thumb|300px|En un polígono regular convexo con n lados, el ángulo en el centro mide 2a, siendo a = /n
En matemáticas, y más precisamente en álgebra, se puede intentar calcular el polinomio mínimo asociado con un número de la forma , o , siendo un número racional. Estos números se denominan en el artículo valores trigonométricos especiales.
El polinomio mínimo de un número algebraico es el polinomio mónico con coeficientes racionales de menor grado de los que es una raíz.
Las medidas de ángulos con la forma se encuentran en muchos problemas geométricos; en particular, las medidas de ángulos del tipo (para cualquier entero ) corresponden a los ángulos centrales de los polígonos regulares convexos.
Enfoque intuitivo thumb|right|300px|Para comprobar que , se puede utilizar un triángulo equilátero. Aplicándole el teorema de Pitágoras, es inmediato comprobar que la altura del triángulo equilátero mide
Cuando se aprende trigonometría, rápidamente se ve que el coseno y el seno de las medidas de ciertos ángulos tienen una forma particular, que involucra raíces cuadradas. Así, para un ángulo de 30 grados, es decir, radianes, el teorema de Pitágoras permite demostrar que: .
Esto equivale a decir que es una de las soluciones de la ecuación . La otra solución a esta ecuación es , que también tiene la forma .
La ecuación es polinómica: se expresa en la forma , donde es un polinomio. Como tiene coeficientes racionales, sus raíces son números algebraicos. Además, es unitario, es decir, su monomio es 1, e irreducible sobre , es decir, no se puede factorizar en un producto de polinomios con coeficientes racionales.A diferencia de los polinomios irreducibles en (que son de grado 1 o 2) o sobre (de grado 1), los polinomios irreducibles en (como () pueden existir en todos los grados. es, por tanto, de grado mínimo entre los polinomios con coeficientes racionales que se anulan en : en consecuencia, es su polinomio mínimo.
Las preguntas que surgen naturalmente son: ¿Cuál es la forma más relevante de escribir un múltiplo racional de ? La respuestaVéase «Écriture pertinente d'un multiple rationnel de » en Wikiversidad. es: si se está interesado en su coseno, si se está interesado en su seno o su tangente; ¿Son algebraicos el coseno, el seno y la tangente? La respuesta es sí; ¿Todavía se puede expresarlos usando raíces cuadradas? La respuesta esta vez es no; ¿Se puede al menos siempre expresarlos usando raíces n-ésimas? La respuesta es sí si se permite trabajar con números complejos; ¿Cómo se obtienen los polinomios mínimos de estos números?
También se verá que es posible reducir el grado de estos polinomios, incluso si eso significa dejar de trabajar solo con polinomios con coeficientes racionales.
Naturaleza algebraica de los valores trigonométricos especiales Teorema
Esta demostración es breve pero utiliza principalmente el hecho de que el conjunto de números algebraicos es estable respecto a la suma y el producto, lo que es difícil de probar. Se puede preferir una demostración usando herramientas más elementales (véase Algunos polinomios canceladores).
Grado algebraico El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. Derrick Henry Lehmer calculó el grado de :. Su segundo teorema sobre el grado de es falso.. .
si y son primos entre sí, el grado de vale ,La función indicadora de Euler toma solo valores pares a partir de . Por lo tanto, es un número entero.
donde es la función indicatriz de Euler. La demostración simplemente usa la irreductibilidad del -ésimio polinomio ciclotómico (véase Con polinomios ciclotómicos).
Gracias a las identidades y fórmulas de trigonometría , se puede deducir fácilmente que:
el grado de vale:Para obtener una formulación más complicada pero equivalente, consúltese, por ejemplo . si es impar o divisible entre 4; de lo contrario.
En cuanto al grado de , si y y son coprimos, es:. si es divisible por 4; en caso contrario.
