Un valor absoluto ultramétrico es una aplicación de un cuerpo K en el conjunto ℝ+ de los números reales positivos verificando las siguientes tres propiedades: (axioma de separación); (homomorfismo de grupos multiplicativo de K* sobre ℝ+*) (desigualdad ultramétrica) cualesquiera que sean los elementos e de K.
Ejemplos Valor absoluto trivial El valor absoluto trivial de K asocia con 0 el valor 0 y el valor 1 con cualquier otro elemento de K.
Es el valor absoluto ultramétrico asociado con la valoración trivial en K.
Valor p-ádico absoluto
Sea un número primo arbitrario . Se puede escribir de forma única cualquier número racional en la forma:
donde y donde y son primos entre sí y primos con respecto a .
Entonces se define la aplicación asociando el valor con un número racional . Por ejemplo,
Esta aplicación es un valor absoluto ultramétrico en el cuerpo , asociado con la valoración p ádica.
Vínculos con nociones relacionadas Esta aplicación es un caso especial de valor absoluto sobre un cuerpo. La aplicación es en consecuencia una distancia en K; la simetría se debe al hecho de que para cualquier elemento de K. Esta distancia es ultramétrica. Una aplicación es un valor absoluto ultramétrico si y solo si es un valor absoluto asociado a una valoración con valores reales.Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 6, § 6, n°|2,
Propiedades Aquí denota el elemento neutro para la multiplicación de K.
Para cualquier pareja de elementos del cuerpo K:
Referencias
Véase también Norma ultramétrica
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