Las ecuaciones del telegrafista (o ecuaciones telegráficas) son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales lineales que describen el voltaje y corriente en una línea de transmisión eléctrica, dependiendo de la distancia y el tiempo. Las ecuaciones fueron desarrolladas por Oliver Heaviside quién desarrolló el modelo de línea de transmisión a partir de agosto de 1876, On the Extra Current. El modelo demuestra que las ondas electromagnéticas pueden ser reflejadas en el cable, y que patrones ondulatorios pueden formarse a lo largo de la línea.
La teoría aplica a líneas de transmisión de todas las frecuencias que incluyen corriente directa y de alta frecuencia. Originalmente desarrolladas para describir cables de telégrafo, la teoría también puede ser aplicada a conductores de frecuencia radiofónica, frecuencia de audio (como líneas telefónicas), frecuencia baja (como líneas eléctricas), y pulsos de corriente directa. También pueden emplearse para modelar eléctricamente antenas radiofónicas como líneas de transmisión truncadas.
También pueden usarse para simular el comportamiento de las ondas de presión y flujo en el sistema cardiovascular.Vease la ecuación (5) de:
Componentes distribuidos miniaturadeimagen|Representación esquemática de los componentes elementales de una línea de transmisión. Las ecuaciones telegráficas, como el resto de ecuaciones que describen fenómenos eléctricos, provienen de las ecuaciones de Maxwell. En una aproximación más práctica, asumen que los cables están formados por una serie infinita de cuadripolos elementales, cada uno representando un corto segmento infinitesimal corto de la línea de transmisión:
La resistencia distribuida de los conductores está representada por un resistor en serie (expresado en ohmios por longitud de unidad). En términos prácticos, a frecuencias más altas, aumenta de forma aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de la frecuencia debido al efecto de piel. La inductancia distribuida (debido al campo magnético alrededor de los cables, auto-inductancia, etc.) está representado por un inductor en serie (henrios por longitud de unidad). La capacitancia entre los dos conductores está representado por un capacitor en paralelo C (faradios por longitud de unidad). La conductancia del material dieléctrico separando los dos conductores está representada por un resistor en paralelo entre el cable de señal y el cable de regreso (siemens por longitud de unidad). Este resistor en el modelo tiene una resistencia de ohmios. tiene en cuenta tanto la conductividad del dieléctrico como la pérdida dieléctrica. Si el dieléctrico es un vacío ideal, entonces .
El modelo consta de una serie infinita de los elementos infinitesimales mostrados en la figura, y que los valores de los componentes están especificados por longitud de unidad así que la imagen del componente puede ser malinterpretada. Una notación alternativa es usar , , , y para enfatizar que los valores son derivados respecto a longitud. Estas cantidades también pueden ser conocidas como las constantes de línea primarias para distinguirlas de las constantes de línea secundarias derivadas de ellos, siendo estas la impedancia característica, el coeficiente de propagación, la constante de atenuación y la constante de fase. Todas estas constantes son constantes respecto del tiempo, el voltaje y la corriente. Pueden ser funciones no constantes de frecuencia.
Valores de parámetros primarios para un cable telefónico Valores representativos para un cable telefónico de sección 24 de polietileno aislado (PIC) a una temperatura de 70 °F (294 K) FrecuenciaRLGCHz1 Hz172.2452.500.61290.18680.0000.00051.5715.721 kHz172.2852.510.61250.18670.0720.02251.5715.7210 kHz172.7052.640.60990.18590.5310.16251.5715.72100 kHz191.6358.410.58070.17703.3271.19751.5715.721 MHz463.59141.300.50620.154329.1118.87351.5715.722 MHz643.14196.030.48620.148253.20516.21751.5715.725 MHz999.41304.620.46750.1425118.07435.98951.5715.72 Tablas más completas y para otras secciones, temperaturas y tipos de cable pueden ser encontradas en Reeve. Chen da el mismo dato en una forma parametrizada que declara es utilizable hasta 50 MHz.
La variación de y es principalmente debido a efecto de piel y efecto proximidad.
La constancia de la capacitancia es una consecuencia de un diseño intencionado.
La variación de G puede ser inferida de Terman: “El factor de poder ... Tiende para ser independiente de frecuencia, desde la fracción de la energía perdida durante cada ciclo ... Es sustancialmente independiente del número de ciclos por segundo sobre gamas de frecuencia ancha.” Una función de la forma con cercano a 1.0 cabría Terman declaración. Chen Da una ecuación de forma similar.
G puede ser modelado bien con:
Normalmente las pérdidas resistivas crecen proporcionalmente a y las pérdidas dieléctricas crecen proporcionalmente a con tan en un altos bastante frecuencia, las pérdidas dieléctricas superarán las pérdidas resistivas. En la práctica, antes de aquel punto está logrado, una línea de transmisión con un dieléctrico mejor está utilizada. En distancia larga cable coaxial rígido, para conseguir muy abajo pérdidas dieléctricas, el dieléctrico sólido puede ser reemplazado por aire con espaciadores plásticos a intervalos para mantener el director de centro en axial.
Las ecuaciones telegráficas El ecuaciones telgráficas son:
Pueden ser combinados para conseguir dos ecuaciones diferenciales parciales, cada cual con único uno variable dependiente, cualquiera o :
Excepto la variable dependiente ( o ) las fórmulas son idénticas.
Solución general para líneas de longitud finita Si:
es la transformada de Fourier del voltaje de entrada , entonces las soluciones generales para voltaje y corriente son:
y
siendo:
Siendo la función de transferencia de la línea,
La impedancia de serie, y:
la impedancia shunt. El parámetro representa la longitud total de la línea. es la impedancia de la terminación eléctrica. Sin terminación, es infinito.