Racionalidad Los racionales son números algebraicos de grado 1, un corolarioAunque se había demostrado muchas veces antes de que Niven lo mencionara como un mero corolario, lleva el nombre de teorema de Niven., corolario 3.12 y notas. de la sección anterior es que para los múltiples ángulos racionales de , los únicos valores racionales de las funciones trigonométricas habituales son: para y :. , y ; para :. y .
Expresión de valores trigonométricos especiales usando radicales Expresión con raíces cuadradas 124 10 4 8 4 6254 4232
Un polígono regular con vértices es construible con regla y compás si y solo si es una potencia de dos. De hecho, su ángulo en el centro es , pero un corolario del teorema de Wantzel afirma que si un número es construible, entonces su grado es una potencia de , y lo contrario es falso en general pero verdadero para los valores trigonométricos especiales.
Gauss dio ya en 1796 (en una forma más explícita) esta condición suficiente sobre el entero para que el polígono regular con vértices sea construible, afirmando que también es necesaria, lo que Wantzel confirmó, dando origen al teorema de Gauss-Wantzel.
Por ejemplo, el heptágono, el eneágono regular y el endecágono regular no son construibles porque y , mientras que para los otros valores de desde a , el -gono regular es construible, como se explica en la siguiente tabla (para obtener más valores de , consúltese esta tabla de y este artículo sobre valores trigonométricos especiales expresables con raíces cuadradas).
Expresión con raíces n-ésimas El polinomio mínimo de es , cuyas otras dos raíces son y . Como estas tres raíces son reales, se está en el “casus irreducibilis”, que no se puede resolver trigonométricamente con las combinaciones de números reales vistas hasta ahora. Esto explica por qué nunca es posible encontrar una expresión de con raíces cuadradas o cúbicas reales en forma trigonométrica: solo se puede dar un valor aproximado, o indicar su polinomio mínimo, del que es la única raíz positiva.
Sin embargo, existe una expresión radical de , siempre que se permita el uso de raíces cuadradas y cúbicas de números complejos; esta expresión viene dada por el método de Cardano:Con la siguiente convención: ya sea un número complejo , donde es un número real positivo y está en el intervalo , la raíz -ésima principal de es .
.
Es lo mismo para , también algebraico de grado 3.
¿Qué pasa con los polinomios de grado aún mayor? Niels Henrik Abel y Évariste Galois demostraron que es imposible expresar en general las raíces de un polinomio de grado 5 o superior mediante radicales. Sin embargo, se ha visto en el apartado anterior que determinados valores de , de grados tan grandes como se quiera, se expresan mediante raíces cuadradas y por tanto mediante radicales (véase por ejemplo la expresión de , de grado ).
De hecho, tiene siempre una expresión radical (en los números complejos), Una descripción general de esta pregunta en el sitio de MathOverflow. cálculo de (de grado 5). ya que el grupo de Galois de su polinomio mínimo es abeliano, y por lo tanto resoluble (es isomorfo a (ℤ/nℤ)/{1, –1}, como cociente del grupo de Galois del -ésimo cuerpo ciclotómico por el subgrupo de orden 2 engendrado por conjugación). Más simplemente, , y (con racional) siempre pueden ser expresados trivialmente con radicales (complejos), ya que es una raíz de la unidad.
Polinomios con coeficientes no racionales ConsidérenseMuchos otros ejemplos, incluido uno más detallado que este, se pueden encontrar en «Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)» los cuatro números reales (para primo con respecto a ), de grado . Se calculan fácilmente: . es, por tanto, la raíz de los siguientes tres polinomios, de segundo grado, con inevitablemente no todos los coeficientes racionales:
y el polinomio mínimo se puede factorizar de tres formas: . Los seis factores cuadráticos tienen coeficientes en un cuerpo cuadrático ( igual a 6, 2 o 3), es decir la forma , con y racionales.
