En matemáticas, un polinomio de grado con coeficientes reales o complejos siempre posee raíces complejas (sin olvidar que los números reales forman parte de los complejos), y teniendo en cuenta su posible multiplicidad. Forman un conjunto de puntos en el plano complejo. Este artículo se refiere a las propiedades geométricas de estos puntos en el plano complejo que se pueden deducir del grado y de los coeficientes del polinomio.

Algunas de estas propiedades geométricas, como los límites superiores de los valores absolutos de las raíces, que definen un disco que contiene todas las raíces, o los límites inferiores de la distancia entre dos raíces, se utilizan ampliamente en la resolución numérica de ecuaciones no lineales para polinomios, ya sea para ajustarlos o para calcular su complejidad computacional. Otras propiedades son probabilísticas, como el número esperado de raíces reales de un polinomio aleatorio de grado con coeficientes reales, que es menor que para suficientemente grande.

En este artículo, un polinomio siempre se denota como:

donde son números reales o complejos y ; y por lo tanto, es el grado del polinomio.

Dependencia continua de los coeficientes Las raíces de un polinomio de grado dependen de forma continua de los coeficientes. Para raíces simples, esto se deduce directamente del teorema de la función implícita. Esto también es cierto para múltiples raíces, pero se necesita cierto cuidado para demostrarlo.

Un pequeño cambio de coeficientes puede inducir un cambio drástico de las raíces, incluido el cambio de una raíz real a una raíz compleja con una parte imaginaria bastante grande (véase polinomio de Wilkinson). Una consecuencia es que, para los algoritmos de búsqueda de raíces numéricos clásicos, el problema de aproximar las raíces dados los coeficientes es un problema mal condicionado.

Conjugación

El teorema de la raíz conjugada compleja establece que si los coeficientes de un polinomio son reales, entonces las raíces no reales aparecen en pares de la forma .

De ello se deduce que las raíces de un polinomio con coeficientes reales son especularmente simétricas con respecto al eje real.

Esto se puede extender a la conjugación algebraica: las raíces de un polinomio con coeficientes racionales son conjugadas (es decir, invariantes) bajo la acción del grupo de Galois del polinomio. Sin embargo, esta simetría rara vez se puede interpretar geométricamente.

Acotación de todas las raíces Los límites superiores de los valores absolutos de las raíces polinomiales se utilizan ampliamente para la resolución numérica de ecuaciones no lineales, ya sea para delimitar las regiones donde se deben buscar las raíces o para calcular la complejidad computacional de estos algoritmos.

Se han dado muchos de estos límites, y su precisión depende generalmente de la secuencia específica de coeficientes que se considere. La mayoría de los límites son mayores o iguales a uno y, por lo tanto, no son eficientes para un polinomio que solo tenga raíces de valores absolutos inferiores a uno. Sin embargo, tales polinomios son muy raros, como se muestra a continuación.

Cualquier límite superior de los valores absolutos de las raíces proporciona un límite inferior correspondiente. De hecho, si y es un límite superior de los valores absolutos de las raíces de

entonces es un límite inferior de los valores absolutos de

ya que las raíces de cualquiera de los polinomios son las inversas multiplicativas de las raíces del otro. Por lo tanto, en el resto del artículo no se darán límites inferiores explícitamente.

Límites de Lagrange y de Cauchy Joseph-Louis Lagrange y Augustin Louis Cauchy fueron los primeros en proporcionar límites superiores para todas las raíces complejas. La cota superior de Lagrange esLagrange J–L (1798) Traité de la résolution des équations numériques. Paris.

y la de Cauchy esCauchy Augustin-Louis (1829). Exercices de mathématique. Œuvres 2 (9) p.122

El límite de Lagrange es más fino (más preciso) que el límite de Cauchy solo cuando la suma de todos los es menor que 1 (aunque es mayor que el más grande de estos sumandos). Esta condición es relativamente rara en la práctica, lo que explica que la cota de Cauchy se use más ampliamente que la de Lagrange.

Ambos límites resultan del teorema de Gerschgorin aplicado a la matriz compañera del polinomio y a su matriz transpuesta. También pueden probarse mediante métodos elementales.

Estas cotas superiores no son invariantes respecto a la escala. Es decir, las raíces del polinomio son el cociente de las raíces de por , pero los límites dados para las raíces de no son el cociente por de las cotas superiores de . Por lo tanto, se pueden obtener límites más nítidos minimizando las posibles escalas. De aquí se deducen las expresiones

y

para las cotas de Lagrange y de Cauchy respectivamente.

Otro límite, originalmente dado por Lagrange, pero atribuido a Zassenhaus por Donald Knuth, es:

Esta acotación es invariante ante la escala.

Lagrange mejoró esta última acotación en la suma de los dos valores más grandes (que pueden ser iguales) en la secuencia:

También proporcionó el resultado relacionado

donde denota el coeficiente -ésimo distinto de cero cuando los términos de los polinomios se ordenan por grados crecientes.

Usando la desigualdad de Hölder La desigualdad de Hölder permite la extensión de las cotas superiores de Lagrange y de Cauchy a cada norma-. La norma de una secuencia

es

para cualquier número real , y

Si con y , un límite superior en los valores absolutos de las raíces de es

Para y , se obtienen los límites de Cauchy y Lagrange, respectivamente.

Para , se obtiene el límite

Esto no es solo una cota de los valores absolutos de las raíces, sino también una cota del producto de sus valores absolutos mayores que 1; véase la desigualdad de Landau a continuación.

Otros límites Se han dado muchos otros límites superiores para las magnitudes de todas las raíces.

