En matemáticas, los elementos conjugados de un elemento algebraico en un cuerpo son las raíces de su polinomio mínimo en , en una extensión de donde este polinomio es dividido (es decir, se puede expresar como un producto de monomios).

De manera equivalente, los conjugados de son la imagen de generada por los -automorfismos de .

Ejemplos Si es un elemento de , su polinomio mínimo sobre es , por lo tanto, su único conjugado sobre es él mismo. Si es un número complejo no real, es decir, si su parte imaginaria no es cero, entonces su polinomio mínimo en ℝ es , y por lo tanto, sus conjugados en ℝ son y su número complejo conjugado . Las raíces cúbicas de la unidad en ℂ son

En ℚ, y tienen el polinomio mínimo común y son conjugados. De manera más general, las raíces primitivas -ésimas de la unidad en ℂ tienen un polinomio mínimo en ℚ, el -ésimo polinomio ciclotómico, y son conjugadas en ℚ.

Propiedades El polinomio mínimo de en se divide entre cualquier extensión normal de que contenga (por ejemplo, una clausura algebraica de , o incluso solo un cuerpo de descomposición del polinomio). Los conjugados de son entonces las imágenes de por los elementos del grupo de Galois de la extensión. Sea un número entero algebraico distinto de cero y , el mayor de los módulos de sus conjugados sobre ℚ. Kronecker demostró que Si es menor o igual a 1, es la raíz de la unidad; Si es menor o igual a 2 y es totalmente real, es decir, si todos los conjugados de sobre ℚ pertenecen al intervalo real [–2, 2], entonces es de la forma para un determinado racional.

El punto 1 se puede deducir del siguiente lema (utilizado también en otra parte de la prueba del teorema de las unidades de Dirichlet): para cualquier entero y cualquier real , existe solo un número finito de enteros algebraicos tales que el grado (del polinomio mínimo) de es menor o igual que y que .

Existen varios refinamientos del punto 1 proporcionando, según el grado de , un aumento de |α| menos restrictivo pero suficiente para que α sea la raíz de la unidad.

Conjugados de un polinomio Supóngase que es un polinomio separable e irreducible en , y que existe una extensión y un polinomio en de modo que divide en . Si se denomina L al cuerpo de descomposición de en , es galoisiano y es isomorfo a . Además, los coeficientes de pertenecen a L. En particular, el polinomio es algebraico en , y por tanto tiene elementos conjugados en : el conjunto de conjugados de se obtiene aplicando los automorfismos de sobre los coeficientes de .

Propiedades Es natural pensar que el producto de los conjugados de es igual a , pero esto es incorrecto, a menos que sea irreducible y sea primitivo, en el sentido de que es generado por una sola raíz de .

En general, el producto de los conjugados de es igual a , donde pertenece al campo y es un número natural.

Referencias

Véase también Lema de Krasner Número de Pisot-Vijayaraghavan Número de Salem

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Categoría:Teoría de Galois