Existen tres factorizaciones porque el grupo de Galois de , (ℤ/24ℤ)/{1, –1}, es isomorfo a (ℤ/8ℤ) y por lo tanto al grupo de Klein, que tiene tres subgrupos de índice 2.
En el caso general (con y y primos entre sí), se encontrará al menos una factorización de este tipo (producto de dos polinomios con coeficientes en el mismo cuerpo cuadrático y de grado ) si (y solo si) es divisible entre 4. Solo habrá una si (ℤ/nℤ)/{1, –1} es cíclico.
Cálculo del polinomio mínimo con coeficientes racionales Algunos polinomios canceladores Para cualquier racional, es fácilVéase «Polynômes de Tchebychev et polynômes annulateurs» encontrar un polinomio que se cancele en , o .
Para , se deduce de la fórmula de De Moivre que , donde es un polinomio de grado con coeficientes enteros (el -ésimo polinomio de Chebyshov del primer tipo). Ahora, para , , y por lo tanto, es la raíz del polinomio .
Se deducen fácilmente polinomios de cancelación de grado para y , gracias a las fórmulas del ángulo doble: .
Esta segunda prueba de la algebraicidad de los valores trigonométricos especiales es constructiva, porque proporciona una expresión de un polinomio cancelador, es decir, de un polinomio como para , o . Pero dados sus grados, los polinomios encontrados por este método no son mínimos si (véase grado algebraico).
A menudo es posible construir polinomios canceladores de grados más pequeños. Por ejemplo, si es impar, , se tiene que: para : ; por lo tanto para : ; y para : , que proporciona polinomios de cancelación: para : de grado , para y : de grado . Si es primo, son incluso de grado mínimo, por identificación directa (véase el siguiente apartado) o simplemente viendo sus grados (véase Grado algebraico.O, para y , de acuerdo con el criterio de Eisenstein: cf. .
Polinomio mínimo de El método de Lehmer (véase grado algebraico)Reprodcido por , que intenta deducir un método para . permite calcular los polinomios mínimos de (para y primos entre sí) y deducir de ellos los de . Se presenta aquí solo en el caso de los cosenos,Véase el teorema correspondiente en «Polynôme minimal de » en Wikiversité, ilustrado por los ejemplos o y más generalmente, potencia de un número primo. para el ejemplo .
Sea el 15º polinomio ciclotómico habitual: .
es de grado . Se multiplica por : . Se obtiene un nuevo polinomio con coeficientes enteros en , según el cálculo proporcionado por el polinomios de Chebyshov: .
El procedimiento funciona porque los polinomios ciclotómicos son polinomios palindrómicos, es decir, tienen los mismos coeficientes cuando se leen sus términos tanto en orden de grado creciente como decreciente.
Para , se tiene que . Sin embargo, por definición, el polinomio ciclotómico tiene precisamente por raíces los complejos con y primos entre sí. Por lo tanto, el número es la raíz de: .
Además, dado que es irreducible sobre , también lo es.
Se determina el polinomio mínimo común a , , y : .
Listas de polinomios mínimos Aquí hay una lista de los primeros polinomios mínimosVéase también «Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n)» y «Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)» de ,Extraido de > (). El polinomio mínimo de es igual al de si y se deduce del de si no: véase «Conséquences pour »Deducido de > (), pero también se deduce de la columna «Polinomio mínimo de »: véase nota precedente. y El polinomio mínimo de se educe del de para un ángulo doble, con un cálculo adicional si es divisible por 4: véase «Polynôme minimal de » en Wikiversité, donde se tratan los ejemplos .En parte () deducido de y () extraido de , pero también se deduce de la columna «Polinomio mínimo de »: véase la nota precedente. para :
Polinomio mínimo de Polinomio mínimo de Polinomio mínimo de 124111010496847662544232
Véase también Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales Teorema de Niven Fórmulas trigonométricas en kπ/7 Núcleo de Dirichlet
Notas
Referencias
Bibliografía