Transmisión sin pérdidas Cuándo ωL >> R y ωC >> G, la resistencia se considera despreciable, y la línea de transmisión se considera como una estructura ideal sin pérdidas. En este caso, el modelo depende sólo de los elementos L y C. Las ecuaciones telegráficas entonces describen la relación entre el voltaje V y la corriente I a lo largo de la línea de transmisión, cada cual es una función de la posición x y tiempo t:
Las ecuaciones para líneas de transmisión sin pérdidas Las ecuaciones ellos constar de un par de coupled, primero-orden, ecuaciones diferenciales parciales. La primera ecuación muestra que el voltaje inducido está relacionado al índice de tiempo-de-cambio de la corriente a través de la inductancia de cable, mientras los segundos espectáculos, de modo parecido, que el actuales dibujados por el cable capacitance está relacionado al índice de tiempo-de-cambio del voltaje.
Las ecuaciones telegráficas están desarrolladas en formas similares en las referencias siguientes: Kraus, Hayt, Marshall, Sadiku, Harrington, Karakash, y Metzger..
Estas ecuaciones pueden ser combinadas para formar dos ecuaciones ondulatorias exactas, una para el voltaje V, la otra para la corriente I:
Dónde
Es la velocidad de propagación de las ondas que viajan a través de la línea de transmisión. Para líneas de transmisión constituidas por conductores paralelos perfectos con vacío entre ellos, esta velocidad es igual a la velocidad de la luz.
Sinusoidal en estado estacionario En el caso de sinusoidal en estado estacionario (por ejemplo cuándo un voltaje sinusoidal puro es aplicado y han cesado los transitorios), el voltaje y corriente toma la forma de ondas sinusoidales:
Dónde es la frecuencia angular de la onde en estado estacionario. En este caso, las ecuaciones telegráficas se reducen a:
Así mismo, las ecuaciones ondulatorias se reducen a:
Dónde k es el número ondulatorio:
Cada una de estas dos ecuaciones se encuentran en la forma unidimensional de la ecuación de Helmholtz.
En el caso ideal sin pérdidas, es posible demostrar:
Y
Dónde es una cantidad real que puede depender de frecuencia yes la impedancia característica de la línea de transmisión, el cual, para una línea ideal sin pérdidas está dada por:
Y y sonconstantes arbitrarias de integración, las cuales están determinadas por las dos condiciones de frontera (uno para cada fin de la línea de transmisión).
Esta impedancia no cambia a lo largo de la longitud de la línea desde entonces L y C es constante en cualquier punto en la línea, proporcionado que la cruz-sectional geometría de la constante de restos de la línea.
La línea sin pérdidas y sin distorsiones son comentadas en Sadiku, y Marshall,.
Solución general La solución general de la ecuación ondulatoria para el voltaje es la suma de una onda que viaja hacia adelante y una onda que viaja en dirección contraria:
Dónde
y puede ser cualquier función, y es la velocidad de propagación de la onda (también conocida como velocidad de fase).
f1 representa un ondulatorio viajando de izquierdo a correcto en un positivo x dirección whilst f2 representa un ondulatorio viajando de correcto a izquierdo. Pueda ser visto que el voltaje instantáneo en cualquier punto x en la línea es la suma de los voltajes debido a ambas olas.
Dado que la corriente está relacionado con el voltaje V por las ecuaciones telegráficas, podemos escribir:
Línea de transmisión con pérdidas derecha|miniaturadeimagen|300x300px|En la presencia de pérdidas la solución del Telegrapher la ecuación tiene ambos damping y dispersión, tan visible cuándo comparado con la solución de una ecuación Ondulatoria. Cuándo los elementos de pérdida R y G no es insignificante, las ecuaciones diferenciales que describen el segmento elemental de línea es
Por diferenciar ambas ecuaciones con respetar a x, y algunos manipulación algebraica, obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas cada implicando sólo uno desconocido:
Estas ecuaciones #se #parecerse el homogeneous ecuación ondulatoria con plazos extras en e I y sus primeros derivados. Estos plazos extras causan la señal a decadencia y extendido fuera con tiempo y distancia. Si la línea de tansmisión es sólo lieramente disipado (R ≪ y G ), fuerza de señal decadencia encima distancia como e−α x, dónde This book uses the symbol instead of .
Ejemplos de patrón de la señal Según los parámetros de la ecuación de telégrafo, los cambios de la distribución de nivel de la señal a lo largo de la longitud del solo-medio de transmisión dimensional puede tomar la forma de la ola sencilla, ola con decrement, o la difusión-gustar patrón de la ecuación de telégrafo. La forma de la difusión-gustar el patrón está causado por el efecto del shunt capacitance.
Antenas Porque las ecuaciones que gobiernan el flujo de actual en antenas de cable son idénticas al telegrapher ecuaciones, segmentos de antena pueden ser modeled cuando dos-manera, líneas de transmisión de director solo. a antena está ota a sementos de línea múltiple, ada segmento habiendo aproximadamente parámetros de línea primarios constantes, R, L, C, y G.Dado que la pérdida de voltaje debido a la radiación es típicamente pequeña en comparación con los voltajes requeridos debido a la impedancia de sobretensión de la antena, y dado que el aire seco es un muy buen aislante, la antena a menudo se modela como sin pérdidas: La pérdida o ganancia esencial de voltaje debido a la transmisión o recepción generalmente se inserta post-hoc, después de las soluciones de la línea de transmisión, aunque se puede modelar como un valor pequeño de a expensas de trabajar con complex numbers.