En matemáticas, más particularmente en geometría algebraica y en teoría de números, una valoración, o valoración de Krull, es una medida de multiplicidad. La noción es una generalización de la noción de grado u orden de cancelación de un anillo de polinomios en álgebra, del grado de divisibilidad por un número primo en teoría de números, del orden de un polo en análisis complejo o del número de puntos de contacto entre dos variedades algebraicas en geometría algebraica.

Definición

Se denomina valoración a una aplicación de un anillo conmutativo unitario distinto de cero a un grupo abeliano totalmente ordenado y su unión con el infinito

que verifica las siguientes propiedades:

, propiedad que está conectada a la desigualdad triangular en espacios métricos.

Notas: Se utilizan las convenciones clásicas y para todos los . Algunos autores se limitan a realizar evaluaciones en un cuerpo. Si es un cuerpo o no, es un morfismo de monoides de en . Cuando es un cuerpo, es, por lo tanto, un homomorfismo de grupos de en , de modo que es un subgrupo de . Cuando es un cuerpo, a veces se exige que sea sobreyectiva, pero siempre se puede volver a esta situación reemplazando por .

Se dice que dos valoraciones y en son equivalentes si hay un isomorfismo de semigrupos ordenados

Valoraciones discretas

Cuando el grupo es , se denomina valoración de Dedekind o valoración discreta. Dos valoraciones discretas y sobre son equivalentes si y solamente si son proporcionales, es decir, si existe un número racional no nulo tal que

Las clases de equivalencia de valoraciones discretas en un anillo se denominan sus lugares.

Valoración trivial

La valoración

se llama valoración trivial.

Propiedades Propiedades generales Sea un anillo conmutativo unitario distinto de cero provisto de una valoración . Entonces:

es un dominio de integridad; existe una única valoración en un cuerpo de fracciones que amplía : .

Valoraciones discretas sobre el cuerpo de los racionales

Los lugares de , es decir, las valoraciones discretas de (sin considerar un factor de proporcionalidad), son los de: valoración trivial; las valoraciones p-ádicas.

Valor absoluto asociado Sea una valoración de con valores reales, y ∈ ]0, 1[. Se asocia con un valor absoluto ultramétrico (la noción de valor absoluto generalmente se define en un campo, pero perfectamente definible en cualquier anillo, y siempre induce una distancia en su conjunto subyacente; véase más adelante) expresado como ; y tal que .

La distancia asociada a este valor absoluto () hace que sea un anillo topológico que incluye la topología derivada de un espacio ultramétrico.

Si es un cuerpo, entonces es un cuerpo valorado, por lo que su anillo completado (para ) es un cuerpo valorado completo. Por la prolongación de las desigualdades, el valor absoluto de este anillo completado sigue siendo ultramétrico. Por ejemplo, los cuerpos y pueden obtenerse mediante esta construcción.

Ejemplos

Las siguientes aplicaciones son valoraciones:

Orden de cancelación de un polinomio

Sea un cuerpo conmutativo, el anillo de los polinomios con coeficientes en y un elemento de . Se define la aplicación «orden de cancelación en »:

que con un polinomio distinto de cero asocia el orden de multiplicidad de la raíz en (orden que es igual a 0 si no es raíz, y el infinito si es cero).

Si es distinto de cero, es igual al grado del menor monomio distinto de cero de .

Nota: Si pertenece a una extensión de (por ejemplo, en el cierre algebraico de ), la valoración en está restringida a una valoración sobre .

Orden de cancelación de una fracción racional

Sea un cuerpo conmutativo, el campo de las fracciones racionales con coeficientes en y un elemento de . Se define la aplicación

que asocia a una fracción racional la diferencia de las órdenes de cancelación del numerador y del denominador en . Si es positivo, es el orden de cancelación de sobre , si es estrictamente negativo, es el orden del polo de en .

Opuesto al grado de un polinomio Sea un campo conmutativo y el anillo de polinomios con coeficientes en . Se define la aplicación

que un polinomio asocia el opuesto de su grado, con la convención de que el grado del polinomio cero es .

Orden de una serie de Laurent En el cuerpo de series formales de Laurent en un campo conmutativo , se tiene una valoración asociando cualquier serie de Laurent con su orden.

Orden de una función meromórfica Si es un conjunto abierto conexo no vacío del cuerpo de los números complejos; y si es un punto de , se tiene una valoración en el cuerpo de funciones meromorfas en por asociar a cualquier función meromorfa su orden en el punto .

Valoración p-ádica

Dado el número primo , se define la aplicación

que a un entero le asocia el exponente de en la descomposición de en factores primos, con la convención de que . La aplicación se denomina valoración -ádica en y se extiende sobre el campo de fracciones Es falso

Anillo de clasificación

Sea un cuerpo conmutativo dotado de una valoración . Los elementos de de valoración positiva o cero constituyen un subanillo llamado el anillo de valoración asociado con la valoración sobre : . El cuerpo de fracciones de es .

Se tiene que para cualquier elemento distinto de cero de , y por lo tanto es un elemento invertible de si y solo si . En consecuencia, es un anillo local cuyo único ideal maximal consiste en los elementos de valoración estrictamente positiva: .

Por ejemplo (para las valoraciones habituales en estos cuerpos) el anillo de valoración de es y el de (donde denota un campo conmutativo) es . Estos dos ejemplos también son anillos de valoración discreta.

Hay varias caracterizaciones de los anillos de valoración:.

Dos valoraciones y sobre son equivalentes si y solo si tienen el mismo anillo de valoración.

Para cualquier campo y cualquier grupo abeliano completamente ordenado , existe un campo valorado cuyo grupo de valoración es y cuyo cuerpo residual es .

Véase también FRACTRAN

Referencias

Enlaces externos

Categoría:Teoría de números algebraicos