thumb|right| Gottfried Leibniz argumentó que debían introducirse números idealizados que contuvieran infinitesimales
La historia del cálculo está repleta de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de los números denominados fluxiones o infinitesimales. La forma estándar de resolver estos debates es definir las operaciones de cálculo utilizando procedimientos épsilon-delta en lugar de infinitesimales. El análisis no estándarNonstandard Analysis in Practice. Edited by Francine Diener, Marc Diener. Springer, 1995.Nonstandard Analysis, Axiomatically. por V. Vladimir Grigorevich Kanovei, Michael Reeken. Springer, 2004.Nonstandard Analysis for the Working Mathematician. Editado por Peter A. Loeb, Manfred P. H. Wolff. Springer, 2000. reformula el cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de los números infinitesimales.
La técnica del análisis no estándar se originó a principios de la década de 1960, siendo impulsada por el matemático Abraham Robinson,Non-standard Analysis. By Abraham Robinson. Princeton University Press, 1974.Abraham Robinson and Nonstandard Analysis : History, Philosophy, and Foundations of Mathematics. By Joseph W. Dauben. quien escribió:
Robinson argumentó que esta ley de continuidad de Leibniz es un precursor del principio de transferencia, y continuó afirmando que:
y por último, argumentó que:
En 1973, el intuicionista Arend Heyting elogió curiosamente el análisis no estándar como "un importante modelo estándar de investigación matemática".Heijting, A. (1973) "Address to Professor A. Robinson. At the occasion of the Brouwer memorial lecture given by Prof. A.Robinson on the 26th April 1973." Nieuw Arch. Wisk. (3) 21, pp. 134—137.
Introducción Un elemento distinto de cero de un cuerpo ordenado es infinitesimal si y solo si su valor absoluto es más pequeño que cualquier elemento de de la forma , siendo un número natural estándar. Los cuerpos ordenados que tienen elementos infinitesimales también se denominan no arquimedianos. De manera más general, el análisis no estándar es cualquier forma de matemáticas que se base en el modelo no estándar y en el principio de transferencia. Un cuerpo que satisface el principio de transferencia para números reales es un número hiperreal, y el análisis real no estándar utiliza estos cuerpos como "modelos no estándar" de los números reales.
El enfoque original de Robinson se basó en estos modelos no estándar del cuerpo de los números reales. Su libro fundacional clásico sobre el tema Análisis no estándar fue publicado en 1966 y se ha seguido imprimiendo durante muchos años. En la página 88, Robinson escribe:
Se deben abordar varios problemas técnicos para desarrollar un cálculo de infinitesimales. Por ejemplo, no es suficiente construir un cuerpo ordenado con infinitesimales. Consúltese el artículo sobre números hiperrales para obtener una discusión sobre algunas de las ideas más relevantes.
Definiciones básicas En esta sección se describe uno de los enfoques más simples para definir un cuerpo hiperreal . Sea el cuerpo de los números reales y sea el semianillo de los números naturales. Denótese por el conjunto de secuencias de números reales. Un cuerpo se define como un cociente propio de , como sigue. Tómese un ultrafiltro no principal. En particular, contiene un filtro de Fréchet. Considérese un par de secuencias
Se dice que y son equivalentes si coinciden en un conjunto de índices que es miembro del ultrafiltro, o en fórmulas:
El cociente de por la relación de equivalencia resultante es un cuerpo hiperreal , una situación resumida por la fórmula .
Motivación Hay al menos tres puntos de vista para estudiar el análisis no estándar: histórico, pedagógico y técnico.
Histórico Gran parte del desarrollo más temprano del cálculo infinitesimal protagonizado por Newton y Leibniz se formuló utilizando expresiones como número infinitesimal o cantidad de fuga. Como se señaló en el artículo sobre números hiperreales, estas formulaciones fueron ampliamente criticadas por George Berkeley y otros filósofos. Fue un desafío desarrollar una teoría del análisis consistente usando infinitesimales y la primera persona en hacerlo de manera satisfactoria fue Abraham Robinson.
En 1958 Curt Schmieden y Detlef Laugwitz publicaron un artículo "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung"Curt Schmieden and Detlef Laugwitz: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung, Mathematische Zeitschrift 69 (1958), 1-39 ("Una extensión del cálculo infinitesimal") que proponía la construcción de un anillo que contiene infinitesimales. El anillo se construyó a partir de secuencias de números reales. Dos secuencias se consideraron equivalentes si diferían solo en un número finito de elementos. Las operaciones aritméticas se definieron por elementos. Sin embargo, el anillo construido de esta manera contiene cero divisores y, por lo tanto, no puede ser un cuerpo.
Pedagógico H. Jerome Keisler, David Tall y otros educadores sostienen que el uso de infinitesimales es más intuitivo y más fácil de comprender por los estudiantes que la aproximación "épsilon-delta" para los conceptos analíticos.H. Jerome Keisler, Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. First edition 1976; 2nd edition 1986: full text of 2nd edition Este enfoque a veces puede proporcionar demostraciones de resultados más fáciles que la correspondiente formulación épsilon-delta. Gran parte de la simplificación proviene de la aplicación de reglas muy sencillas de aritmética no estándar, como sigue:
infinitesimal × finito = infinitesimal
infinitesimal + infinitesimal = infinitesimal
junto con el principio de transferencia mencionado a continuación.
