". Se tiene un cierto valor numérico (1,1030402) conocido como "mantisa", multiplicado por una potencia de 10 (E5, que significa 105 o 100.000), conocida como "exponente". Si se tiene un exponente negativo, esto significa que el número se multiplica por un "1", colocado tantos lugares a la derecha del punto decimal. Por ejemplo:

2.3434E − 6 = 2.3434 × 10−6 = 2.3434 × 0.000001 = 0.0000023434

La ventaja de esta notación es que al usar el exponente se puede obtener un rango de números mucho más amplio, incluso si el número de dígitos en el significado, o la "precisión numérica", es mucho menor que el rango.

Se pueden definir formatos de coma flotante binarios similares para computadoras. Existe una serie de disposiciones de este tipo. La más popular ha sido definida por el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). La especificación estándar IEEE 754-2008 define un formato de punto flotante de 64 bits con:

Un exponente binario de 11 bits, utilizando el formato "exceso-1023". Exceso-1023 significa que el exponente aparece como un entero binario sin signo de 0 a 2047; restar 1023 da el valor real con signo Un significado de 52 bits, también un número binario sin signo, que define un valor fraccionario con un "1" implícito a la izquierda Un bit de signo, dando el signo del número.

Se muestra a continuación cómo se almacenaría un número en 8 bytes de memoria con este formato:

byte 0 S x10 x9 x8 x7 x6 x5 x4 byte 1 x3 x2 x1 x0 m51 m50 m49 m48 byte 2 m47 m46 m45 m44 m43 m42 m41 m40 byte 3 m39 m38 m37 m36 m35 m34 m33 m32 byte 4 m31 m30 m29 m28 m27 m26 m25 m24 byte 5 m23 m22 m21 m20 m19 m18 m17 m16 byte 6 m15 m14 m13 m12 m11 m10 m9 m8 byte 7 m7 m6 m5 m4 m3 m2 m1 m0

donde "S" denota el bit de signo, "x" denota un bit de exponente y "m" denota un bit del significando. Una vez que se han extraído los bits de aquí, se convierten con el cálculo siguiente:

<signo> × (1 + <significando fraccionario>) × 2<exponente> − 1023

Este sistema proporciona cifras válidas hasta aproximadamente 15 dígitos decimales, con el siguiente rango de números: máximo mínimo positivo 1.797693134862231E+308 4.940656458412465E-324 negativo -4.940656458412465E-324 -1.797693134862231E+308

La especificación también define varios valores especiales que no son números definidos, y se conocen como NaNs (abreviatura de "Not a Number", "No Un Número"), utilizados por programas para designar operaciones no válidas y similares.

Algunos programas también utilizan números de coma flotante de 32 bits. El esquema más común utiliza un significando de 23 bits con un bit de signo, más un exponente de 8 bits en formato "exceso-127", dando siete dígitos decimales válidos.

byte 0 S x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 byte 1 x0 m22 m21 m20 m19 m18 m17 m16 byte 2 m15 m14 m13 m12 m11 m10 m9 m8 byte 3 m7 m6 m5 m4 m3 m2 m1 m0 Los bits se convierten a un valor numérico con el cálculo:

<signo> × (1 + <significado fraccionario>) × 2<exponente> − 127

lo que lleva al siguiente rango de números: máximo mínimo positivo 3.402823E+38 2.802597E-45 negativo -2.802597E-45 -3.402823E+38

Estos números de punto flotante se conocen como "reales" o "flotantes" en general, pero con una serie de variaciones:

Un valor flotante de 32 bits a veces se denomina "real32" o "único", que significa "valor de coma flotante de precisión simple".

Un flotante de 64 bits a veces se denomina "real64" o "doble", que significa "valor de coma flotante de doble precisión".