La acotación de Fujiwara es:

mejora ligeramente la cota anterior, dividiendo por dos el último argumento del máximo.

La acotación de Kojima es:

donde denota el coeficiente -ésimo distinto de cero cuando los términos de los polinomios se ordenan por grados crecientes. Si todos los coeficientes son distintos de cero, la cota de Fujiwara es más fina, ya que cada elemento en la cota de Fujiwara es la media geométrica de los primeros elementos en la cota de Kojima.

Sun y Hsieh obtuvieron otra mejora en la cota de Cauchy. Supóngase que el polinomio es monico con el término general . Sun y Hsieh demostraron que los límites superiores y se pueden obtener a partir de las siguientes ecuaciones:

es la raíz positiva de la ecuación cúbica

También señalaron que .

Desigualdad de Landau Los límites anteriores son acotaciones superiores para cada raíz por separado. La desigualdad de Landau proporciona un límite superior para el producto de las raíces que tienen un valor absoluto mayor que uno. Esta desigualdad, descubierta en 1905 por Edmund Landau,E. Landeau, Sur quelques th&or&mes de M. Petrovic relatifs aux zéros des fonctions analytiques, Bull. Sot. Math. France 33 (1905), 251-261. ha sido olvidada y redescubierta al menos tres veces durante el .M. Mignotte. An inequality about factors of polynomials, Math. Comp. 28 (1974). 1153-1157.W. Specht, Abschätzungen der Wurzeln algebraischer Gleichungen, Math. Z. 52 (1949). 310-321.J. Vincente Gonçalves, L’inégalité de W. Specht. Univ. Lisboa Revista Fac. Ci A. Ci. Mat. 1 (195O), 167-171.

Este límite del producto de raíces no es mucho mayor que los mejores límites precedentes de cada raíz por separado. Sea las raíces del polinomio . Si

es la medida de Mahler de , entonces

Sorprendentemente, este límite del producto de los valores absolutos mayores que 1 de las raíces no es mucho mayor que los mejores límites de "una" raíz que se han dado anteriormente. Este límite es incluso exactamente igual a uno de los límites que se obtienen usando la desigualdad de Holder.

Esta cota también es útil para limitar los coeficientes de un divisor de un polinomio con coeficientes enteros:Mignotte, M. (1988). An inequality about irreducible factors of integer polynomials. Journal of number theory, 30(2), 156-166. Si

es un divisor de , entonces

y, por las relaciones de Cardano-Vieta,

para , donde es un coeficiente binomial. Por lo tanto

y

Discos que contienen algunas raíces

Del teorema de Rouché

El teorema de Rouché permite definir discos centrados en cero y que contienen un número determinado de raíces. Más precisamente, si existen un número real positivo y un entero tales que

entonces hay exactamente raíces, contadas con multiplicidad, de valor absoluto menor que .

El resultado anterior se puede aplicar si el polinomio

toma un valor negativo para algún valor real positivo de .

En el resto de la sección, se supone que . Si no es el caso, cero es una raíz, y la localización de las otras raíces se puede estudiar dividiendo el polinomio por una potencia de la variable, para obtener un polinomio con un término constante distinto de cero.

Para y , la regla de los signos de Descartes muestra que el polinomio tiene exactamente una raíz real positiva. Si y son estas raíces, el resultado anterior muestra que todas las raíces verifican que

Estas desigualdades se aplican también a y . Estos límites son óptimos para polinomios con una secuencia dada de los valores absolutos de sus coeficientes. Por lo tanto, son más nítidos que todos los límites dados en las secciones anteriores.

Para , la regla de los signos de Descartes implica que tiene dos raíces reales positivas que no son múltiples o no son negativas para cada valor positivo de . Por lo tanto, el resultado anterior se puede aplicar solo en el primer caso. Si son estas dos raíces, el resultado anterior implica que

para las raíces de , y que

para las otras raíces.

En lugar de calcular explícitamente y , generalmente es suficiente calcular un valor tal que (necesariamente ). Estos tienen la propiedad de separar raíces en términos de sus valores absolutos: si, para , existen tanto como , hay exactamente raíces tales que

Para calcular se puede usar que es una función convexa (su segunda derivada es positiva). Por lo tanto, existe si y solo si es negativo en su mínimo único. Para calcular este mínimo, se puede usar cualquier método de optimización o, alternativamente, el método de Newton para calcular el cero positivo único de la derivada de (converge rápidamente, ya que la derivada es una función monótona).

Se puede aumentar el número de existentes aplicando la operación de cuadratura de la raíz de la iteración de Dandelin-Graeffe. Si las raíces tienen valores absolutos distintos, entonces se pueden separar completamente las raíces en términos de sus valores absolutos, es decir, calcular números positivos de manera que haya exactamente una raíz con un valor absoluto en el intervalo abierto para .

Del teorema del círculo de Gershgorin El teorema de Gerschgorin aplica la matriz compañera del polinomio sobre una base relacionada con la interpolación polinómica de Lagrange. Proporciona discos centrados en los puntos de interpolación y cada uno contiene una raíz del polinomio; consúltese el método de Durand-Kerner para obtener más detalles.

Si los puntos de interpolación están cerca de las raíces del polinomio, los radios de los discos son pequeños, y este es un elemento clave del método Durand-Kerner para calcular las raíces polinómicas.

Límites de raíces reales

Para polinomios con coeficientes reales, a menudo es útil delimitar solo las raíces reales. Basta con unir las raíces positivas, ya que las raíces negativas de son las raíces positivas de .