Otra aplicación pedagógica del análisis no estándar es el tratamiento que hace Edward Nelson de la teoría del proceso estocástico.Edward Nelson: Radically Elementary Probability Theory, Princeton University Press, 1987, full text
Técnico Se ha realizado algún trabajo reciente en análisis utilizando conceptos de análisis no estándar, particularmente en la investigación de procesos limitantes de estadística y física matemática. Sergio Albeverio y sus colaboradoresSergio Albeverio, Jans Erik Fenstad, Raphael Høegh-Krohn, Tom Lindstrøm: Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics, Academic Press 1986. analizan algunas de estas aplicaciones.
Enfoques para el análisis no estándar Hay dos enfoques principales diferentes para el análisis no estándar: el semántico o teoría de modelos; y el enfoque sintáctico. Ambos enfoques se aplican a otras áreas de las matemáticas más allá del análisis, incluida la teoría de números, el álgebra y la topología.
La formulación original de Robinson del análisis no estándar entra en la categoría del "enfoque semántico". Según lo desarrollado en sus artículos, se basa en el estudio de modelos (en particular modelos saturados) de una teoría. Desde que apareció por primera vez el trabajo de Robinson, se ha desarrollado un enfoque semántico más simple (debido a Elias Zakon) utilizando objetos puramente de la teoría de conjuntos llamados superstructuras. En este enfoque, un modelo de una teoría se reemplaza por un objeto llamado una superestructura sobre un conjunto . Partiendo de una superestructura se construye otro objeto usando la construcción de ultrapotencia junto con una aplicación que satisface el principio de transferencia. La aplicación * relaciona propiedades formales de y de . Además, es posible considerar una forma más simple de saturación, denominada saturación numerable. Este enfoque simplificado también es más adecuado para matemáticos que no son especialistas en teoría o lógica de modelos.
El enfoque sintáctico requiere mucha menos lógica y teoría de modelos para comprender y utilizar. Este enfoque fue desarrollado a mediados de la década de 1970 por el matemático Edward Nelson, quien introdujo una formulación completamente axiomática del análisis no estándar que llamó teoría de conjuntos internos (TCI). Edward Nelson: Internal Set Theory: A New Approach to Nonstandard Analysis, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 83, Number 6, November 1977. A chapter on internal set theory is available at https://www.math.princeton.edu/~nelson/books/1.pdf La teoría de conjuntos internos es una extensión de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) en el sentido de que junto con la relación de pertenencia binaria básica ∈, introduce un nuevo predicado unario estándar, que se puede aplicar a elementos del universo matemático junto con algunos axiomas para razonar con este nuevo predicado.
El análisis sintáctico no estándar requiere mucho cuidado al aplicar el principio de formación de conjuntos (formalmente conocido como axioma de comprensión), que los matemáticos generalmente dan por sentado. Como señala Nelson, una falacia en el razonamiento en TCI es la de la formación ilegal de conjuntos. Por ejemplo, no hay ningún conjunto en TCI cuyos elementos sean precisamente los enteros estándar (aquí estándar se entiende en el sentido del nuevo predicado). Para evitar la formación ilegal de conjuntos, solo se deben usar predicados de Zermelo-Fraenkel para definir subconjuntos.
Otro ejemplo del enfoque sintáctico es la teoría de conjuntos alternativa,Vopěnka, P. Mathematics in the Alternative Set Theory. Teubner, Leipzig, 1979. introducida por Petr Vopěnka, tratando de encontrar axiomas de la teoría de conjuntos más compatibles con el análisis no estándar que los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
En 2018 Abdeljalil Saghe propuso un enfoque explícito para construir el campo del análisis no estándar sin usar los ultrafiltros.
En el mismo año de 2018, Anggha Nugraha introdujo otro enfoque para crear lo que denominó análisis infinitesimal ingenuo. Su enfoque se encuentra entre los dos enfoques mencionados anteriormente (enfoques semántico y sintáctico). Semánticamente, propuso un modelo, , que de alguna manera es una versión simplificada de . Sin embargo, no permitió que esto se interpusiera en el camino del objetivo de usar un lenguaje común para hablar tanto de como de . Axiomáticamente, también habló de sintaxis. Usó algunos principios que recuerdan a Bell, así como a la microestabilidad. Sin embargo, no tenía ninguna necesidad de distinguir entre conjuntos internos y externos, ya que su estrategia es Fraccionada y Permeada, por lo que no tuvo que preocuparse por las inconsistencias que surgen al combinar los dos puntos de vista. Otra ventaja de usar este enfoque es que funciona de manera razonablemente intuitiva sin atascarse (demasiado) en complicaciones técnicas.
Libro de Robinson El libro de Abraham Robinson "Análisis no estándar" se publicó en 1966. Algunos de los temas desarrollados en el libro ya estaban presentes en su artículo de 1961 con el mismo título (Robinson 1961).Robinson, Abraham: 'Non-Standard Analysis', Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Amsterdam Proc. AM (=Indag. Math. 23), 1961, 432-440. Además de contener el primer tratamiento completo del análisis no estándar, el libro contiene una sección histórica detallada donde Robinson desafía algunas de las opiniones recibidas sobre la historia de las matemáticas basadas en la percepción del análisis pre-no estándar de los infinitesimales como entidades inconsistentes. Por lo tanto, Robinson defiende la idea de que el teorema de la suma planteada por Augustin Louis Cauchy en su Cours d'Analyse con respecto a la convergencia de una serie de funciones continuas era incorrecta, y propone una interpretación infinitesimal de su hipótesis que da como resultado un teorema correcto.
Problema del subespacio invariante Abraham Robinson y Allen Bernstein utilizaron un análisis no estándar para demostrar que cada aplicación lineal polinomialmente compacta en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante.Allen Bernstein and Abraham Robinson, Solution of an invariant subspace problem of K. T. Smith and P. R. Halmos, Pacific Journal of Mathematics 16:3 (1966) 421-431